机械振动(粘性阻尼)

m
kx
受力分析
m x
d2 x m 2 dt
2
令
d x dx 阻尼振动微分方程 m 2 + r + kx = 0 dt dt 2 d x r dx k + + x =0 2 dt m dt m γ k 2
m = 2n
m 为振动系统的固有角频率， 称 p为振动系统的固有角频率，称 n为衰减系数
=p
2
d x dx 2 + 2n + p x = 0 2 dt dt
1、具有粘性阻尼的受迫振动
1.1、粘性阻尼振动 1.1、粘性阻尼振动 (damped
vibration)
r
k
振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 粘性阻尼又称线性阻尼，即满足：
dx Q =r r dt
m
x
阻尼力 阻尼系数 速度
一般振动体在液体中运动时受到的阻尼被认为是 粘性阻尼。
1
r
k
dx r dt
8
..
.
..
为谐波运动， 设xH为谐波运动，即 xH = H cos wt 则
传感器 外壳
m y+ r y+ ky = −m xH = mω H cosωt
2
..
.
..
因此，上方程式的特解为： 因此，上方程式的特解为：
k m
被 测物体
r x xH
y = Y cos(wt −ϕ)
所以， 所以，可以得到质块与壳体 之间的相对运动振幅Y和相 之间的相对运动振幅 和相 位差ϕ 。
6
..
ຫໍສະໝຸດ Baidu
.
2、粘性阻尼在惯性测振传感器中的应用 、
2.1、位移传感器力学模型及原理 、 壳体附着在被测物体振动表面 并与后者一同振动。 上，并与后者一同振动。 xH——被测表面连同壳体振动 被测表面连同壳体振动
被 测物体 传感器 外壳
k m
r x xH
x —— 质块 的振动 质块m的振动 实际上，只能测得质块与壳体 实际上， 相对运动:y=x- xH 相对运动 但是，在特殊设计下， 但是，在特殊设计下，可以测出被测表面振动 位移。 位移。
阻尼比， 阻尼比 ξ ——阻尼比，满足
n ξ＝ ≥ 0 p
10
当
，∞ z = ＞＞，即z →激振频率远大于系统固 1 p 传感器 外壳 有频率时， 有频率时， Hz 2 Hz 2 Y= ≈ 2 ≈H z k r (1− z2 )2 + (2ξz)2
x
−1
ω
2ξz 2ξ −1 ϕ = tan ≈ tan (− ) ≈ π 2 1− z z 被测物体 ∴y = Y cos(ωt −ϕ) = H cos(ωt −π ) = −H cos(ωt) = −xH
为二阶常系数齐次微分方程。 为二阶常系数齐次微分方程。 通解
2
n 称为阻尼比。 令 ξ= ，称为阻尼比。 p
x = c1e
−(n− n2 − p2 )t
+ c2e
−(n+ n2 − p2 )t
讨论：1)当n <p ，即ξ<1时,阻尼较小,上式的解为 ξ<1时 阻尼较小, 讨论：1)当
x= Ae 0
其中： 其中：
−nt
cos(ωt +ϕ)
x
ω = p2 − n2
A0e−nt
振动曲线如图， 振动曲线如图，是一种振幅逐渐减小的 o 周期性运动。 周期性运动。
欠阻尼
t
3
ξ>1时 阻尼较大，即过阻尼， 2）当n >p ，即ξ>1时,阻尼较大，即过阻尼，不再 是周期性的了, 无振动发生。如下图所示。 是周期性的了, 无振动发生。如下图所示。
9
ϕ 质块与壳体之间的相对运动振幅Y和相位差 分别为： 质块与壳体之间的相对运动振幅 和相位差 分别为：
Y=
这里： 这里：
Hz
2 2
2 2
(1− z ) + (2ξz)
ω
2ξz ϕ = tan 2 1− z
−1
z=
——频率比，其中 ω表示激振频率， 频率比， 表示激振频率， 频率比 p p表示系统固有频率。 表示系统固有频率。
Y/XH 0.05 0.1 0.15
0.25
0.375 0.5 ξ=1.0
1.0
2.0
3.0
4.0 ω/p
3）当ξ＝0.6～0.7时，幅频响应 ） ＝ ～ 时 Y/x 的范围最大。 的范围最大 曲线变成平坦曲线。此时， 曲线变成平坦曲线。此时， H≈1的范围最大。
幅频响应曲线
因此，只要合理选择阻尼比ξ，就可以扩大传感器的使用范围。 因此，只要合理选择阻尼比 ，就可以扩大传感器的使用范围。 12
r
k
如果振动系统还有周期性外力 Q(t) 作用在质 使系统产生振动， 量m上,使系统产生振动，则这种振动称为受 迫振动。 迫振动。引起受迫振动的周期性外力称为激 振力。 振力。 外力、位移、速度、加速度都可能激起 外力、位移、速度、 系统振动，统称为激振函数。 系统振动，统称为激振函数。
m
x
Q(t)
实验表明，物体做受迫振动时， 实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率 等于激振力的频率，跟物体的固有频率没有关系。 等于激振力的频率，跟物体的固有频率没有关系。
5
Q(t) x r m k
Q(t) m
..
mx
kx
受力分析
.
rx
m x+ r x+ kx = Q(t)
当外力为基础运动时（如地震或地基振动），就是 当外力为基础运动时（如地震或地基振动），就是 ）， 惯性式测振传感器的力学模型。 惯性式测振传感器的力学模型。
x
o
过阻尼
t
3）当n ＝p ，即ξ＝1时,临界阻尼状态，临界阻尼情况是振动 临界阻尼状态， 系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况， 系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应 用在天平调衡中。 用在天平调衡中。 x
o
临界阻尼
t
4
1.2、具有粘性阻尼振动的受迫振动 1.2、具有粘性阻尼振动的受迫振动
m xH
可见，得到的相对位移 实际上反映了被测对象的 可见，得到的相对位移y实际上反映了被测对象的 振动位移x 因为y=x-xH,所以 所以x=0。这时就是位移传 振动位移 H，因为 所以 。 11 感器。 感器。
2.2、粘性阻尼特性 、
从幅频曲线看： 从幅频曲线看： 1）当z>>1时，y≈xH； ） 时 3.0 2）当z<<1时，相对位移 ） 时 相对位移y≈0, 3）当z≈1时，发生共振，阻尼比 ） 时 发生共振， 2.0 ξ的影响很大。 的影响很大。 的影响很大 ξ的影响： 的影响： 的影响 1）当z<<1 或z>>1时， ξ的影响 ） 时 的影响 1.0 不大，可以不计阻尼的影响； 不大，可以不计阻尼的影响； 2）在z≈1的区域内 的影响很大 0 ） 的区域内,ξ的影响很大 的区域内 的影响很大, 变大时， 也变大； 当ξ变大时， y/xH也变大； 变大时
7
K(xK(x-xH) r(x− xH )
m
..
.
.
受力分析
传感器 外壳
mx
其运动方程为： 其运动方程为：
k m
r x
m x+ r(x− xH ) + k(x − xH ) = 0
将 = x − xH带 上 得 y 入 式 ：
..
.
.
被 测物体
xH
m y+ r y+ ky = −m xH
这是一个二阶常系数非齐次线性方程。 这是一个二阶常系数非齐次线性方程。