环境水力学ch2-1分析解析

计算条件：
静止流体：
不可压缩性
u=v=w=0
守恒的中和物质
1、集中瞬时源
分别讨论：1）、一维扩散 2）、二维扩散 3）、三维扩散
在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。
1）、一维扩散
主要针对面污染源，只考虑沿某一方向（X方向）
上的浓度分布。 设想有一根直的无限长均匀断面水管，截面 积为一个单位，管内装有静止洁净的水体， 在管子中间垂直于管轴瞬时集中投放质量为M
温度梯度、压力梯度或其它作用力存在。 相应的扩散有浓度扩散、温度扩散、压力 扩散或强制扩散等。
分子运动不仅可以传递质量，也同样可以
传递动量、能量、热量和涡通量等。
2、费克第一扩散定律
T· Graham 曾经对气体的扩散做了大量的研究工作。 A.Fick( 菲克 ) 在 Graham 工作的基础上，设计出在液体 里量测污染物分子扩散的装置并进行了大量的研究工作， 于1855年发表了以试验为基础的分子扩散第一定律：
t=0
扩散质浓度分布
C
t1wenku.baidu.com
t2＞t1
O
X
O
X
讨论:

M c( x, t ) e S 4Dt
x2 4 Dt
当t0,x0，取极限可得：c=+∞，说明在初 始时刻，污染源投放点的浓度为+∞。
当t0,x≠0处，c=0，说明解满足初始条件。 扩散质浓度C(x,t)是以t为参变量的正态分布函 数。
位面积的平行面与x轴垂直，两者相距dx，
设c(x,t)是 t 时刻位于x 点上物质浓度，则 c(x,t)dx为该六面体内的污染物质量，该微元 保守物质量对时间的变化率为
设x处的物质通量为q(x,t)， 则在x+dx处的物质通量为 O
q( x, t ) q( x, t ) dx x
c( x, t ) dx t
3、费克第二扩散定律
采用欧拉研究方法，利用质量守恒原理可推导出费 克扩散第二定律
c qx q y qz ( ) t x y z
式中：qx 为污染物的质量通量，其量纲为[ML-2T-1]， D为分子扩散系数，其量纲为[L2T-1]。 下面给出推导。
推导：
如图表示一维输移的控制体，两个具有单
M2 S e 4D(t T )
由此可见，浓度公式中时间t应理解为距某一指定时 刻的时段长。
小 结
1. 这里讲的瞬时、面源、线源、点源的
概念是指数学意义上的，实际情况难 以达到。 2. 源强的单位：

一维扩散：是指投放在源平面单位面积上的质 量（g/m2）
习题
什么是瞬时平面源？
什么是一维分子扩散？ P18
傅里叶变换
因为当 x 时，C ( x, t ) 0
c 所以 t ix 0 , 又 e x x
有界
2C ix 因此F [ D ] iD e dC 2 x iDe
ix
C

iD( i ) Ce ix dx
c qx D x
式中：qx 为污染物的质量通量，其量纲为[ML-2T-1]，D为分子扩 散系数，其量纲为[L2T-1]。 分子扩散系数随溶质与溶液种类和温 度、压力而变化。
费克第一扩散定律
下面给出推导： 设有两个假想的高宽均为 1 ，长度为△ X 的盒子分别装着物质M1和Mr。
费克第一扩散定律
其中：
M1 S c1 ( x, t ) 4Dt
M2 S c2 ( x, t ) 4Dt
( x L1 ) 2 e 4 Dt
( x L2 ) 2 4 Dt e
由此可见，浓度公式中坐标x应理解为计算点 P距排放点的距离。
例题2：
其它条件相同，求c(x,t)=?
L1 L2
在例1中M2在排放M1 排放后T 时刻瞬时排放，
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
方程含义：方程左边为时变项；方程右端
为分子扩散项。 扩散方程在本质上是质量守恒定律在扩散 问题上的体现。
第二节 一维扩散方程的基本解
一、静止水环境中的扩散
1、集中瞬时源
1）一维分子扩散
2）讨论
扩散现象
由气体分子运动论可知，单位时间内分子碰撞的次
数是巨大的。在通常条件下，每秒钟每升体积内的 碰撞次数高达 1032 次以上，说明分子每时每刻都在 不停歇地作无规则的运动。分子的这种运动称为布 朗运动。
两种不同物质通过分子运动而相互渗透的现象
称为分子扩散。
扩散现象
扩散的动力可以是分子场中的浓度梯度、
直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为：
c qx D x
矢量表示： q Dc i j k 为哈密尔顿算子 x y z
c q y D y c qz D z
由于物质扩散方 向与浓度梯度增加的 方向相反，加负号是 为让污染物的质量通 量始终为正。
傅里叶变换
2C D 2 对x作傅氏变换 x
2C ix 2C F [ D 2 ] D 2 e dx x x

D e ix d ( C ix D e t


C ) x D ( i )
C ix e dx x
c c D 2 t x
2
c( x,0) M ( x) c( x, t ) 0,当x 时
求解方法之一：
量纲分析法
因为任意时刻在x方向某一点的浓度C必定与
投放点质量M、扩散系数D、以及坐标位置x、 时间t有关。一维问题中， C的量纲是[ML-3]， 该量纲恰好是 M 的量纲。可设
2-3
提示：营养物分子扩散浓度
d 2c D kc 2 dz
扩散方程为：
c 2c D 2 t x
定解条件：
c( x,0) M ( x) c( x, t ) 0,当x 时
式中：C(x,t)为水管中t 时刻x断面染液的平均浓度； M是瞬时投放在单位面积上的质量。
求解方法之二：
y
q
1 1 dx
x x+dx
q q dx x
z
x
在x处和x+dx处的通量之差为 由质量守恒定律 可得： 考虑到

q( x, t ) dx x
c( x, t ) q( x, t ) dx dx t x
q c 0 x t
c q D x
y
故得一维扩散方程。
随流输移和对流输移
• 随流输移是污染物在接纳水体中随该水体同步运 动所产生的污染物质量迁移运动。
• 对流输移是由于水体内部的温度差或浓度差引起 的密度差，在重力场或其他力场作用下形成浮升 力而产生的质量迁移运动。 无论是随流输移还是对流输移，它们都是污染物 通过单位面积在单位时间内的质量通量，在直角 坐标系中可以表示为如下形式:
c 2c D t x 2
q
z O
x
1 dx 1
x+dx
q
q dx x
x
一维扩散方程
c 2c D t x 2
从数学上看，它是一个二阶线性抛物型偏微分
方程。 将上述结果推广到三维中去，可得（直角坐标 系中）：
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
可得：
F [C ] Me
D 2t
取傅氏逆变换得：
~ ( , t )] c ( x, t ) F 1[c 1 2i



~ ( , t )e ix d c
x2 4 Dt
M e 4Dt
随流扩散
• 随流输移和对流输移
• 随流扩散的质量通量 • 分子扩散 • 紊动扩散

D 2 F [C ]
初始条件傅氏变换
F [C ( x, t )]
t 0
M ( x)e ix dx M
x 0

Me ix
——这里利用了脉冲函数的性质
定解问题变换为：
dF [C ] D 2 F [C ] dt F [C ]
t 0
M
用分离变量法
2
对于保守物质，任何时刻分布在扩散空间内的物质总 质量保持不变，即



c( x, t )dx M
代入可得：
x2 4 Dt
A0 1
c( x, t )
M e 4Dt
瞬时平面源一维扩散方程解析解
c( x, t ) M 4Dt
x2 e 4 Dt
式中：M为单位面积上扩散质的质量，g/m2； D为分子扩散系数，m2/s。
Dt
C ( x, t ) M x f( ) 4Dt 4 Dt M f ( ) 4Dt
令无量纲变量

x 4 Dt
于是： C
x
M f 4Dt x
M f 4Dt
1 4 Dt
2C C ( ) 2 x x x

M 4Dt
(
环境水力学
第二章 分子扩散
第二章 分子扩散
第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解
第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解
第四节 随流扩散
第一节
分子扩散的费克定律
什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？
1、扩散现象
扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均化
的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规则 运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称为 分子扩散，它是物质质量输移的方式之一。
M1
O
M2
例2答案
c1 ( x ,t ) ,t T c ( x, t ) c1 ( x ,t ) c2 ( x ,t ),t T 其中：
M1 S c1 ( x, t ) 4Dt
c2 ( x, t )
( x L1 ) 2 e 4 Dt
( x L2 ) 2 4 D ( t T )
分子扩散模拟实验

讨 论:

由图中可见，不同扩散时间t 的浓度分布具有不
同的正态分布曲线，这是瞬时源的重要特点。

公式中的 x应理解为计算点P距排放点的距离；
公式中的t 应理解为距某一指定时刻的时段长。
一般地,对任意位置x=x0,t0时刻排污量M，有：
c ( x, t )
S
M e 4D(t t0 )
式中：C(x,t)为水管中t 时刻x断面染液的平均浓度； M是瞬时投放在单位面积上的质量。
( x)是脉冲函数Dirac函数,
具有性质
( x)
0



( x) dx 1
O

x
因此有：



c( x,0)dx M ( x)dx M
于是，一维扩散定解问题归结为：
将上式两边对x作傅里叶变换可得：
F [C ( x, t )]




Ce ix dx
c 对x作傅氏变换 t F[
C t
]

C t

e ix dx


[Ce ix ]dx t
dF[C ] [ Ce ix dx] t dt
( x x0 ) 2 4 D ( t t 0 )
例题1：
足够长的渠道，断面积为S，水流静止，在距离坐标
原点L1处瞬时投放扩散质质量M1（平面源），在距离坐
标原点L2处瞬时投放扩散质质量M2（平面源）。 c(x,t)=? 求
L1
L2
M1
O
M2
例1答案
c( x, t ) c1( x, t ) c2 ( x, t )
f 1 ) 4 Dt x
M 2 f 1 2 4Dt 4 Dt
由于： C
M f ( ) t t 4Dt
M f 4Dt t
1 2t
M f 4Dt
M f 1 4Dt 2t
x 4 Dt
将上述结果代入一维扩散方程中
c 2c D 2 t x
可得： 即：
d2 f df 2 2f 0 2 d d
d df 2f d d 0
二阶线性齐次常微分方程
df 2f Const d
其特解由
df 2f 0 d
可得：
f ( ) A0 e
的红色染液。染液厚度很薄，红色染液在水
管中的扩散为分子扩散。
1）、一维扩散
由于受管壁限制，且染液薄片充满了整个管断面， 所以染液只会沿长度方向扩散。 令染液投入点为坐标原点，建立坐标系。
dX
O
X
扩散方程为：
c 2c D 2 t x
定解条件：
c( x,0) M ( x) c( x, t ) 0,当x 时