高等数学_第六章定积分的应用习题课

作的功 .
解: 建立坐标系如图. 恒温时, 压强 p 与体积 V 成反比 , 即 故作用在活塞上的力为
S
o a xx d x b x k S xS
功元素为
所求功为
例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 取 x 为积分变量, x [0,5],
0
2a
x
x dx
2 a
x
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
x [0, 2 a]
x [0, 2 a] , [ x, x dx] [0, 2 a] , (2) 求微元：
那么面积元素dA 就是区间[ x , x dx ]所对应的
矩形的面积，即 dA ydx .

t [0, ], 把区间 [t , t dt ] 上所对应的曲线弧长 (2) 求微元： 2 s 用切线段长ds 代替, 得弧长元微元
ds x ( t )2 y( t )2 dt .

(3) 求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得
s2
0

0

x ( t )2 y ( t )2 dt
那么， dA就是区间[ x , x dx ]所对应的矩形的面积。因此
dA ( y 2 y1 )dx [ x ( x 2 2 x)]dx ( x 2 3 x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A ( x 2 3 x )dx
0
3
9 计算上面的积分得： A 0 ( x 3 x )dx . 2
2
[ x , x dx ] [0,
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2
],
旋转体体积元素 dVx 是[ x , x dx ] 对应的矩形绕 x 轴所得的 旋转体的体积，即
dVx (12 sin2 x)dx
（3）求定积分：绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积表示为
Vx 2 (1 sin 2 x )dx
所对应的曲线段长s 用切线段长 ds 来代替,得弧长元素
ds (dx )2 (dy )2 1 ( y ' )2 dx
由于
( x 1) 2 3( x 1) 2 3 2 y ( x 1 ) 3 y 2 2 2( x 1)
1
从而
ds 1 y 2 dx
2 y x 2x x y 0 由于曲线 和
的交点为 (0, 0)和 ( 3, 3), 取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
（2）求微元：任取 x [0, 3], [ x, x dx] [0, 3]. 如果将图形上方直线的纵坐标记为 y 2 x ,
2 将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 x ,
2 9a 2 cos 4 t sin 2 t 9a 2 sin 4 t cos 2 tdt
3 a 2


2 0
sin 2tdt
3 a 2
则所求曲线弧长为
S 4s 6 a .
注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标 来做，但积分时要注意积分上下限的确定。
6.3 定积分在物理学上的应用
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节 仅给出作功、水压力和引力问题的例子。 重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。
特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选
取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。
一、变力沿直线所作的功
求物体沿直线从a移动到b时，变力F(x)所作 的功W
一、定积分应用的类型
平面图形的面积 旋转体的体积 1．几何应用 特殊立体的体积 平行截面面积为 已知立体的体积 平面曲线弧长
变力作功 2．物理应用 水压力 引力
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、 “以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 [ x, x dx] [a, b]上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成 定积分
3 1 x dx 2 2
(3) 求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得
s 2
2 1
1 y 2 dx 2
2 1
3 8 2 3 1 x dx [( ) 2 1] 9 5 2 2
3 3 【例7】求星形线 x a cos t , y a sin t 的全长.
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元
素、体积元素和弧长元素。
2 x y 0, y x 2 x 所围成图形的面积。 【例1】求由
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间 [ x , x dx ]所对应的曲边梯形面积为 A, 则面积元 素 dA就是在 [ x , x dx ] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。 解：(1) 确定积分变量和积分区间：
0

计算积分得： V x 2 (1 sin2 x )dx
0

2 cos2 xdx
0

2
4
(二) 求绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 （1）确定积分变量和积分区间：绕 y 轴旋转如图,
取 y 为积分变量, 则 y [0, 1].
（2）求微元：对 y [0,1],
0
1
计算积分得:
Vy (arcsin y )2 dy
0 1
[ y(arcsin y ) | y 2(arcsin y )
2 1 0 0
2 1 0
1
1 1 y
2
dy]
[(arcsin1) 2 (arcsin y )d ( 1 y 2 )]

3
4
[2 1 y 2 arcsin y 2 y]1 0
取任一小区间 [ x , x dx ], 这 一 薄 层 水 的 重 力 为 g π 32 dx ( kN )
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
o
5m
x
xdx
d W 9 πg x d x
[ y, y dy] [0, 1],
旋转体的体积元素dVy 是 [ y , y dy]对应的矩形绕 y 轴所得的旋转体体积, 即
dVy x2dy (arcsin y)2 dy.
（3）求定积分：绕 y 轴所得的旋转体的体积表示为
Vy (arcsin y)2 dy

3
4
2
【例4】
计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定
直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。
分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择
积分变量为 x ,x [2, 2], 如果能求出平面 x x
[ x , x dx ] [2, 2] 所截立体的截面面积 A( x ),那么，
对x [1, 2], 把区间[ x , x dx ]上
所对应的曲线段长s用切线段长 ds 代替，则得到弧长的微元 ds 的解析式. 解: (1) 确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点
的横坐标得 x 2. 取 x 为积分变量,则 x [1, 2].
x [1, 2],[ x, x dx] [1, 2], 区间[ x, x dx] (2) 求微元：
y 轴旋转而成的旋 所形成的矩形为 S1 , 则绕 x 轴、
转体的体积微元 dV就是矩形S1分别绕 x 轴、y 轴 旋转而成的体积.
解: (一) 求 x 绕轴旋转而成的旋转体的体积 （1）确定积分变量和积分区间：绕 x 轴旋转如图, 取 x 为积分变量,则 x [0, ].
2

（2）求微元：对 x [0, ],
3 2
【例2】求由摆线 x a(t sint ), y a(1 cos t ) 的一拱
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
如果取x 为积分变量,则 x [0, 2 a ] . x [0, 2 a ], 设区间 [ x , x dx ]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元素 dA就是在[ x , y 上“以直代曲” x dx ] 所形成的矩形面积。

b a
f ( x )dx ．
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系； ②确定积分变量和变化范围[a , b]； ③在[ x , x dx ]上求出微元解析式 dU f ( x )dx ④把所求的量表示成定积分U f ( x )dx
a b
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
所以截面积为
1 3 2 2 A( x ) 2 4 x 2 4 x 2 2 3(4 x 2 ).
3 . 2
y
y
因此, 对 x [2, 2], [ x, x dx] [2, 2] 所对应的体积元素为
dV A( x)dx 3(4 x2 )dx.
分析：曲线为参数方程，由于星形线关于x, y 轴都对称 所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 t 为积分变量， t [0, ], 对t [0, ], 把区间 [t , t dt ] 上所对应的曲线 2 2 段长s 用切线段长 ds 代替,则得到曲线弧长的微元 ds 的解析式。 解: (1) 确定积分变量和积分区间: 取参数 t 为积分变量, t [0, ]. 2
由定积分的物理意义
变力所作的功
W F ( x)dx
a
b
功的元素：
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,
求电场力所作的功 .
一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
则功的元素为 d W k q d r 2
所对应的体积元素为 dV A( x )dx . 解: (1) 确定积分变量和积分区间： 建立如图所示的坐标系， 则底圆方程为 x 2 y 2 4. 取 x 为积分变量, 所以 x [2, 2].
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x 2 , 高为 2 4 x 2
平面图形 A 绕 x 轴, y 轴旋转而成的旋转体的体积。
分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 x轴旋转时， 取 x 为积分变量; 绕 y 轴旋转时, 取 y 为积分变量。 对 x [0, ] 或对 y [0,1], 设区间 [ x , x dx ] 2 或 [ y , y dy ] 所对应的曲边梯形为 S , 是以直代曲
（3） 求定积分：所求立体的体积为
V A( x )dx
2 2 2 2
32 3 3(4 x )dx 3
2
x 2 3 2 【例6】计算半立方抛物线了y ( x 1) , 被抛物线 y 3 3
2
截得的一段弧的长度。 分析：所给定的曲线弧如图所示。 取积分变量为 x , 则 x [1, 2].
q o
1 1
a
r r dr b
r
r
所求功为
1 1 1 k q k q ( ) a b r a
b
例2.
在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
A
a
2 a
0
ydx 0 a(1 cost ) a(1 cost )dt
(1 2cos t cos 2 t )dt 3 a 2
2
2

2
0
【例3】设由曲线 y sinx (0 x

2
y 1 及x 0 围成 )，