计算水力学--第一章
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水务专业计算水力学教学课件
第一章 明渠一维非恒定流基本方程
一、 课 程 内 容
基本假设与定律
• 六条基本假设 • 两大基本定律
基本方程
• 连续方程 • 动量方程
A Q ql t x
Q h Qu gA gA S0 S f ql Vx t x x
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本假设
1、定床情况，即假设河床高程与
时间无关。
2、断面代表水位，不考虑横比降。 3、浅水问题，满足静水压力分布规律。
4、水为不可压液体。
5、河床底坡很小。 6、恒定流阻力公式仍然适用。
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律
质量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净质 量，等于同时段内控制体的质量增量。
沿顺特征线
沿逆特征线
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
S-V方程的定解条件
u a u 0 t x
U J U S t x
特征值
1 u c 2 u c
'
a
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
S-V方程的定解条件
1 u c
0
ρg h x,t -ξ ξ,t dξ b x,
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力：断面压力
断面1与断面2的压力差
1
Fa
2
P P 1断面 P 2断面 P x x
P
1
P
P x x
Fa
2
连续函数 P
P=
h x, t
内控制体的动量增量。
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—动量守恒定律
流入控制体的净动量 + 外力矢量 = 动量增量 控制面
控制体
控制体
与动量等价的“冲量”Ft 矢量相加：同方向投影的分量相加
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
基本定律—质量守恒定律
质量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净质 量，等于同时段内控制体的质量增量。
dt
u xk , tk
特征 线
u 0, t0
u x0 , 0 x k
ɑtk x0 xk Ct
ɑ t0 tk xk C
xk
x
版权所有
§1. 定解条件
对流方程与特征线
u a u 0 t x
t
tk
ɑ x Ct
0
xk
x
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
0
ρg h x,t -ξ ξ,t dξ b x,
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
断面1与断面2的压力差： 带入 压力 差公 式：
P=
h x, t
0
ρgb x, ξ,t h x,t -ξ dξ
ΔP = -
P Δx x
h x, t h x,t b x, ξ,t ΔP = -ρgA Δx -ρgΔx h x,t -ξ dξ 0 x x
A Q ql t x
Q h Qu gA gA S0 S f ql Vx t x x
一般情况下：Vx=0
版权所有
二、方程的其他形式及问题讨论
方程的其他形式
• Z，Q为因变量 • Q，h为因变量 • Q，A为因变量 • U，h为因变量
1 0 Leabharlann Baidu 0
2 u c
1 0 2 0
1 0 2 0
急流
缓流
反向急流
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力
断面１与断面２的压力差
h x ,t h x, t b x, , t P gA x g h x, t x d 0 x x
侧壁上压力在水流方向上的分量 h x ,t b x, , t R g h x, t x d 0
0 f
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力
1
断面压力
Fa
2
B h δξ h
P
1
P P x x
2
1
1
2
Fa
2
侧壁压力
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
满足静水压 力分布规律
作用于控制体1-2河段的压力：断面压力
沿水深积分
b h δξ ξ
P=
h x, t
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
动量校正系数α
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
• 假定滩地和主槽中水流的摩阻比降是相同的
Ai、 Ki分别为水深（or水位）及断面位置的函数；
α象其它河道断面资料一样，可以预先整理成
α ＝ α(Ｚ, ｘ) 作为原始基本资料。
版权所有
正式计算前断面基本资料处理
S
1m or 0.5m Z3 Z2 Z Z1
基本方程组：
版权所有
三、定 解 问 题
定解问题：基本方程、定解条件
定解条件：初始条件、边界条件
定解问题的适定性：解的存在性、唯一性和稳定性。 定解条件少了： 定解条件多了： 定解条件适当： 欠 过 适 定 定 定
版权所有
§1. 定解条件
对流方程
u a u 0 t x
du u dx u 0 dt t dt x
1 2
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
基本原理：动量守恒 1-1流入动量： 1-2旁侧入流动量： 2-2流出动量：
控制体：1-2河段
Qut
ql xtVx
Qut Qut x x
流入控制体的净动量： tuQ x q xtV l x x
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
调蓄滩地宽度
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
• 假设滩地只起调蓄作用，不起输送水量作用
• 动量方程式起作用的是主河槽部分，断面积
A及河宽B均按主槽部分计算
• 在连续方程中的B和A都应包括滩地在内的
全部河宽和过水面积
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
• 当滩地只起水量调蓄作用，不起输水作用时
xQ t t
Δt时段内控制体1-2河段的动量增量：
2 t+Δt t
M M t t xQ t t
1
x
2
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量守恒定律：
xQ tuQ t x ql x t Vx t x Axg S0 t Axg S f t h gA x t x
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—质量守恒定律
流进质量 − 流出质量 = 质量增量
控制面
控制面
控制体
控制面：某一瞬时由连续的质点组成的面。
控制体：由控制面包围形成的一个封闭的区域。
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—动量守恒定律
动量守恒定律：
单位时间内通过控制面流进控制体的净动量
与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力：侧壁上的压力
1
1
2
2 侧壁上压力在水流方向上的分量
b x, , t 宽度 x x
R
h x ,t
0
b x, , t g h x, t x d x
x
总压力在水流方向上的分量
h gA x x
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的总外力：
重 力 摩阻力 压 力
Axg S0
Axg S f
h gA x x
}
F
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
1
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的力
重 力
Zd
θ
摩阻力
1
压 力
2
Fa
流动方向
摩阻力方向
P
1
P
P x x
Fa
2
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的重力
Axg
小底坡假设
Zd
θ
重力在水流方向上的分量：
Z d 河道底坡 S0 x
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
Q h Qu gA gA S0 S f ql Vx t x x
QQ Q Z Qu gA gA 2 ql Vx t x x K
版权所有
§3. 圣维南方程组
圣维南方程组：连续方程、动量方程
Axg sin Axg S0
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的摩阻力
流动方向
摩阻力方向
曼宁公式 谢才公式
Axg S f
恒定流阻力 公式仍然适 用 流量模数公式
S
0 f
n2 u u R
4 3
uu S 2 c R
0 f
QQ S 2 K
化简得
A Q ql t x
A—过水断面面积 Q—过水流量 ql—均匀旁侧入流
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
基本定律—动量守恒定律
动量守恒定律：
单位时间内通过控制面流进控制体的净动量
与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段
内控制体的动量增量。
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
2断面流出
2断面
旁侧入流
1断面
1断面流入
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
Δt时段内流入控制体1-2河段的动量：
1
q xtVxx q l l x V
2
Qu tuQ
x
tuQ Qu tuQ Qu x x xx
dx a dt
dx 在 u a dt 所确定的线上为
变量 常数
版权所有
§1. 定解条件
特征线
dx a dt 1 tg a
版权所有
§1. 定解条件
对流方程与特征线
u a u 0 t x
dx a dt
特征值
t
tk
u xk , tk
dx ɑ C dx dtɑ C
x
1
x
2
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
连续方程
Δt时段内控制体1-2河段的质量增量：
1
A xx t A t t t 2
t+Δt t
1
x
2
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax t Qt x ql x t t x
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax t Qt x ql x t t x
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax t Qt x ql x t t x
不同的研究目的， 对圣维南方程组的
变换形式
• U，Z为因变量
漫洪滩地的处理
• 动量校正系数 • 调蓄滩地宽度
问题关键： 滩地、主槽一起计算
版权所有
圣维南方程组：连续方程、动量方程
A Q ql t x
Q h Qu gA gAS0 gAS f ql Vx t x x
版权所有
§1. 方程的其他形式
以水位Z、流量Ｑ为因变量
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流量Q、过水面积A为因变量
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流量Q、水深h为因变量
h
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流速u、水深h为因变量
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流速u、水位Z为因变量
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
连续方程
2断面流出
2断面
旁侧入流
1断面
1断面流入
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
连续方程
1
Δt时段内流入控制体1-2河段的质量：
x t q lq l x
2
Q Q t
Q Qt xt Q x Q x
第一章 明渠一维非恒定流基本方程
一、 课 程 内 容
基本假设与定律
• 六条基本假设 • 两大基本定律
基本方程
• 连续方程 • 动量方程
A Q ql t x
Q h Qu gA gA S0 S f ql Vx t x x
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本假设
1、定床情况，即假设河床高程与
时间无关。
2、断面代表水位，不考虑横比降。 3、浅水问题，满足静水压力分布规律。
4、水为不可压液体。
5、河床底坡很小。 6、恒定流阻力公式仍然适用。
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律
质量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净质 量，等于同时段内控制体的质量增量。
沿顺特征线
沿逆特征线
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
S-V方程的定解条件
u a u 0 t x
U J U S t x
特征值
1 u c 2 u c
'
a
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
S-V方程的定解条件
1 u c
0
ρg h x,t -ξ ξ,t dξ b x,
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力：断面压力
断面1与断面2的压力差
1
Fa
2
P P 1断面 P 2断面 P x x
P
1
P
P x x
Fa
2
连续函数 P
P=
h x, t
内控制体的动量增量。
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—动量守恒定律
流入控制体的净动量 + 外力矢量 = 动量增量 控制面
控制体
控制体
与动量等价的“冲量”Ft 矢量相加：同方向投影的分量相加
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
基本定律—质量守恒定律
质量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净质 量，等于同时段内控制体的质量增量。
dt
u xk , tk
特征 线
u 0, t0
u x0 , 0 x k
ɑtk x0 xk Ct
ɑ t0 tk xk C
xk
x
版权所有
§1. 定解条件
对流方程与特征线
u a u 0 t x
t
tk
ɑ x Ct
0
xk
x
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
0
ρg h x,t -ξ ξ,t dξ b x,
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
断面1与断面2的压力差： 带入 压力 差公 式：
P=
h x, t
0
ρgb x, ξ,t h x,t -ξ dξ
ΔP = -
P Δx x
h x, t h x,t b x, ξ,t ΔP = -ρgA Δx -ρgΔx h x,t -ξ dξ 0 x x
A Q ql t x
Q h Qu gA gA S0 S f ql Vx t x x
一般情况下：Vx=0
版权所有
二、方程的其他形式及问题讨论
方程的其他形式
• Z，Q为因变量 • Q，h为因变量 • Q，A为因变量 • U，h为因变量
1 0 Leabharlann Baidu 0
2 u c
1 0 2 0
1 0 2 0
急流
缓流
反向急流
版权所有
§2. 圣维南方程的定界条件
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力
断面１与断面２的压力差
h x ,t h x, t b x, , t P gA x g h x, t x d 0 x x
侧壁上压力在水流方向上的分量 h x ,t b x, , t R g h x, t x d 0
0 f
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力
1
断面压力
Fa
2
B h δξ h
P
1
P P x x
2
1
1
2
Fa
2
侧壁压力
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
满足静水压 力分布规律
作用于控制体1-2河段的压力：断面压力
沿水深积分
b h δξ ξ
P=
h x, t
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
动量校正系数α
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
• 假定滩地和主槽中水流的摩阻比降是相同的
Ai、 Ki分别为水深（or水位）及断面位置的函数；
α象其它河道断面资料一样，可以预先整理成
α ＝ α(Ｚ, ｘ) 作为原始基本资料。
版权所有
正式计算前断面基本资料处理
S
1m or 0.5m Z3 Z2 Z Z1
基本方程组：
版权所有
三、定 解 问 题
定解问题：基本方程、定解条件
定解条件：初始条件、边界条件
定解问题的适定性：解的存在性、唯一性和稳定性。 定解条件少了： 定解条件多了： 定解条件适当： 欠 过 适 定 定 定
版权所有
§1. 定解条件
对流方程
u a u 0 t x
du u dx u 0 dt t dt x
1 2
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
基本原理：动量守恒 1-1流入动量： 1-2旁侧入流动量： 2-2流出动量：
控制体：1-2河段
Qut
ql xtVx
Qut Qut x x
流入控制体的净动量： tuQ x q xtV l x x
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
调蓄滩地宽度
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
• 假设滩地只起调蓄作用，不起输送水量作用
• 动量方程式起作用的是主河槽部分，断面积
A及河宽B均按主槽部分计算
• 在连续方程中的B和A都应包括滩地在内的
全部河宽和过水面积
版权所有
§2. 漫洪滩地的处理
• 当滩地只起水量调蓄作用，不起输水作用时
xQ t t
Δt时段内控制体1-2河段的动量增量：
2 t+Δt t
M M t t xQ t t
1
x
2
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量守恒定律：
xQ tuQ t x ql x t Vx t x Axg S0 t Axg S f t h gA x t x
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—质量守恒定律
流进质量 − 流出质量 = 质量增量
控制面
控制面
控制体
控制面：某一瞬时由连续的质点组成的面。
控制体：由控制面包围形成的一个封闭的区域。
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—动量守恒定律
动量守恒定律：
单位时间内通过控制面流进控制体的净动量
与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的压力：侧壁上的压力
1
1
2
2 侧壁上压力在水流方向上的分量
b x, , t 宽度 x x
R
h x ,t
0
b x, , t g h x, t x d x
x
总压力在水流方向上的分量
h gA x x
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的总外力：
重 力 摩阻力 压 力
Axg S0
Axg S f
h gA x x
}
F
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
1
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的力
重 力
Zd
θ
摩阻力
1
压 力
2
Fa
流动方向
摩阻力方向
P
1
P
P x x
Fa
2
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的重力
Axg
小底坡假设
Zd
θ
重力在水流方向上的分量：
Z d 河道底坡 S0 x
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
Q h Qu gA gA S0 S f ql Vx t x x
QQ Q Z Qu gA gA 2 ql Vx t x x K
版权所有
§3. 圣维南方程组
圣维南方程组：连续方程、动量方程
Axg sin Axg S0
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
作用于控制体1-2河段的摩阻力
流动方向
摩阻力方向
曼宁公式 谢才公式
Axg S f
恒定流阻力 公式仍然适 用 流量模数公式
S
0 f
n2 u u R
4 3
uu S 2 c R
0 f
QQ S 2 K
化简得
A Q ql t x
A—过水断面面积 Q—过水流量 ql—均匀旁侧入流
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
基本定律—动量守恒定律
动量守恒定律：
单位时间内通过控制面流进控制体的净动量
与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段
内控制体的动量增量。
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
2断面流出
2断面
旁侧入流
1断面
1断面流入
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
Δt时段内流入控制体1-2河段的动量：
1
q xtVxx q l l x V
2
Qu tuQ
x
tuQ Qu tuQ Qu x x xx
dx a dt
dx 在 u a dt 所确定的线上为
变量 常数
版权所有
§1. 定解条件
特征线
dx a dt 1 tg a
版权所有
§1. 定解条件
对流方程与特征线
u a u 0 t x
dx a dt
特征值
t
tk
u xk , tk
dx ɑ C dx dtɑ C
x
1
x
2
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
连续方程
Δt时段内控制体1-2河段的质量增量：
1
A xx t A t t t 2
t+Δt t
1
x
2
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax t Qt x ql x t t x
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax t Qt x ql x t t x
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax t Qt x ql x t t x
不同的研究目的， 对圣维南方程组的
变换形式
• U，Z为因变量
漫洪滩地的处理
• 动量校正系数 • 调蓄滩地宽度
问题关键： 滩地、主槽一起计算
版权所有
圣维南方程组：连续方程、动量方程
A Q ql t x
Q h Qu gA gAS0 gAS f ql Vx t x x
版权所有
§1. 方程的其他形式
以水位Z、流量Ｑ为因变量
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流量Q、过水面积A为因变量
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流量Q、水深h为因变量
h
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流速u、水深h为因变量
版权所有
§1. 方程的其他形式
以流速u、水位Z为因变量
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
连续方程
2断面流出
2断面
旁侧入流
1断面
1断面流入
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
连续方程
1
Δt时段内流入控制体1-2河段的质量：
x t q lq l x
2
Q Q t
Q Qt xt Q x Q x