正交化方法-特征值与特征向量
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A是由3维向量组成的向量组， 只要a1 , a2 , a3线性无关，它就是 R3的一个 基，b1 , b2用基表示，即 Ax B有解，解x的列向量即坐标（线性 表示系数）
解
2 1 1 4 2 A | B 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
矩阵C，使得：B AC , 则称C为由基A到基B的过渡矩阵
4.向量由基线性表示的系数——坐标
若向量组a1 , a2 ,, ar 是向量空间 V的一个基，则 V可表示为：
V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
数组1 , 2 ,, r 是向量b在基a1 , a2 ,ar中的坐标
5
因 R(A)=3 ， 故 a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基，
2 2 4 2 且 b1 a1 a2 a3 ,b2 a1 a2 a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ， ,1和 ,1, 3 3 3 例题5 （ 04，数学一， 4分） 3
Ax 0的解集S 与基础解系
解集秩R(S ) n r
Er , Dnr A~ 同解 0 0 方程组求基础解系
1
友情提示
本次课讲第五章第一、二节，向量组的内 积与正交，特征值概念 下次课讲第五章第二三节，特征值，相 似矩阵与对角化 下次上课时交作业P41～42
2
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量 一、向量空间的最大无关组——基的概念 1.基的定义 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a 2 ,, a r ∈V, 满足 （i） a1 , a 2 ,, a r线性无关； （ii）V 中 任 一 向量都由 a1 , a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1 , a 2 ,, a r 称为向量空间 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间. 特别地：如果向量空间 V 没有基 则 V 的维数为0。 0 维向量空间只含一个零向量 0. n 2.结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R 的 n 一个基，由此可知 R 的维数为 n .
b在基中的坐标实际上就 是b用基向量组线性表示的 系数， 设向量空间的基组成的 向量组用A表示，则向量b用基A线性 表示即AX b有解，解的列向量就是 线性表示坐标 V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
4
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
6
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
向量组A与其 最大无关组 Ar
向量组秩R( A) r
A~ （行阶梯）求 秩与最大无关组
Ar 线性表示A中向量 组B即Ar x B有解
Er , Dn r ( Ar , B) ~ 0 0 同解方程组求解
Dnr的列向量即线性表示系 数
1 0 0
2
0
1
0
0
1
2 2 3 1
2 3 1 2 3
Fra Baidu bibliotek
1 2 2 4 2 3 6 8 7 0 0 0 9 9 6
1 0 0
0
1
0
0
0
1
2 4 3 3 2 1 3 2
1
3
3 1 1 1 1 1 0 2 3 1 0 2 1 （A, B ) ～ ～ ～ ( E , A B) 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 3 2 所以，应填C 1 2
基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已 知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与 特征向量－特征多项式－特征向量求法
练习册 交：P37P38 和P41－42
内容概括 任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后，
可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的 规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和 齐次线性方程组求解。
2 1 2 例4: 设 A a1 , a2 , a3 2 1 2 , 1 2 2 1 4 B (b1 , b2 ) 0 3 , 4 2
验证 a1 , a 2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1 , b2 在这个基中的坐标.
分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
3
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
结论2：齐次线性方程组 Ax 0的基础解系是其解集的 一个基 3.过渡矩阵概念： 设向量空间V有两个基A、B, A : 1 , 2 , r , B : 1 , 2 , r .如存在
2
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
1 1 1 1 从R 的基A : 1 ____ 0 , 2 1 到 B : 1 1 , 2 2 的过渡矩阵为：
分析：从基 A到基B的过渡矩阵为 C，则B AC,即C A1 B － 1 C A1 B （1，2 ） （ 1，2 ） ,即AX B的解
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长 度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与 基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概 念，会求矩阵的特征值与特征向量 重点
正交基与基的正交化方法
作业
难点 讲授内容 主线
同上
讲授方法 投影与板书结合
解
2 1 1 4 2 A | B 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
矩阵C，使得：B AC , 则称C为由基A到基B的过渡矩阵
4.向量由基线性表示的系数——坐标
若向量组a1 , a2 ,, ar 是向量空间 V的一个基，则 V可表示为：
V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
数组1 , 2 ,, r 是向量b在基a1 , a2 ,ar中的坐标
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因 R(A)=3 ， 故 a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基，
2 2 4 2 且 b1 a1 a2 a3 ,b2 a1 a2 a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ， ,1和 ,1, 3 3 3 例题5 （ 04，数学一， 4分） 3
Ax 0的解集S 与基础解系
解集秩R(S ) n r
Er , Dnr A~ 同解 0 0 方程组求基础解系
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本次课讲第五章第一、二节，向量组的内 积与正交，特征值概念 下次课讲第五章第二三节，特征值，相 似矩阵与对角化 下次上课时交作业P41～42
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量 一、向量空间的最大无关组——基的概念 1.基的定义 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a 2 ,, a r ∈V, 满足 （i） a1 , a 2 ,, a r线性无关； （ii）V 中 任 一 向量都由 a1 , a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1 , a 2 ,, a r 称为向量空间 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间. 特别地：如果向量空间 V 没有基 则 V 的维数为0。 0 维向量空间只含一个零向量 0. n 2.结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R 的 n 一个基，由此可知 R 的维数为 n .
b在基中的坐标实际上就 是b用基向量组线性表示的 系数， 设向量空间的基组成的 向量组用A表示，则向量b用基A线性 表示即AX b有解，解的列向量就是 线性表示坐标 V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
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第十二讲：方程组解的解构与向量空间
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
向量组A与其 最大无关组 Ar
向量组秩R( A) r
A~ （行阶梯）求 秩与最大无关组
Ar 线性表示A中向量 组B即Ar x B有解
Er , Dn r ( Ar , B) ~ 0 0 同解方程组求解
Dnr的列向量即线性表示系 数
1 0 0
2
0
1
0
0
1
2 2 3 1
2 3 1 2 3
Fra Baidu bibliotek
1 2 2 4 2 3 6 8 7 0 0 0 9 9 6
1 0 0
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0
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3 1 1 1 1 1 0 2 3 1 0 2 1 （A, B ) ～ ～ ～ ( E , A B) 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 3 2 所以，应填C 1 2
基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已 知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与 特征向量－特征多项式－特征向量求法
练习册 交：P37P38 和P41－42
内容概括 任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后，
可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的 规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和 齐次线性方程组求解。
2 1 2 例4: 设 A a1 , a2 , a3 2 1 2 , 1 2 2 1 4 B (b1 , b2 ) 0 3 , 4 2
验证 a1 , a 2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1 , b2 在这个基中的坐标.
分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
结论2：齐次线性方程组 Ax 0的基础解系是其解集的 一个基 3.过渡矩阵概念： 设向量空间V有两个基A、B, A : 1 , 2 , r , B : 1 , 2 , r .如存在
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第十二讲：方程组解的解构与向量空间
1 1 1 1 从R 的基A : 1 ____ 0 , 2 1 到 B : 1 1 , 2 2 的过渡矩阵为：
分析：从基 A到基B的过渡矩阵为 C，则B AC,即C A1 B － 1 C A1 B （1，2 ） （ 1，2 ） ,即AX B的解
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长 度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与 基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概 念，会求矩阵的特征值与特征向量 重点
正交基与基的正交化方法
作业
难点 讲授内容 主线
同上
讲授方法 投影与板书结合