第八章组合变形案例

N -
F A
在外力偶My、Mz作用下，横截面上任一点（y,z)的弯曲正 应力： Mz y Myz M Iz Iy
根据叠加原理得，偏心受压时，横截面上任一点（y,z)处 的正应力为：
F Mz y Myz - A Iz Iy
四、截面核心 当外力作用点位于横截形心附近的一个区域内时， 就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域称为截面 核心。此时，横截面上仅出现单一的拉应力或是压应力。 外力作用点离形心越近，中性轴距离形心就越远。
FN M max FN 6M max 73.3MPa 2 A Wy bh bh
最小正应力为
min
FN M max FN 6M max 6.7 MPa 2 A Wy bh bh
跨中截面上正应力分布图如图所示，假设中性轴离上边缘的
距离为z1,可求得
z1 1.26cm
bh2 4 82 128 3 Wy cm 6 6 3 hb2 8 42 64 3 Wz cm 6 6 3

B max

M yB Wy

M zB 93.75MPa Wz
在C截面： M yC 1kN m M zC 2kN m

C max
M y M cos j
m
x z z y L F x m Fz Fz
j
Fy
F y
Fy
②应力 My引起的应力： M z引起的应力：

Myz Iy

Mz cosj Iy

Mzy M y sin j Iz Iz
Myz Iy Mz y Iz
合应力：
m

FN M max A Wz
最大拉应力发生在危险截面的下边缘各点处，由于危险
点处于单向受力状态，其强度条件为：
max
三、偏心压缩（拉伸）
将偏心力F平移到顶截面的形心C处，得到轴向压力F， 以及力矩M y=FzF、Mz=FyF,如图所示。
在轴向压力F作用下，任一横截面上的正应力均匀分布：
max
M Wz
在扭矩T作用下引起的切应力为：
T IP
其分布如图(c)示，在边缘处各点切应力最大， T max WP
从图(b)(c)可见，上下边缘的点K1、K2即有最大正应力又有
最大切应力，是截面的危险点。图（d)所示为K1的应力单元
体，K1、K2两点均属平面应力状态，且两点的正应力和切应 力都是相等的，所以可以任意取一点研究。 为建立强度条件，需先算出危险点的主应力：
T F A T F
F 4 50 3 10 6.37 MPa 2 A 0.1

A

T 167000 35.7MPa 3 Wn 0.1

r 3 2 4 2
6.372 435.7 2 71.7MPa
安全。
28
作业： P41 49; P43 60; P77 6
1
第八章 组合变形
§8-1 概述
§8-2 两相互垂直平面内弯曲的组合 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
§8-4 弯曲与扭转的组合
1
§8-1 概述
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。
F z x y F F
例题1：矩形截面简支梁，q=30kN/m,F=500kN, 求梁内最 大正应力及跨中截面上中性轴位置。
解：梁内最大正应力发生在跨中截面的下边缘处，该截面上 弯矩最大，其值为
1 M max ql 2 15 kN m 8
该截面上轴力为 FN F 500kN
故最大正应力为
max
面弯曲。
Fz z
x
j
Fy
F y z y Fz
Fy
F
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
x z z y
Fz
j
Fy
F y
Fz F
Fy
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解 Fy F sin j Fz F cosj 2.研究两个平面弯曲 ①内力
M z Fy (L x) F (L x) sin j M sin j
危险截面在A截面，危险点
在其上下边缘 。
3ql2 在A截面上： M 2 ql2 T 2
q
C
l
按第三强度理论：
r 3
1 Wz M 2 T 2
安全
例题： 直径为 d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图
例题2：求图示杆在力F作用下的最大拉应力，并指明所在 位置。
100
200
F=100kN
t max
F A hb2 6
F
b 2
----发生在后铅垂面各点上。
§ 8–4
弯曲与扭转的组合
如图所示，圆轴在某一截面上即有弯矩M又有扭矩T。
在弯矩M作用下引起的正应力为：

My Iz
其分布如图(b)示，在上下边缘处正应力最大，
r 3
1 Wz 1 Wz M 2 T 2 M 2 0.75T 2
r 4
例题：图示水平放置的圆截面直角刚折杆，直径d=100mm， l=2m，q=1kN/m，[σ]=160MPa 。校核该杆的强度。
l q
解：1.荷载简化 2 .内力图（M图、T图）
B
A
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。 ⑤强度条件 危险点一般处于单向应力状态，故： max
说明：
1.中性轴是一条通过截面形心的直线，一般情况下 I I y z
所以中性轴与外力所在的平面不垂直。而梁弯曲变形时的 位移总是垂直于中性轴，因此梁变形后的轴线（即挠曲线） 不在外力所在的平面内，这种弯曲就是斜弯曲。 2.对于有棱角的对称截面（矩形、工字型、箱型），其最
1 1 （ 2 4 2） 2
2 0
3 （ - 2 4 2）
1 2
若采用第三强度理论，将主应力代入得：
r 3 2 4 2
若采用第四强度理论，将主应力代入得：
r 4 2 3 2
对于实心或是空心圆轴，WP=2Wz，所以：
x z
Fz
j
Fy F y
z
y
x
m
L
Fz F
Fy

Myz Iy

Mz y Iz
应力符号规定
M y z0 Iy M z y0 0 Iz
中性轴
③中性轴方程


z
D1
D2
中性轴与z轴夹角 tan y0 I z ctan j
z0 Iy
Fz
j
Fy F y
④最大正应力
大正应力的位置可直接平判别出来。
3.对于圆形、正方形截面 I y I z ，正应力可直接用合成 弯矩进行计算。
例1：简支梁受力如图示，已知材料的许用应力 120MPa 试对（1）矩形截面b=40mm ，h=80mm （2）圆截面，直 径d=65mm，分别校核梁正应力强度。
解：作梁的弯矩图。 （1）矩形截面：可能的危险截面为B,C截面 在B截面： M yB 2kN m M zB 1kN m
T
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①外力分析：外力向形心(或弯曲中心)简化并沿主惯性轴分 解。 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。
§12–2
一、研究方法 ：
两相互垂直平面内弯曲的组合
1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正交的平
30
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max
所以，圆截面梁的正应力强度也满足要求。
§ 8– 3
拉伸(压缩)与弯曲的组合
生的变形。
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
二、应力分析： 在轴向拉力F1 作用下，各截面上有相同的轴力FN=F1， 而在横向力F2作用下，固定端截面上弯矩最大，Mmax=F2L。 因此固定端截面为杆的危险截面。
N 危险截面上，与轴力对应的正应力为： N A
F
与弯矩对应的正应力为： M M max y Iz 叠加得，危险截面上任一点y处的正应力为：
FN M max y A Iz

FN M max y A Iz
上式表明，正应力沿截面高度呈线性分布，中性轴不通 过截面形心。
max

M yC Wy

M zC 117.2MPa Wz
所以，矩形截面梁的正应力强度满足要求。 （2）圆截面：危险截面为B或C截面，二者同等危险。
2 其合成弯曲为： M M y M z2 2.236kN m
W
d 3
32
26.96cm3
M W 82.94MPa