第6章 模糊可靠性计算方法

6.2 模糊统计和常用的隶属函数
隶属函数的确定，应该进行模糊统计。也可以利用人们长期 积累的实践经验，以及专家和操作人员的经验，但也容许有 一定的人为技巧，最终以符合客观实际为标准。这样就避免 了一刀切的不合理性。 实际计算时，常常是选择一些具有代表性的隶属函数，然 后确定其参数。下面是几种常用的隶属函数
模糊性和随机性之间有着本质的区别。可靠性设计主要是考 虑设计变量的随机性，以概率统计为基础。但是，在可靠性 设计中还涉及到很多模糊性问题，这就需要用模糊集理论来 处理。在机械零件可靠性设计中，模糊集理论的一个重要应 用就是模糊事件的概率 若X是离散型随机变量，其可能取的值为 xi (i = 1,2,L) 样本空间上的模糊子集 A 表示模糊事件，
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
降半矩形隶属函数为
1,当x ≤ a µ A ( x) = ~ 0,当x > a
降半梯形隶属函数为
1,当x ≤ a1 a −x ,当a1 < x ≤ a 2 µ A ( x) = 2 ~ a 2 − a1 0, 当x > a 2
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
第6章 模糊可靠性计算方法 章
在这些情况下，就需要用模糊数学的方法来解决。模糊数学与 可靠性理论结合得到的可靠度称为模糊可靠度。实际上这就是 模糊数学与概率论互相渗透的结果。通过这种渗透，从而使计 算得到的零件的可靠度结果更符合实际情况。在某些情况下得 不到工作应力或极限应力的概率分布时可采用隶属函数来近似 代替，但隶属函数不能随意取各种分布形式。 本章将具体讨论模糊可靠度的计算及其适用范围
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
几种常用的戒上型隶属函数 通常将实数域上的隶属函数称为模糊分布 在机械可靠性设计中经常遇到的是这样一类问题，如，允许 的磨损量、允许的变形量、允许的制动距离等。对于这类问 题，应采用戒上型的隶属函数，如降半矩形、降半梯形、降 半正态、降岭形、降半Г、降半哥西等隶属函数。其中较为 常用的是降半矩形、降半梯形和降半正态隶属函数
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
梯形隶属函数为
a2 + x − a a − a , 当a − a 2 < x ≤ a − a1 1 2 1, 当a − a1 < x ≤ a + a1 µ A ( x) = ~ a 2 − x + a , 当a + a < x ≤ a + a 1 2 a 2 − a1 0, 其它
正态隶属函数为
µ A ( x) = e
~
− k ( x − a )2
, 其中k > 0
6.3 模糊可靠度计算公式
在机械可靠性设计中，有些场合是纯随机性问题，应该用概 率统计理论来解决。例如，应力-强度干涉模型中的强度判据 即是如此。而有些场合则是模糊性问题，应该用模糊数学的 方法来解决。例如，设计中的一些人为规定即是如此。下面 推导建立存在模糊性信息时可靠度的计算公式 设论域中的变量，如磨损量、变形量、寿命、爆破压力等都是 随机变量。通过试验获得数据，然后利用数理统计的方法确定 其分布类型和分布参数
−
( x − µ )2
2σ 2
dx
1 a2 − µ a1 − µ + σφ a 2 − µ − σφ a1 − µ = (a 2 − µ )Φ σ − (a1 − µ )Φ σ σ σ a 2 − a1
6.3 模糊可靠度计算公式
当模糊事件A 的隶属函数由式(6-8)表示时，则模糊可靠度为 ~
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f λ ( x)dx = ∫ λe
~ 0
~
∞
a
− λx
0
dx + ∫ e − k ( x − a ) λe −λx dx
2
∞
a
= 1− e
− λa
+λ
π
k
e
λ −λ a − 4k
A
~
相对应的模糊概念的含义，要求每个人员对模糊概念进行一 次固定化的划分，此划分表示模糊概念的一个近似的外延 （相当于做一次试验）。
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
取定一个固定的元素x0，求出划分中包含x0的次数n，计算x0对
A
~
的隶属频率
x0 对 A的隶属频率 =
~
n N
实验表明：随着N的增大，隶属频率也会呈现出稳定性。频率 稳定所在的那个数，叫做x0对 A 的隶属度。取定不同的x0， ~ 可以得到不同的隶属频率（隶属度），将其在以x为横坐标、 隶属函数为纵坐标的平面内描点，将这些点连成光滑曲线，即 为隶属函数曲线
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
对于论域U中的任一子集A（如疲劳寿命在某一范围内）， 确定了一个从U到 {0,1} 的映射 x A
x A : U → {0,1}
1, 当u ∈ A u → x A (u ) = 0, 当u ∉ A
映射 x A 叫做集合A的特征函数 论域中的某一元素u是否属于集合A是明确的
~
则该模糊事件的概率定义为
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
P ( A) = ∑ µ A ( xi ) pi
~ i =1
~
∞
若X是连续型随机变量，f (x) 是其概率密度，R（数直线或 实数域）上的模糊子集 A 表示模糊事件，则该模糊事件的 ~ 概率定义为
P( A) = ∫ µ A ( x) f ( x)dx
λ ⋅ 1 − Φ 2π
论域中变量服从正态分布 正态分布的概率密度为
f N ( x) =
1 2π σ
e
−
( x − µ )2
2σ 2
6.3 模糊可靠度计算公式
模糊可靠度的表达式分别为
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f N ( x)dx = ∫
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
然而，在论域中有些子集的界限并不是很明确的（例如， “疲劳寿命在某值左右”）即元素u是否属于这个子集并不能 确切地回答是与否，而只能说它属于这个集合的程度，这个 程度称为隶属度，相应的函数称为隶属函数。显然，这样的 问题在普通集合中不能解决。因此，L.A.Zadeh教授建立了模 糊子集的概念及运算规则
降半正态隶属函数为
1, 当x ≤ a µ A ( x) = − k ( x − a )2 ~ e , 当x > a
几种常用的中间型隶属函数
A 对于那些“在某值左右”的模糊子集 可采用中间型隶属函数
~
矩形隶属函数为
1,当a − b < x ≤ a + b µ A ( x) = ~ 0, 其它
6.3 模糊可靠度计算公式
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f N ( x)dx
~ −∞
~
∞
=∫
a
1 2π σ
−∞
e
−
( x − µ )2
2σ 2
dx + ∫ e − k ( x − a ) ⋅
2
∞
1 2π σ
a
e
−
( x − µ )2
2σ 2
dx
− 2 1 a−µ = Φ e 2 [1 − Φ( y1 )] + σ 2kσ 2 + 1 y
y1 =
a−µwenku.baidu.com
σ 2kσ 2 + 1
2kaσ + µ µ y 2 = 2ka 2 + − 2 σ 2kσ 2 + 1 σ
2 2
(
(
)
2
)
6.3 模糊可靠度计算公式
论域中变量服从对数正态分布 对数正态分布的概率密度为
(ln x − µ )2 −
2σ 2
f L ( x) =
∞
1 2π σx
6.3 模糊可靠度计算公式
现将可靠性设计中常用概率分布与上述的戒上型隶属函数的各 种组合的模糊事件的概率由式(6-4)推导出具体的表达式。当这 些模糊事件为“允许的磨损量”、“允许的变形量”等时，此 概率即为可靠度。为区别于常规的可靠度，这里将其称为模糊 可靠度。由于它仍然是一个概率，故仍采用R来表示，同时它 也可以用于机械系统的可靠性计算中
a
0
当模糊事件 A 的隶属函数由式(6-7)表示时，则模糊可靠度为
~
− λx R = P( A) = ∫ µ A ( x) f λ ( x)dx = ∫0 λe dx + ∫a
∞
a1
a2
1
~
0
~
e −λa1 − e −λa2 a 2 − x −λx λe dx = 1 − (a 2 − a1 )λ a 2 − a1
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
通过上述的模糊统计可以看出，隶属函数是人脑反映性的东西， 确实包含着人脑的加工，其中包含着某种心理过程。但是，心 理活动也是物质性的。心理物理学的大量实验表明，人的各种 感觉所反映出来的心理量与外界刺激的物理量之间保持相当严 格的定理。同时，也正是由于隶属函数的确定是人为加工的， 所以它具有更大的灵活性，一旦确定的隶属函数与实际不符时， 可通过再学习来加以改进
~ −∞
~
∞
a
1 2π σ
−∞
e
−
( x − µ )2
2σ 2
a−µ dx = Φ σ
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f N ( x)dx
~ −∞
~
∞
=∫
a1
1 2π σ
−∞
e
−
( x − µ )2
2σ 2
dx + ∫
a2
a1
a2 − x 1 ⋅ e a 2 − a1 2π σ
~ −∞
~
∞
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
概率密度 f (x) 可通过对试验数据进行统计处理后获得， 而隶属函数的获得则需要用模糊统计的方法。下面介绍一 下模糊统计的方法以及在可靠性设计中常用的隶属函数
6.2 模糊统计和常用的隶属函数
模糊统计方法 模糊性是由于概念外延的模糊而造成的在划分上的不确定性。 模糊试验（或称模糊统计）与随机试验类似，是用确定性手段 去研究模糊性。与随机试验不同的是模糊试验是对人进行试验， 即向被调查的人员（专业技术人员）说明模糊子集合
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
模糊数学是研究、处理模糊性问题的数学。所谓模糊性，就 是概念本身没有明确的外延。模糊概念不能用普通集合来刻 划，而应该用模糊集合来刻划。 为了说明模糊集合，首先来简单回顾一下普通集合 普通集合研究的是非此即彼现象，可以用特征函数来表征。 将被讨论的对象全体称为论域，用U表示。例如，某种材料 在一定应力水平下的疲劳寿命即为一个论域
a1
1 2π σx
0
e
−
(ln x − µ )2
2σ 2
dx + ∫
a2
a1
a2 − x 1 ⋅ e a 2 − a1 2π σx
−
(ln x − µ )2
2σ 2
dx
1 = a 2 − a1
−e
µ+ σ2
2
ln a 2 − µ ln a1 − µ − a1Φ a 2 Φ σ σ
6.3 模糊可靠度计算公式
论域中变量服从指数分布 指数分布的概率密度为
f λ ( x ) = λe
∞
− λx
当模糊事件 A的隶属函数由式(6-6)表示时，则模糊可靠度为 ~
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f λ ( x)dx = ∫ λe −λx dx = 1 − e −λa
~ 0
~
第6章 模糊可靠性计算方法 章
6.1 模糊集合及模糊事件的概率 6.2 模糊统计和常用的隶属函数 6.3 模糊可靠度计算公式 6.4 模糊可靠度的应用及计算举例 6.5 最大应力和最小强度组合的模糊可靠度
第6章 模糊可靠性计算方法 章
美国控制论专家L.A.Zadeh教授在1965年创立了模糊数学，即 模糊集合论。模糊数学是处理“亦此亦彼”问题的数学，它弥 补了确定性数学的“非此即彼”二值逻辑的缺陷，因此，模糊 数学发展非常迅速 可靠性设计是处理设计变量随机性的问题。但是在一些零件的 失效判据中存在着模糊性，例如，“允许的磨损量（即磨损量 达到多少时为失效）”、“允许的变形量（即变形量达到多少 时为失效）等
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
模糊子集 A 是指：在论域U中，对于任意的 u ∈ U ~ 指定了一个数 µ A (u ) ∈ [0,1]
~
称 µ A (u ) 为u对 A ~ ~
的隶属程度，映射
µ A：U → [0,1]
~
u → µ A (u )
~
叫做 A 的隶属函数
~
6.1 模糊集合及模糊事件的概率
e
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f L ( x)dx = ∫
~ 0
~
a
1 2π σx
0
e
−
(ln x − µ )2
2σ 2
ln a − µ dx = Φ σ
6.3 模糊可靠度计算公式
R = P( A) = ∫ µ A ( x) f L ( x)dx
~ 0
~
∞
=∫