误差分布与精度指标
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E
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
§2.2正态分布
§2.3偶然误差的规律性
§2.4衡量精度的指标
§2.5精度、准确度与精确度
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1随机变量的数字特征
一、数学期望 (expected value)
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、 系统误差、粗差）的大小。 观测误差较小，观测质量较好，精度高 观测误差较大，观测质量较差，精度低
北京建筑工程学院 测绘工程系
衡量精度的指标
方差和中误差(variance and mean square error MSE) 平均误差(average error) 或然误差(probable error) 极限误差(limit error)
n
i2 2 ˆ i 1 n n i2 i 1 ˆ n
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
方差、协方差
2 X E X E ( X )2 E (2X )
2 Y E Y E (Y )2 E (2 ) Y
1定义：随机变量的概率平均值 离散型 E ( X ) xi pi
i 1
E( X )
x
连续型
E( X )
xf x dx
北京建筑工程学院 测绘工f Random Variable
数学期望的运算规则
E (C ) 0 E (CX ) CE ( X ) E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
北京建筑工程学院 测绘工程系
3.根据概率分布曲线分析偶然误差的规律性 偶然误差的概率分布曲线，又称为偶然误差的分布密度 曲线。这一曲线与正态分布密度曲线极为接近，所以一 般总是认为，当时 n ，偶然误差的频率分布是以正态分 布为其极限的。
f ()
0
图2.-3
北京建筑工程学院 测绘工程系
N ( 2 )
f (X ) 1
2
e
( X ) 2 ( 2 2 )
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.2 normal distribution
二、n维正态分布:
f ( x1 , x2 , x3 ,, xn ) 1
1 2
2
n 2
| DXX |
1 1 exp ( x x )T DXX ( x x ) 2
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable 二、方差 variance
定义：
D( X ) E x E x
2
D( X ) Dx x
离散型 连续型
D( X ) x E x pi
2 i 1
1 f d 2
或然误差与中误差的关系
2 3 3 1.4826 2
0.6745
北京建筑工程学院 测绘工程系
极限误差 limit error 中误差不代表个别误差的大小，他表示误差分布的 离散度大小。中误差落在三个区间的概率：
P 63.8%, P 2 2 95.5%, P 3 3 99.7%.
北京建筑工程学院 测绘工程系
1.根据图表分析偶然误差的规律性
北京建筑工程学院 测绘工程系
1.根据图表分析偶然误差的规律性
a)从误差的大小、个数考察误差的特性：
绝对值有一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多
绝对值相等的正负误差的个数相近
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1.根据图表分析偶然误差的规律性
描述两随机变量的相关性
XY D( X ) D(Y ) X Y
XY
1 1
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§2.2 正态分布 normal distribution
一.维正态分布:
是具有两个参数μ和 2的连续型随机变量的分布,第一参数μ 是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数 2 是此随机变 量的方差,所以正态分布记作。
b)从频率分布的角度分析误差分布情况
愈接近于零的误差区间,误差出现的频率愈大 距离零愈来愈远,误差出现的频率递减 出现在正负误差区间内的频率基本相等
北京建筑工程学院 测绘工程系
2.根据直方图分析偶然误差的规律性
北京建筑工程学院 测绘工程系
直方图具体作法和分析 横轴：先在横轴上截出表中的各误差区间并以之为底 纵轴：以误差出现于相应区间的频率除以区间间隔的商为高， 作一系列长方形，构成所示的直方图 分析：图中每一长方形面积即为误差出现于该相应区间的频 率，长方形面积之和等于1，长方形的高则表示相应区间 的误差分布密度。
偶然误差的界限性：在一定测量条件下，偶然误差的数值是有一定范
围的。因此我们可以根据测量条件来确定偶然误差出现的界限。显然测量条 件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小；反之，则愈大。所以界限性是以后 讨论极限误差的理论依据。
偶然误差的聚中性：偶然误差愈接近零，其分布愈密，而且易知，对
于较好的测量条件这一特性必然相对明显和突出。
偶然误差的理论平均值为零
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.3 Properties of Random Errors 偶然误差的前三个特性可以简要概括为： 界限性 聚中性 对称性 抵偿性 它们充分揭示了表面上似乎并无规律性的偶然误差 的内在规律。
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.3 Properties of Random Errors
D( X ) E x E x
2
D ( X Y ) D ( X ) 2 xy D (Y )
D( X Y ) D( X ) D(Y )
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable 三、协方差 covariance
正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
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§2.3偶然误差的规律性
Properties of Random Errors
观测值的真值 observations of true value 任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表 其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真 值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含 偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。 真误差 (true error)
1 E ( X 1 ) E( X ) 2 X 2 n E ( X n )
2 x1 x1x2 x2 x1 2 x2 DXX x x x x n 2 n1
，
XY EX E ( X ) Y E (Y ) E ( X Y )
互不相关
XY EX E ( X ) Y E (Y ) E ( X Y )
＝E ( X ) E ( Y ) 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
平均误差 average error 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝 对值的数学期望称为平均误差。
2
e
( X ) 2 ( 2 2 )
北京建筑工程学院 测绘工程系
正态分布是概率论中最重要的分布：
正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
x1xn 2 x2 xn 2 xn
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§2.2 normal distribution
正态分布的特性
f (X )
1
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横 轴间的面积总等于1 n 二项分布、t分布等， 都是以正态分布为极限分 布
相对(中误差、真误差、极限误差)误差 )(relative
error)
北京建筑工程学院 测绘工程系
方差和中误差 variance & mean squares errors
方差的定义
E{ x E x }
2 x 2
2 2
x E x f x dx
i Li Li
L1 L1 1 L L2 2 L , L , 2 n 1 n 1 n 1 Ln Ln n
北京建筑工程学院 测绘工程系
2
D E ( ) 2 f () d ()
中误差
E ( 2 )
中误差的大小可以反映精度的高低,故用中误差作为 衡量精度的指标
北京建筑工程学院 测绘工程系
方差、中误差计算
方差、中误差的估值
i2 2 lim i 1 x n n i2 i 1 lim x n
D( X ) x E x f x dx
2
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
方差传播规律
D (C ) 0 D (CX ) C 2 D ( X ) D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )2 ]
偶然误差的对称性：正负偶然误差的分布对称于零，故其密度函数必
为偶函数，于是得偶然误差的数学期望为零
E() f ()d 0
然误差有相互抵偿性：当误差个数足够多时，其算术平均值应趋于零 n
lim 1 i 0 n n i 1
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.4 衡量精度的指标 Precision Indexes
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
§2.2正态分布
§2.3偶然误差的规律性
§2.4衡量精度的指标
§2.5精度、准确度与精确度
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1随机变量的数字特征
一、数学期望 (expected value)
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、 系统误差、粗差）的大小。 观测误差较小，观测质量较好，精度高 观测误差较大，观测质量较差，精度低
北京建筑工程学院 测绘工程系
衡量精度的指标
方差和中误差(variance and mean square error MSE) 平均误差(average error) 或然误差(probable error) 极限误差(limit error)
n
i2 2 ˆ i 1 n n i2 i 1 ˆ n
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
方差、协方差
2 X E X E ( X )2 E (2X )
2 Y E Y E (Y )2 E (2 ) Y
1定义：随机变量的概率平均值 离散型 E ( X ) xi pi
i 1
E( X )
x
连续型
E( X )
xf x dx
北京建筑工程学院 测绘工f Random Variable
数学期望的运算规则
E (C ) 0 E (CX ) CE ( X ) E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
北京建筑工程学院 测绘工程系
3.根据概率分布曲线分析偶然误差的规律性 偶然误差的概率分布曲线，又称为偶然误差的分布密度 曲线。这一曲线与正态分布密度曲线极为接近，所以一 般总是认为，当时 n ，偶然误差的频率分布是以正态分 布为其极限的。
f ()
0
图2.-3
北京建筑工程学院 测绘工程系
N ( 2 )
f (X ) 1
2
e
( X ) 2 ( 2 2 )
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.2 normal distribution
二、n维正态分布:
f ( x1 , x2 , x3 ,, xn ) 1
1 2
2
n 2
| DXX |
1 1 exp ( x x )T DXX ( x x ) 2
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable 二、方差 variance
定义：
D( X ) E x E x
2
D( X ) Dx x
离散型 连续型
D( X ) x E x pi
2 i 1
1 f d 2
或然误差与中误差的关系
2 3 3 1.4826 2
0.6745
北京建筑工程学院 测绘工程系
极限误差 limit error 中误差不代表个别误差的大小，他表示误差分布的 离散度大小。中误差落在三个区间的概率：
P 63.8%, P 2 2 95.5%, P 3 3 99.7%.
北京建筑工程学院 测绘工程系
1.根据图表分析偶然误差的规律性
北京建筑工程学院 测绘工程系
1.根据图表分析偶然误差的规律性
a)从误差的大小、个数考察误差的特性：
绝对值有一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多
绝对值相等的正负误差的个数相近
北京建筑工程学院 测绘工程系
1.根据图表分析偶然误差的规律性
描述两随机变量的相关性
XY D( X ) D(Y ) X Y
XY
1 1
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.2 正态分布 normal distribution
一.维正态分布:
是具有两个参数μ和 2的连续型随机变量的分布,第一参数μ 是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数 2 是此随机变 量的方差,所以正态分布记作。
b)从频率分布的角度分析误差分布情况
愈接近于零的误差区间,误差出现的频率愈大 距离零愈来愈远,误差出现的频率递减 出现在正负误差区间内的频率基本相等
北京建筑工程学院 测绘工程系
2.根据直方图分析偶然误差的规律性
北京建筑工程学院 测绘工程系
直方图具体作法和分析 横轴：先在横轴上截出表中的各误差区间并以之为底 纵轴：以误差出现于相应区间的频率除以区间间隔的商为高， 作一系列长方形，构成所示的直方图 分析：图中每一长方形面积即为误差出现于该相应区间的频 率，长方形面积之和等于1，长方形的高则表示相应区间 的误差分布密度。
偶然误差的界限性：在一定测量条件下，偶然误差的数值是有一定范
围的。因此我们可以根据测量条件来确定偶然误差出现的界限。显然测量条 件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小；反之，则愈大。所以界限性是以后 讨论极限误差的理论依据。
偶然误差的聚中性：偶然误差愈接近零，其分布愈密，而且易知，对
于较好的测量条件这一特性必然相对明显和突出。
偶然误差的理论平均值为零
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.3 Properties of Random Errors 偶然误差的前三个特性可以简要概括为： 界限性 聚中性 对称性 抵偿性 它们充分揭示了表面上似乎并无规律性的偶然误差 的内在规律。
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.3 Properties of Random Errors
D( X ) E x E x
2
D ( X Y ) D ( X ) 2 xy D (Y )
D( X Y ) D( X ) D(Y )
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable 三、协方差 covariance
正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.3偶然误差的规律性
Properties of Random Errors
观测值的真值 observations of true value 任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表 其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真 值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含 偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。 真误差 (true error)
1 E ( X 1 ) E( X ) 2 X 2 n E ( X n )
2 x1 x1x2 x2 x1 2 x2 DXX x x x x n 2 n1
，
XY EX E ( X ) Y E (Y ) E ( X Y )
互不相关
XY EX E ( X ) Y E (Y ) E ( X Y )
＝E ( X ) E ( Y ) 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
平均误差 average error 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝 对值的数学期望称为平均误差。
2
e
( X ) 2 ( 2 2 )
北京建筑工程学院 测绘工程系
正态分布是概率论中最重要的分布：
正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
x1xn 2 x2 xn 2 xn
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.2 normal distribution
正态分布的特性
f (X )
1
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横 轴间的面积总等于1 n 二项分布、t分布等， 都是以正态分布为极限分 布
相对(中误差、真误差、极限误差)误差 )(relative
error)
北京建筑工程学院 测绘工程系
方差和中误差 variance & mean squares errors
方差的定义
E{ x E x }
2 x 2
2 2
x E x f x dx
i Li Li
L1 L1 1 L L2 2 L , L , 2 n 1 n 1 n 1 Ln Ln n
北京建筑工程学院 测绘工程系
2
D E ( ) 2 f () d ()
中误差
E ( 2 )
中误差的大小可以反映精度的高低,故用中误差作为 衡量精度的指标
北京建筑工程学院 测绘工程系
方差、中误差计算
方差、中误差的估值
i2 2 lim i 1 x n n i2 i 1 lim x n
D( X ) x E x f x dx
2
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
方差传播规律
D (C ) 0 D (CX ) C 2 D ( X ) D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )2 ]
偶然误差的对称性：正负偶然误差的分布对称于零，故其密度函数必
为偶函数，于是得偶然误差的数学期望为零
E() f ()d 0
然误差有相互抵偿性：当误差个数足够多时，其算术平均值应趋于零 n
lim 1 i 0 n n i 1
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.4 衡量精度的指标 Precision Indexes