概率论试题及答案解读
试卷一
一、填空（每小题2分，共10分）
１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）
1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
(A) 取到2只红球(B)取到1只白球
(C)没有取到白球(D)至少取到1只红球
2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
(A)随机事件(B)必然事件
(C)不可能事件(D)样本空间
3. 设A、B为随机事件，则（）。
(A) A (B) B
(C) AB(D) φ
4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
(A) 与互斥(B)与不互斥
(C)(D)
5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)
(C)(D)
6. 设相互独立，则（）。
(A) (B)
(C)(D)
7.设是三个随机事件，且有，则
（）。
(A) 0.1 (B) 0.6
(C) 0.8 (D) 0.7
8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3
(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3
9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)
(C ) (D ) 10. 设事件A 与B 同时发生时，事件C 一定发生，则（ ）。
(A ) P (A B ) = P (C ) (B ) P (A ) + P (B ) – P (C ) ≤ 1 (C ) P (A ) + P (B ) – P (C ) ≥ 1 (D ) P (A ) + P (B ) ≤ P (C )
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。
求取到的两个球颜色不同的概率。
2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。
求能打开门的概率。
3. 一间宿舍住有6位同学，
求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。
4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个，
求至少取到一个次品的概率。
5. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品与其它各道工序无关。 求该种零件的次品率。
6. 已知某品的合格率为0.95，而合格品中的一级品率为0.65。
求该产品的一级品率。
7. 一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收， 求其中确实没有次品的概率。
8. 某厂的产品，按甲工艺加工，按乙工艺加工，两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9。现从
该厂的产品中有放回地取5件来检验， 求其中最多有一件次品的概率。
四、证明题（共6分）
设
，
。证明
试卷一 参考答案
一、填空
1. 或
2. 出现的点数恰为5
3.
与互斥
则
4. 0.6
故
5.
至少发生一个，即为
又由得
故
二、单项选择
1．
2. A
3. A
利用集合的运算性质可得.
4．
与互斥
故
5．
故
6．
相互独立
7.
且
则
8.
9. B
10. B
故P (A) + P (B) –P (C) ≤1
三、计算与应用题
1. 解：
设表示“取到的两球颜色不同”，则
而样本点总数
故
2. 解：
设表示“能把门锁打开”，则，而
故
3. 解：
设表示“有4个人的生日在同一月份”，则
而样本点总数为
故
4. 解：
设表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件=“没有取到次品”
则包含的样本点数为。而样本点总数为
故
5. 解：
设“任取一个零件为次品”
由题意要求，但较复杂，考虑逆事件“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格，
则
于是
6. 解：
设表示“产品是一极品”，表示“产品是合格品”
显然，则
于是
即该产品的一级品率为
7. 解：
设“箱中有件次品”，由题设，有，
又设“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有
于是
8. 解：
依题意，该厂产品的合格率为，
于是，次品率为
设表示“有放回取5件，最多取到一件次品”
则
四、证明题
证明
，，
由概率的性质知则
又
且
故
试卷二
一、填空（每小题2分，共10分）
1. 若随机变量的概率分布为，，则__________。
2. 设随机变量，且，则__________。
3. 设随机变量,则__________。
4. 设随机变量，则__________。
5. 若随机变量
则__________。
二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)
1.设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分
布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。
(A)(B)
(C)(D)
2.设随机变量的概率密度为，则（）。
(A)(B)
(C)(D)
3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。
(A) (B)
(C) (D)
4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。
(A)(B)
(C) (D)
5. 设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。
(A)(B)
(C)(D)
6. 设服从二项分布，则（）。
(A)(B)
(C)(D)
7. 设，则（）。
(A)(B)
(C)(D)
8．设随机变量的分布密度为, 则（）。
(A) 2 (B) 1
(C) 1/2 (D) 4
9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。
(A)二项分布(B) 指数分布
(C)正态分布(D)泊松分布
10．设为服从正态分布的随机变量，则( )。
(A) 9 (B) 6
(C) 4 (D) -3
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。
求抽取次数的概率分布。
2. 车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。
求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？
（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？
3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为
求（1）常数；
（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。
4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。
求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；
（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。
5. 设随机变量。
求概率密度。
6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。
求。
7. 设随机变量的概率密度为。
求和。
8. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独
立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求（1）的概率分布；
（2）。
四、证明题（共6分）
设随机变量服从参数为2的指数分布。
证明：在区间上，服从均匀分布。
试卷二
参考答案
一、填空
1. 6
由概率分布的性质有
即，
得。
2.
，则
3. 0.5
4.
5. 0.25
由题设，可设
即
0 1
0.5 0.5
则
二、单项选择
1. ()
由分布函数的性质，知
则，经验证只有满足，选
2. ()
由概率密度的性质，有
3. ()
由概率密度的性质，有
4. ()
由密度函数的性质，有
5. ()
是单减函数，其反函数为，求导数得
由公式，的密度为
6. ()
由已知服从二项分布，则
又由方差的性质知,
7. ()
于是
8. (A) 由正态分布密度的定义,有
9. (D)
∴如果时,只能选择泊松分布.
10. (D)
∵X为服从正态分布N (-1, 2),EX = -1
∴E(2X - 1) = -3
三、计算与应用题
1. 解：
设为抽取的次数
只有个旧球,所以的可能取值为：
由古典概型，有
2. 解：
设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，
，于是
（1）的最可能值为，即概率达到最大的
（2）
3. 解：
（1）由可得
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用
表示“线路正常工作”，则
而
故
4. 解：
（1）
（查正态分布表）
（2）由题意
即查表得。
5. 解:
对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，
又由题设知
故由公式知：
6. 解:
，则
而
由题设知
即
可得
故
查泊松分布表得，
7. 解:
由数学期望的定义知,
而
故
8. 解:
（1）的可能取值为且由题意,可得
四、证明题
证明：
由已知则
又由
得
连续，单调，存在反函数
且
当时，
则
故
即
试卷三
一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题 2分，共10分） 1. 设二维随机变量
则
__________，
__________.
2. 设随机变量
和
则 __________. 3. 若随机变量
与
相互独立，且
，
，
则 服从__________分布. 4. 已知
与
则 __________. 5. 设随机变量
的数学期望为
、方差
，则由切比雪夫不等式有
__________.
二、单项选择(在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)
1. 若二维随机变量的联合概率密度为，则系数
（）.
(A)(B)
(C)(D)
2. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则下列结论正确的是（）.
(A)(B)
(C)(D)
3. 设随机向量(X , Y)的联合分布密度为, 则（）.
(A) (X , Y) 服从指数分布(B) X与Y不独立
(C) X与Y相互独立(D) cov(X , Y) ≠0
4. 设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）.
(A) (B)
(C)(D)
5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布, 且
, 则下列各式中成立的是（）.
(A)(B)(C)(D)
6．设随机变量的期望与方差都存在, 则下列各式中成立的是（）.
(A)(B)
(C)(D)
7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数
（）.
(A)(B)(C)(D)
8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）.
(A)
(B)
(C)
(D)
9. 设是个相互独立同分布的随机变量，，
则对于，有（）.
(A)(B)
(C)(D)
10. 设,为独立同分布随机变量序列，且X i( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（）.
三、计算与应用题（每小题8分，共64分）
1. 将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数.
求二维随机变量的联合概率分布.
2. 设二维随机变量的联合概率密度为
（1）确定的值；
（2）求.
3. 设的联合密度为
（1）求边缘密度和；
（2）判断与是否相互独立.
4. 设的联合密度为
求的概率密度.
5. 设，，且与相互独立.
求（1）的联合概率密度；
（2）；
（3）.
6. 设的联合概率密度为
求及.
7. 对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.
求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.
8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10个，则认为这批产品不能接受.
问应检查多少个产品才能使次品率为10%的这批产品不被接受的概率达0.9.
四、证明题（共6分）
设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零.
试卷三
参考解答
一、填空
1.
由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得
2.
3.
相互独立的正态变量之和仍服从正态分布
且，
，
∴
4.
5.
二、单项选择
1. (B)
由
即
∴选择(B).
2. (B)
由题设可知，
故将标准化得
∴选择(B).
3. (C)
∴选择(C).
4.(C)
∵随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布, 则
∴选择(C).
5. (A)
∴选择(A).
6.(A)
∵由期望的性质知
∴选择(A).
7. (D)
∴选择(D).
8. (B)
与不相关的充要条件是
即
则
∴选择(B).
9. (C)
∴选择(C).
10.(A)
X i( i = 1,2,…)服从参数为λ的指数分布，则
故
∴选择(A).
三、计算与应用题
1. 解
显然的可能取值为；的可能取值为
注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法,则有
即
2. 解
（1）由概率密度的性质有
可得
（2）设
，则
3. 解
（1）
即
即，
（2）当时
故随机变量与不相互独立.
4. 解
先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此
当时，，
当时，
故的概率密度为
5. 解
（1）与相互独立
的联合密度为
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答 【第一章】 随机事件与概率 1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率. 2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率． 3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101” ，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率. 4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率． 【第二章】 随机变量及其分布 5、设连续随机变量X 的分布函数为 +∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(． （1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度． 6、设随机变量X 的概率密度为 ???≤≤=其它, 0, 10,)(x ax x f ， 求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(< 高考概率论真题及答案解析 概率论作为数学中的一个分支，是高考数学中的一个重要考点。 在高考中，概率论题目常常给考生带来困扰。本文将选取几道高考概 率论真题，以及对应的解析方法，帮助考生更好地掌握解题技巧。 一、某高中有400名学生，其中300名喜欢足球，200名喜欢篮球。求既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生人数。 解析：首先，该高中学生总人数为400人。喜欢足球的人数为 300人，喜欢篮球的人数为200人。根据概率论中的容斥原理，我们可以得到既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生人数为400-300-200=100人。 二、在一个班级中，60%的学生喜欢音乐，40%的学生喜欢运动， 且有70%的学生至少喜欢一种。求这个班级中既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数。 解析：根据题意，喜欢音乐的学生占60%，喜欢运动的学生占40%，至少喜欢一种的学生占70%。根据概率论中的加法原理，我们可 以得到既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数为100% - 70% = 30%。 假设班级中共有100名学生，那么既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生 人数为30% * 100 = 30人。 三、有两个盒子，盒子A中有3个白球，2个黑球，盒子B中有 4个白球，1个黑球。先从一个盒子中任取一球放入另一个盒子，然后 从新的盒子中随机取一球。已知最后随机取到的球是白色，求原盒子 中的球的颜色。 解析：根据题意，我们可以列出两个条件： 1. 最后取到的球是白色； 2. 先取球的盒子中的球的颜色。 设事件A表示最后取到的球是白色，设事件B表示先取球的盒子中的球的颜色。我们要求的是事件B在已知事件A发生的条件下的概率P(B|A)。 根据概率论中的条件概率公式，我们有：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。 根据题意，我们可以知道：P(A∩B) = P(从盒子A中取出球放入盒子B，然后从盒子B中取出白球) = (3/5) * (5/6) = 1/2。因为最后取到的球是白色，所以P(A) = 1。 综上所述，我们可以得到P(B|A) = (1/2) / 1 = 1/2。即在已知最后取到的球是白色的条件下，原盒子中的球的颜色是白色的概率为1/2。 通过以上三个例题，我们可以看到概率论在高考中的应用。在解答概率论题目时，我们可以运用概率论的基本原理，如容斥原理、加法原理、条件概率公式等，来解决问题。同时，我们还需要注意理解题意，把握好条件，进行合理的计算和转化。通过反复的练习和实际解题，我们可以逐渐提升自己的解题能力。 总结起来，掌握概率论的基本原理，并灵活运用于解题过程中，可以帮助我们更好地应对高考中的概率论题目。在备考过程中，我们应多做真题，积累解题经验，注重理论联系实际的运用。相信通过努力和准确的解题方法，我们一定可以在高考中取得优异的成绩。 ;第一章 一、填空题 1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。 2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为 0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。 3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 （AB AC BC ++ ）。 4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8， 0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。 5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。 7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （ AB AC BC I I ） ； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求 敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。 12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（ D ） Ａ、样本空间 Ｂ、必然事件 Ｃ、不可能事件 D 、随机事件 2. 某工厂每天分3个班生产，i A 表示第i 班超额完成任务(1,2,3)i =，那么至少有两个班超 额完成任务可表示为（ B ） 一、填空题 1. 掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是0.5 2. 把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 1 15 3. 6．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率27 4. 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则()0.6.P AB = 5. 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|)0.8 .P B A B ⋃= 6. 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为 34 . 7. 设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则()0.5.P B = 8. 设,A B 为两事件，11 ()(),(|),36 P A P B P A B === 则7(|).12 P A B = 9. 设123,,A A A 相互独立，且2 (),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概 率是 7.27 10．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为0.104 二、选择题 1. 下面四个结论成立的是（B ） .()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A --=-⋃=∅⊂=∅ ⋃-=-⋃=若且则 2. 设()0,P AB =则下列说法正确的是（ D ） ... ()0()0. ()() A A B B AB C P A P B D P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 〈概率论〉试题 一、填空题 1．设A、B、C是三个随机事件。试用A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生 2．设A、B为随机事件，，，.则＝ 3．若事件A和事件B相互独立, ，则 4。将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量分布律为则A=______________ 7。已知随机变量X的密度为,且，则________ ________ 8。设～，且,则_________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 11.设，，则 12。用（)的联合分布函数F（x,y）表示 13。用（）的联合分布函数F（x，y）表示 14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15。已知，则＝ 16.设，且与相互独立,则 17。设的概率密度为，则＝ 18。设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 19。设，则 20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有 ~ 或～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～. 21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么 依概率收敛于。 22.设是来自正态总体的样本，令则当 时～。 23。设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24。设X1，X2，…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从 二、选择题 1。设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 （A）P （A+B） = P (A);（B） （C）（D） 2。以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 （A）“甲种产品滞销,乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销"; （D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球.则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C)3/5 （D）4/5 4。对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A,B互不相容，则与也互不相容。 (B）若A,B相容,那么与也相容. 《概率论》考试试题（含答案） ................................................................................................... 1 解答与评分标准 . (3) 《概率论》考试试题（含答案） 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 (),()23 P A P B = = 则()P AB 可能为（ ） (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ） (A) 12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ） (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e +=+，则F (0)的值为（ ） (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B =_____. 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2 ()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥ 0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3)观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： (5)检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω； (8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{ 6.18.0≤=x x B 具体写出下列各事件： 一、习题详解： 写出下列随机试验的样本空间： (1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3)观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： (5)检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω； (8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1) ,0k N k N P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤ ⎪⎝⎭ . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1)1N N k N k k N k k k N N EX k p p N p p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ -⎝⎭ ⎝⎭∑∑ 1 ((1))N N p p p N p -=+-= 则E X p N =.用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 1 1 121 1 (,,;)()(1)n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑∑⎛⎫= == ⋅- ⎪⎝⎭ ∏∏ 取对数 1 1 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===⎛⎫ = +⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑ ∑∑， 1 1 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-= - -∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 1 1ˆn i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 1 1ˆn i i X X n p N N === ∑ . 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0,x x f x θθθ⎧<<⎪ =⎨⎪⎩ 其它. 其中参数0θ>，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 2 22()3 x E X xf x dx x dx θθθ +∞-∞ = =⋅ =⎰ ⎰ 32 E X θ⇒= 用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2 X θ= . 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧≤>=--0 ,0,0,);(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) 第一章 随机事件及其概率 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则 496 4100 C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν． 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}． 解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的 取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有2 5C 10=种不同取法）； 有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）； 有利于3A 的取法有5×2 5 C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得 111102550()0.06()0.15()0.30165165165 P A P A P A = =====&&&&&&，，． 考虑一元二次方程 02 =++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β． 解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=?．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}?<和{0}?>．下表给出了事件{ ? 由对称性知{0}?<和{0}?>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率 β为 17 0.47 αβ== ≈． ． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-， ()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-， ([])()()P A A B P A AB P A p +=+==． 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球， 概率学高考试题分析及答案概率学是数学的一门重要分支，也是高考数学考试中的一个重要内容。在高考试题中，概率学往往占据一定比重，要求考生具备深厚的概率学知识和解题能力。本文将对一些典型的概率学高考试题进行分析，并给出详细的解答过程。 1. 试题一 A、B两名学生随机选取一本书进行阅读。已知A学生在书架上有4本数学书、3本物理书和2本化学书可供选择；B学生在书架上有3本数学书、2本物理书和4本化学书可供选择。求以下事件的概率：事件一：A和B选取的是同一科目的书； 事件二：A和B选取的是不同科目的书。 解答： 事件一的概率：首先计算A和B都选择数学书的概率：A选择数学书的概率为4/9，B选择数学书的概率为3/9，则A和B都选择数学书的概率为(4/9)×(3/9) = 4/27；同理，计算A和B都选择物理书的概率为(3/9)×(2/9) = 2/27，选择化学书的概率为(2/9)×(4/9) = 8/81。所以事件一的概率为(4/27)+(2/27)+(8/81) = 62/81。 事件二的概率：由于事件二与事件一互为对立事件，所以事件二的概率为1-62/81 = 19/81。 2. 试题二 某班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。从该班级中随机抽取3名学生，求以下事件的概率： 事件一：抽取的3名学生中至少有2名男生； 事件二：抽取的3名学生中2名男生和1名女生。 解答： 事件一的概率：计算抽取的3名学生全为男生的概率为 (20/40)×(19/39)×(18/38) = 247/494；计算抽取的3名学生中有2名男生的概率为[(20/40)×(19/39)×(20/38)]×3 = 570/988。所以事件一的概率为(247/494)+(570/988) = 89/197。 事件二的概率：计算抽取的3名学生中2名男生和1名女生的概率为[(20/40)×(19/39)×(20/38)]×[(20/40)×(20/39)×(19/38)]×3 = 190/658。所以事件二的概率为190/658。 通过以上两个例子，我们可以看出概率学在高考数学考试中的重要性。掌握好概率计算的方法和思路，能够帮助考生更好地解答相关试题，提高概率题型的得分率。 总结： 本文对概率学高考试题进行了分析，并给出了详细的解答过程，涵盖了不同的概率题型。通过这些例子的分析与解答，相信读者对概率学在高考数学考试中的应用和解题技巧有了更深入的理解。希望本文能对广大考生的备考有所帮助。 概率论复习题及答案 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C (2) ABC A B C (3) A B C (4) BC AC AB 2. 设A , B为两相互独立的随机事件, P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求P(A B), P(A B), P( A | B) 。 解：P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ； P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A|B) P( A) 0.4。 3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5，P(A B) 0.9 ，求P( B), P(A B) 。 解：P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。 4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求P(A B), P( AB) 。 解：P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( A B) 0.8, P( A B)P( A B)P(A)P(A)B 。0. 2 5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P(A B C) 。 解：P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。 6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) P 2 C C 4 . 试题一 一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ⊂B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ） A.91 99 100 98 .02.0C B. i i i i C -=∑1001009 100 98.02.0 C. i i i i C -=∑100100 10 100 98 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 100 98.02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()3 1 253(321=++ X X X E A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本 521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 2 3 21X X X X X c +++⋅ 服从t 分布。（ ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设 X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ ） A. 6 )14(2 61-- x e π B. 3 2)14(2 61-- x e π C. 6 )14(2321-- x e π D. 2 3)14(2 61-- x e π 7、 321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ ） A. 3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X + + D. 3216 1 3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 概率论与数理统计试题 A 卷 2007-2008学年 第二学期 2008.06 一、填空题（每空3分，共18分） 1. 事件A 发生的概率为0.3，事件B 发生的概率为0.6，事件A ，B 至少有一个发生的概率为0.9，则事件A ，B 同时发生的概率为____________ 2. 设随机向量（X ，Y ）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为,45 ,41,1,21c c c c 取其余数组的概率均为0，则c =__________ 3. 设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于y 的方程012 =+-Xy y 无实根的概率为_______________. 4. 若)1,0(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______________ 5. 设总体X 的概率密度为⎩ ⎨⎧<<+=其他,0, 10,)1();(x x x f θθθ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，则待估参数 ） （-1>θθ的最大似然估计量为_____________. 6. 当2σ已知，正态总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为（样本容量为n ）___________ 二、选择题（每题3分，共18分） 1. 对任意事件A 与B ，下列成立的是-------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0)((),()|(≠=B P A P B A P （B ）)()()(B P A P B A P += （C ）)0)((), |()()(≠=A P A B P A P AB P （D ）)()()(B P A P AB P = 2. 设随机变量X ),(~p n B 且期望和方差分别为48.0)(, 4.2)(==X D X E ，则----（ ） (A) 3.0,8==p n (B) 4.0,6==p n (C) 4.0,3==p n （D ） 8.0,3==p n 3. 设随机变量X 的分布函数为F X （x ），则2 4 += X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( ) (A) 1()22X F y + (B) 1 (2)2 X F y + (C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y - 4. 若随机变量X 和Y 的相关系数0=XY ρ，则下列错误的是---------------------------------（ ） 事件表达式A B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的χ2分布. 因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则X +Y ~N (0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有123 3 X X X ++是μ的无偏估计. 因为样本均值是总体 期望的无偏估计. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为3.5. 选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= 0.18. 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25. 由古典概型计算得所求概率为 3 105321 0.254 C ⨯⨯==。 已知连续型随机变量 , 01,~()2,12, 0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪ =-<≤⎨⎪⎩ 其它 则P {X ≤1.5}=0.875，因 P {X ≤1.5} 1.5 ()d 0.875f x x ==⎰ 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )= 填 4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.5 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分） 解：设从甲袋取到白球的事件为A ，从乙袋取到白球的事件为B ，则根据全概率公式有 ()()(|)()(|)21115 0.417323412 P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯==高考概率论真题及答案解析
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