数学分析 第一章 集合与映射
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但容易证明:每个无限集必包含可列集。
证 设S是一个无限集,先取a1S,由于S是无限集, 必存在a2S, a1a2,再由S是无限集,必存在a3S, a3a1, a3a2,这个过程可以无限进行下去,于是 得到一个可列集为
T a1, a2, , an,
且T S 。
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元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像(也称为原像). 集合 X 称为映射 f 的定义域 ,记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
源自文库
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q,p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业:p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合,在集合A中任取一个元素x, 在集合B中任取一个元素y,组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素,它们全体组成
4. 有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成,则称集合S为有限集, 不是有限集的集合称为无限集。
例如 N、Z、Q、R都是无限集。
S x x2-3x+2=0 是有限集。
如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列
换句话说,这个集合可表示为
a1, a2, , an,
则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。
第一章 集合与映射
§1 集 合 §2 映 射 §3 函 数
第一章
§1 集合
1. 定义及表示法
定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象 的总体称为集合。组成集合的对象称为元素。 通常用大写字母如 A, B, S, T,¨¨表示集合 , 而用小写字母如 a,b,x,y,¨¨表示集合的元素。 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
左 邻域 :
右 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
定义1.1.2 设有集合A, B ,若 x A 必有 x B , 则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若A 是 B 的一个子集,但存在一个元素 xB但 xA,
则称 A 是 B 的一个真子集。
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
A \ B A BC
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3. 集合运算的性质 1 .交换率 A B B A , A B B A 2 . 结合律 (A B) D A (B D)
(A B) D A (B D)
3 .分配率
4 . 对偶律 ( De Morgan公式 )
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显然有下列关系 :
定义1.1.3 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
补集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
例如:有理数关于实数集的补集是无理数集
容易知道,集合补与差满足如下关系
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
r
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
元素 a 属于集合 S , 记作 a S.
元素 a 不属于集合 S , 记作 a S ( 或 a S ) .
集合的表示方法: (1) 枚举法:按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 正整数集合 N 1, 2,3, , n,
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法: S x x 所具有的特征P 例: 整数集合 Z x x N 或 x N
的集合称为集合A与集合B的Descartes 乘积集合。
记为A×B, 即
A B (x, y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
B AB
A
§2、 映射与函数
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
引例2.
例1.1.2 整数集是可列集 解:因为整数集可以按规律 {0,1,-1,2,-2,¨¨,n,-n, ¨¨}
排成一列,因而是可列集。
设 An (n 1, 2,3, ) 是无穷可数个集合,其中每一
个集合An都是可列集,则它们的并集
An A1 A2 An { x | 存在n N ,使x An}
n1
一定是可列集。即有下面的定理。
定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。
定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。 证明见P7。
定理1.1.2 有理数集Q是可列集。
证 令 An (n, n 1] n Z , R An
n
由定理1.1.1,只需证明(0,1]中的有理数集是可列集即可.
区间(0,1]中的有理数可唯一表示为既约分数q/p,其中
对映射 若 f (X ) Rf Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3
X
f Y f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
证 设S是一个无限集,先取a1S,由于S是无限集, 必存在a2S, a1a2,再由S是无限集,必存在a3S, a3a1, a3a2,这个过程可以无限进行下去,于是 得到一个可列集为
T a1, a2, , an,
且T S 。
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元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像(也称为原像). 集合 X 称为映射 f 的定义域 ,记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
源自文库
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q,p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业:p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合,在集合A中任取一个元素x, 在集合B中任取一个元素y,组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素,它们全体组成
4. 有限集与无限集 若集合S由有限个元素组成,则称集合S为有限集, 不是有限集的集合称为无限集。
例如 N、Z、Q、R都是无限集。
S x x2-3x+2=0 是有限集。
如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列
换句话说,这个集合可表示为
a1, a2, , an,
则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。
第一章 集合与映射
§1 集 合 §2 映 射 §3 函 数
第一章
§1 集合
1. 定义及表示法
定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象 的总体称为集合。组成集合的对象称为元素。 通常用大写字母如 A, B, S, T,¨¨表示集合 , 而用小写字母如 a,b,x,y,¨¨表示集合的元素。 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
左 邻域 :
右 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
定义1.1.2 设有集合A, B ,若 x A 必有 x B , 则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
例如 ,
,
,
若A 是 B 的一个子集,但存在一个元素 xB但 xA,
则称 A 是 B 的一个真子集。
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
A \ B A BC
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3. 集合运算的性质 1 .交换率 A B B A , A B B A 2 . 结合律 (A B) D A (B D)
(A B) D A (B D)
3 .分配率
4 . 对偶律 ( De Morgan公式 )
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显然有下列关系 :
定义1.1.3 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
补集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
例如:有理数关于实数集的补集是无理数集
容易知道,集合补与差满足如下关系
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
r
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
元素 a 属于集合 S , 记作 a S.
元素 a 不属于集合 S , 记作 a S ( 或 a S ) .
集合的表示方法: (1) 枚举法:按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 正整数集合 N 1, 2,3, , n,
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n, n
(2) 描述法: S x x 所具有的特征P 例: 整数集合 Z x x N 或 x N
的集合称为集合A与集合B的Descartes 乘积集合。
记为A×B, 即
A B (x, y) x A, y B
特例: R R 记 R 2
为平面上的全体点集
B AB
A
§2、 映射与函数
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
引例2.
例1.1.2 整数集是可列集 解:因为整数集可以按规律 {0,1,-1,2,-2,¨¨,n,-n, ¨¨}
排成一列,因而是可列集。
设 An (n 1, 2,3, ) 是无穷可数个集合,其中每一
个集合An都是可列集,则它们的并集
An A1 A2 An { x | 存在n N ,使x An}
n1
一定是可列集。即有下面的定理。
定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。
定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。 证明见P7。
定理1.1.2 有理数集Q是可列集。
证 令 An (n, n 1] n Z , R An
n
由定理1.1.1,只需证明(0,1]中的有理数集是可列集即可.
区间(0,1]中的有理数可唯一表示为既约分数q/p,其中
对映射 若 f (X ) Rf Y , 则称 f 为满射; 引例2, 3
X
f Y f (X)
若
有 X
Y
则称 f 为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).