3第三章几何与拓扑

的“漂浮”面，那么该实体至少一有两个壳，但仍是一个块。 一最常见的壳由完全的、有限的单向面组成，这些面两两之间有公共边，并 且面的方向一致，即面的里面和外面一致。这样的壳体将空间分割成两部分：有 限的和无限的。如果有限的部分在封闭面的内部，那么就称为外壳，反之它表示 实体内部的有限空域，称为空壳，· 如果一个或多个边仅仅有一端连接到一个面上， 这些边就被称为自由边，这样的壳是开放的，如果所有的面都是双向的并且都是 外部的面或内部的面，这样的壳就是双向薄片。
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3S的几何造型技术与系统开发，詹海生等，清华大学出版社，2002年6月，第一版
开曲线、闭曲线、周期曲线；解析曲线(analytic curve)、插值曲线(interpolated curve)、复合曲线(composite curve).
3.2.1.1解析曲线 是一种可用一个代数式来完全表达的曲线，在CAD系统种曲线方程的次数是要被限制 的。 3.2.1.2插值曲线 是一种不能用一个明确的代数方程来表示的曲线，它一般通过其它几何体来定义。
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3.3.2体
体是CAD几何模型中最高层次的实体。典型的体可以是单一的实心或者 薄片，但也可以是几个不连接的部分。体可以拥有0个或多个块。
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拥有多个不连接块的体
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3.3.3块
块表示空间中一个有边界、互相联通的区域。是完全连接的点集，它可以是 一维、二维、三维的不同维度的组合。 这样具有悬面的实体和空中的实体一样可 以称为块。 一含有一个悬面的物体可以看成一个壳，但是含有中空的部分的物体则含有两 个壳。实一体内部的面，不管数量多少，如果都连接在一起并通过一个路径与实 体的外表面相连接，一那么该实体就含有一个壳，如果一个实体内部含有不连接
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第三章几何与拓扑
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3.1 几何体
几何体是指组成模型的纯粹几何元素，这些元素之间不存在空间或拓扑关系。在 几何造型系统几何体的表示方法必须遵循“坐标系无关，且数值稳定、易于交换”的 原则。在每个几何体的定义中用类表示其空间位臵、位臵之间的转换以及方向参数， 并用标量来表示距离以及其它与维度无关的量。 3.1.1 曲线和曲面的类型 在几何造型系统中存在着两种类型的曲线、曲面，即解析型和插值型。其中插值 型曲线/曲面是指可以用一个简单的代数方程来完全表示的曲线/曲面；插值曲线/曲面 是指那些不能用解析法来表示的曲线/曲面，这些曲线/曲面要根据其它实体来定义。 插值曲线/曲面主要有：样条曲线/曲面、参数空间曲线、复合曲线、网格曲面等。 3.1.2 构造几何体和模型几何体 构造几何体类是一些小型的类，它们不被直接作为用户模型的一部分保存在模型 中，而是主要用于数学计算，也可以被包含在模型几何体中形成永久的实体对象。构 造几何体不含几何处理部分的定义，可直接被送入求交器进行快速运算。 模型几何体是永久性的，它和模型一起被保存在文件中。
（2）块：空间中一维、二维、三维点连接而成的集合，与其它块不关联，其
边界由壳（shell）组成； （3）壳：互联的线或面的集合，它可以界定实体的外部或内部区域； （4）子壳（subshell）:壳的进一步分解，目的是提高效率； （5）面（face）：被一个或多个边（edge）组成的环（loop)所界定的曲面 中的联通区域。
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3.1几何体
3.1.3抽象和具体几何体 构造几何体类和模型几何体在理论上又可分为抽象几何体和具体几何体。抽象几 何体可以再继续分解为具体几何体，具体几何体类派生于抽象几何体了，因此它将继 承该类型几何体的公共特性。
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3.2曲线和曲面
曲线和曲面功能是一个造型系统的主要功能，它反映了一个造型品质的优劣。 3.2.1曲线 曲线是造型系统的基本构造几何体类，其它构造几何体都可以由它派生出来，它同时 又是一个抽象的几何体类，由它可以产生具体的曲线几何体类。 曲线的分类：
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3.2曲线和曲面
3.2.1.3复合曲线 复合曲线是指由解析曲线和/或插值曲线按照一定次序和一定连续性条件 连接在一起组成的一种曲线，它包括一系列端点。
3.2.2曲面
在CAD系统中曲面具有广阔的内涵，它可以是平面、球面、椭球面、圆柱 面、圆锥面以及雕塑面等。也可以分为解析曲面、样条曲面和网格曲面。
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3.3.5有向边
有向边记录的是边在环中出现的情况。引入它的目的是可以让边在一个或多 个面中出一现，这样就使二边流和非二边流模型可以出现在同一个几何模型中。
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3.3.6容限造型
精确几何造型：拓扑与几何完全一致； 容限造型：假设几何体按照一定的精度来与拓扑匹配；
起时，它的位臵才是确定的。
拓扑可以是有边界的、没有边界的和半封闭的。它允 许它的实体是一个完全的实体，也可以是一个不完全的实
体。这种概念是CAD软件设计和使用中所特有的，在自然界
不一定存在。
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3.3.1拓扑和边界表示法
在边界表示法中一般将模型的拓扑结构按层次分解为以下对象： （1）体（body）:是实体对象的最高层次，是块（lump)的集合；
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3.3.1拓扑和边界表示法
（6）环：面的边界中互相连接的部分，它由一系列的有向边组成，通常 是封闭的；
（7）线（wire）:没有附着在面上，连接在一起的点；
（8）有向边（coedge）： （9）边（edge）:与曲线关联的拓扑，由顶点界定。
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拓扑对象之间的关系
含有2个块的体
壳
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3.3.4面
面是空间几何表面的一部分，可以含有0个或多个由边组成的环。 面的任意位臵法线与该面所在曲面的相同位臵的法线方向一致或相反。 面的方向数（sidedness）: 面的包含性（containment）:完全内部的和完全外部的；
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三种类型的面
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开曲线、闭曲线和周期曲线
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曲线和曲线的交线
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曲面的映射
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周期曲面
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3.3拓扑
拓扑是指一个模型中不同实体之间的关系，他描述了几
何实体之间的连接方式。拓扑定义了一个空间位臵不固定
的浮动模型，例如圆和椭圆，它们是拓扑相等的，但几何 不相等。在CAD系统中只有当拓扑实体和几何实体联系在一