高等数学--无穷级数ppt

成的表达式 u1 u2 u3 un
即 称作(常数项)无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项. 【思考】 怎样理解无穷级数中无限多个量相加呢？ 【解析】⑴ 加法是有限个数之间的运算，“无限个数相加 ”是用加法是无法完成的； ⑵ 级数是“无限和”的形式，是“有限和”的自然延 续;可以理解为是“有限和”的极限，才构成了级数的 ⑶ “无限和”.
sn u1 u2 un ,
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3.【级数的收敛与发散】
当 n无限增大时,如果级数 un 的部分和数列 s n
n 1

有极限 s , 即 lim s n s ，则称无穷级数
n
un 收敛,这时极限 n 1
成

s 叫做级数
un n 1
lim Pn
n
1 3 2 3 3 . lim An A1 (1 ) A1 (1 ) n 4 5 5 1 9
雪花的面积存在极限（收敛）． 【结论】雪花的周长是无界的，而面积有界．
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【例1】 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) 的收敛性. n 0
如果 q 1时 当q 1时, sn na
n
发散
级数发散
当q 1时, 级数变为 a a a a
s2 n 0 0
s2 n1 a a
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lim sn不存在
n
级数发散
a 当q 1时, 收敛于1 q ［要求熟记该结论］ n 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
即
A a0 a1 a2 an
2. 【无限循环小数的和】 1 3 3 3 3 n 3 10 100 1000 10
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二、级数的概念
1.【级数的定义】 ［定义］ 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 由该数列构
第一节 常数项级数的概念和性质
一、引例 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件 五、小结
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一、引例
1. 【 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 】
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示

这个和逼近于圆的面积 A .
i 1

即
sn s
误差为 rn
( lim rn 0)
n
【无穷级数收敛性举例】—— Koch雪花. ［做法］先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
【解】 如果q 1时
a sn 收敛 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q n
n
sn a aq aq 2 aq n1
a(1 q n ) 1 q
sn 当q 1时, lim q n lim n

的和.并写
s u1 u2 un
如果 sn 没有极限,则称无穷级数
un 发散 n 1

即
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
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余项 rn s sn un1 un 2 un i
第十一章 无穷级数
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正项级数 常数项级数 交错级数 任意项级数 幂级数 函数项级数 傅立叶（属于三角）级数
简 介
无 穷 级 数
任意项（函数）级数
本章主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问 题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。
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【解】 (1)
4 2 3 n1 Sn ln ln ln ln 3 1 2 n
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n
ln( n 1) ( n ）
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观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
依次类推
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4 n 1 第 n 次分叉： 周长为 Pn ( ) P1 n 1,2, 3 1 面积为: An An1 3{4n 2 [( )n1 A1 ]} 9 1 1 2 1 n 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9 n 2,3, 于是有
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2.【级数的部分和】——级数的前n项的和
sn u1 u2 un ui ——有限和
i 1
n
【部分和数列】 当n依次取1，2，3，…时，它 们构成一个新的数列｛Sn｝
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,,

2 n 1 n 2 【例 2】判别无穷级数 3 的收敛性. n 1

【解】
un 2 3
2 n 1 n
4 已知级数为等比级数， 公比 q , 3
| q | 1,
原级数发散百度文库.
4 3 , 3
n
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【例3】 判别下列级数的敛散性: