2018-2019学年进才中学高三上开学考数学试卷

进才中学高三数学开学考

2018.09

一. 填空题

1. 复数12i 2i

-+的虚部为 2. 设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A

B = 3. 281

()x x

-的展开式中7x 的系数为 （用数字作答） 4. 过点(6,3)M -且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为

5. F 是抛物线24y x =的焦点，定点(2,2)A ，若点P 在抛物线上运动，那么||||AP PF +的 最小值为

6. 若,{1,2,3,,11}a b ∈⋅⋅⋅，构造方程22

221x y a b

+=，则该方程表示的曲线为落在矩形区域 {(,)|||11,||9}x y x y <<内的椭圆的概率是

7. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积

8. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有lim()k n k n a S S →∞

=-成立， 则公比q =

9. 已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的 条件

10. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足

|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是

11. 已知函数2||()24x x m f x x mx m x m

≤⎧=⎨-+>⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的

方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是

12. 已知AB 为单位圆上的弦，P 为单位圆上的点，若()||f BP BA λλ=-的最小值为m （其 中λ∈R ），当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为

32

，则||AB 的值为

二. 选择题

13. 若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x a y b

>⎧⎨>⎩的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

14. 若变量x 、y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩

，则22x y +的最大值是（ ）

A. 4

B. 9

C. 10

D. 12

15. 平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合；④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

16. 已知两个不相等的实数a 、b 满足以下关系式：

2sin cos 04a a π

θθ⋅+⋅-=，2sin cos 04b b π

θθ⋅+⋅-=

则连接2(,)A a a 、2(,)B b b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）

A. 相离

B. 相切

C. 相交

D. 不能确定

三. 解答题

17. 已知集合2{|2240,}A x x x x =--<∈R ，22{|430,}B x x ax a x =-+<∈R .

（1）若A

B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.

18. 将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，弧AC 长 为56π，弧11A B 长为3

π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.

19. 已知函数()3sin()sin()sin()4242

x x f x x πππ=+--+，若函数()g x 的图像与函数 ()f x 的图像关于y 轴对称.

（1）求函数()g x 的解析式；

（2）若存在[0,]2

x π

∈，使等式2[()]()0g x g x m -+=成立，求实数m 的取值范围.

20. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）.

（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；

（2）若当01x x

>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()|1|

x g x a x +=

--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.

21. 已知数列{}n a 中，1a a =（a ∈R ，12a ≠-），1112(1)n n a a n n n -=+++（2n ≥，*n ∈N ）， 又数列{}n b 满足：11

n n b a n =++（*n ∈N ）. （1）求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；

（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12

log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 项和，问：是否存

在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ，若不存在，请说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. 1-

2. (1,)-+∞

3. 56-

4. 2

292

x y -=

5. 3

6. 72

121 7. 3 8. 1

2

9. 充分非必要 10. 13

(,)22 11. (3,)+∞

12.

二. 选择题

13. B 14. C 15. D 16. C

三. 解答题

17.（1）(,4]{0}[6,)-∞-+∞；（2）4

[,2]3-.

18.（1）体积为π，侧面积为2π；（2）2π

.

19.（1）()2sin()3g x x π

=--；（2）1

[2,]4-.

20.（1）8

(,][6,)3-∞+∞；（2）[5,)-+∞；（3）[4,)-+∞.

21.（1）公比为2；（2）1

[,)2-+∞；（3）存在，a ∈N .