高一数学第一章第一节讲义

1.1.1 集 合
【本课重点】元素的特性和集合的表示方法
【预习导引】
1、 下列各组对象能组成集合的是 （ ）
A. 著名影星
B. 我国的小河流
C.淮阴中学2007级高一学生
D. 高中数学的难题 2、 下列叙述错误的是 （ ）
A. }02|{2=-x x 表示方程022
=-x 的解集
B. {1∉小于10 的质数}
C. 所有正偶数组成的集合表示为},2|{N n n x x ∈=
D. 集合},,{c b a 与集合},,{b c a 表示相同的集合
3、 已知A=}2,{x x -是含两个元素的集合，则x 的取值集合用描述法表示为
4、 下列各集合：①},01|{2R x x x ∈=+；②},15|{Z x x x ∈<-；③⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈∈Q x N x x
,2;④},,0|),{(2
2
R y R x y x y x ∈∈=+中，空集为 ；有限集为 ；无限集为 .
【三基探讨】 【典例练讲】
1、 已知},3,1{2
x x ∈，试用适当的方法表示x 的集合.
2、 用符号“∈”或“∉”填空
（1）3.14 Q ；
；
0 N
（2）32 }11|{<x x ； 5 },1|{2
N n n x x ∈+=
（3）)1,1(- }|),{(2x y y x =； )1,1(- }|{2
x y y =
（4）0 {0}；
0 φ；
φ }{φ
3、用描述法表示下列集合
（1）偶数的集合 （2）不等式2x-3>5的解的集合 （3）以点A 为圆心，半径为3的圆
4、（备选题）（1）用列举法表示集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈∈-N x N x x ,36
（2）已知},12|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈+==∈==，},14|{Z n n x x C ∈+==，若B b A a ∈∈,，试分别指出b a +与集合A 、B 、C 的关系。

【随堂反馈】
1、 用描述法表示下列集合
（1）奇数集； （2）
2、 用列举法表示集合}
,,2|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ 2 4 6 8 10
【课后检测】
1、 下列各组对象中不能组成集合的是
（
）
A. 直角三角形的全体
B. 所有的无理数
C. 方程2x-1=0的整数解
D. 我班个子较高的同学 2、 下列叙述正确的是
（ ）
A. 集合},3|{N x x x ∈<中只有两个元素
B. }1{}012|{2==+-x x x
C. 整数集可表示为}{Z
D. 有理数集表示为{x x |为有理数集}
3、 方程组⎩
⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是
（ ）
A. {0,1}
B. (0,1)
C. {(x,y)|x=0,或y=1}
D. {(0,1)}
4、 不等式052<-x 的正整数解的集合用描述法表示为
，用列举法表示为 . 5、 抛物线12-=x y 上的所有点组成的集合A 可表示为
；0 A ；(0,1-) A （填“∈”或“∉”）. 6、 已知-3是集合}4,12,3{2---a a a 的一个元素，求实数a 的值。

7、 试用列举法表示集合},,8|{2
N y N x y x x ∈∈+-=。

（选做题）已知集合},012|{2
R x x ax x ∈=++至多有一个元素，求实数a 的取值范围.
【感悟札记】
1.1.2集合间的基本关系⑴
学习目标：1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2、理解子集与真子集的区别与联系.
3、能用韦恩图表示集合间的关系.
能力目标：从类比实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、
概括的思维方法.
情感目标：通过直观感知，类比联想和抽象概括，体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养有条理思考的习惯和积极
探索创新的意识.
1、 子集
提出问题：
观察下列几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？
（1）{}{}.5,4,3,2,1,0B ,5,3,1A ==
（2）{}
，
女同学是滕州一中高一年级的x x |A = {}.|B 学生是滕州一中高一年级的x x =
（3）{},|A 是两边相等的三角形x x ={}
.|B 是等腰三角形x x =
（4）Z B ,N A ==.
知识提炼： 子集——
2、 集合相等
提出问题：
对于两个集合A 和B ，集合A 是集合B 的子集，集合B 是集合A 的子集，能否同时成立？ （1）考查下面两个集合：
{},4,3,2,1,0A ={}
.4|B 的自然数是不大于x x =
（2）两个实数b a ,，如果b a ≥，且a b ≥，那么有b a =，与集合相类比你有什么体会？ 知识提炼：
集合相等——
3、 真子集
提出问题：
观察下列各组中的集合A 与B ，它们有怎样的关系? （1）{},4,3,1A ={}.4,5,3,2,1,0B =
（2）()(){},1,0,1,0A =(){}.,,1|,B R y R x y x y x ∈∈=+= （3）{},|是偶数x x A ={}
.|B 是整数x x =
知识提炼：
真子集——
●典例剖析
例1.写出集合{a，b，c}的所有的子集.
总结升华：集合A中有n个元素，请总结出它的子集、真子集、非空真子集个数与n的关系.
例2. 设A=｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若B⊆A，求实数a组成的集合.
例3. 已知A＝｛x∈R｜x＜－1,或x＞5}，B＝｛x∈R｜a≤x＜a＋4}.若A B，求实数a的取值范围.
●随堂训练
1.给出下列命题，其中正确的个数是( )
①空集没有子集②空集是任何一个集合的真子集
③任何一个集合必有两个或两个以上的子集
④如果集合B⊆A,那么凡元素不属于A，则必不属于B
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若集合A＝｛1，3，x｝,B={x2，1}且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知集合M={(x,y)|x+y＜0,xy＞0}和P={(x,y)|x＜0,y＜0},那么( )
A.P M
B.M P
C.M=P
D.M P
4.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，
B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}，要使A P⊆B，求满足条件的集合P.
5.集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}， (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.
(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.
(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.
●学后反思
●课后作业
1、设集合∈<≤=x x x A 且,30{N}的真子集．．．
的个数是( ) (A) 16
(B) 8；
(C) 7
(D) 4
2、已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2
m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ ．
3、已知A ＝｛x 2－2x －8＝0｝，B ＝｛x ∈R ｜x 2＋ax ＋a 2－12＝0｝，B A ，求实数a 的取值集合.
1.1.3集合的基本运算⑴
学习目标：1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2、能用韦恩图表达集合间的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
能力目标：通过类比实数的运算，得到集合间的运算：交、并，在正确理解并集、交集概念的基础上学会求集合的
并集、交集的方法，并体会数形结合思想的应用.
情感目标：在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和韦恩图解题
的过程中，学会用数形结合思想解决数学问题
1、 并集
提出问题：我们知道，实数有加法运算.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?观察下列几个集合，
你能说出集合C 与集合B A ,之间的关系吗？
（1）{}{}{}61,2,3,4,5,C ,2,4,6B ,5,3,1A ===
（2）{}，是有理数x x |A = {},|B 是无理数x x = {}
.|C 是实数x x = （3）{}，30|A <<=x x {},1|B ≤=x x {}.3|C <=x x 知识提炼： 并集——
数学语言表述：
根据并集的定义，试确定下列集合间的关系：
B A A B A B A B B A 特别地A A A Φ A A 2、 交集
提出问题：观察下面的问题，集合B A ,与集合C 之间有什么样的关系？
（1） {},2,4,6,8,10
A = {},12,8,5,3
B = {}.8
C = （2） {}
，
月在校的女同学年是新华中学92004|A x = {}，月在校的高一年级同学
年是新华中学92004|B x ={}，学月在校的高一年级女同年是新华中学92004|C x = （3）{},3<=x x A {},0>=x x B {}
.30<<=x x C 知识提炼：
交集——
数学语言表述：
根据交集的定义，试确定下列集合间的关系：
B A A B B A A B A B 特别地A A A Φ A A
●典例剖析
例1.设{},4,5,6,8A ={},3,5,7,8B =求.B A
例2. 设集合{},21<<-=x x A {}
31<<=x x B ，求.B A
例3.设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，
试用集合的运算表示21,l l 的位置关系.
●随堂训练
1. 满足条件{}{}3,2,11= M 的集合M 的个数 A.1
B.2
C.3
D.4
2.集合(){}(){}
,2,,0,=-==+=y x y x B y x y x A 则B A 是 ( ) A.()1,1
B. ⎩
⎨
⎧-==11
y x
C. (){}1,1
D. (){}
1,1,-===y x y x A
3.设{}(){}
,0526,022
2=++++==+-=q x p x x B q px x x A 若⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=21B A
则B A 等于( ) A.⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-31,4,21
B.
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,21 C. ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧31,21 D. ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧21
4. 设{},21<<-=x x A {},31<<=x x B {}
,0>=x x C 求B A ，B A ，()C B A .
5.设集合{},0232=+-=x x x A {}
,0222
=+-=ax x x B 若,A B A = 求实数a 的取值集合.
教师寄语：勿以错小而不记，勿以事小而不为，好记性不如烂笔头。

●课后作业
1、设集合{}
{}
,,2,,2
R x x y y N R x x y y A ∈-==∈==则=N M ( )
(A)(){}1,1- (B) ()(){}1,1,1,1-
(C) {}
20≤≤y y
(D) {}
0≥y y
2、设集合{}{}
,1,2,,3,22+-==a a N a M 且,N N M = 求a 的值 。

3、已知,R x ∈集合{}{}
,1,12,3,1,,32
2
+--=+-=x x x B x x A 如果{},3-=B A
求.B A
●学后反思
1.1.3集合的基本运算⑵
学习目标：1、理解全集与补集的含义，会求给定集合中的一个子集的补集;
2、能用韦恩图表达集合间的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
能力目标：通过类比实数的运算，得到集合间的运算：补，在正确理解补集概念的基础上学会求集合的补集的方法，
并体会数形结合思想的应用.
情感目标：在学习集合运算的过程中，培养类比的思想及由特殊到一般的认知规律，同时在利用数轴和Venn 图解题
的过程中，学会用数形结合的思想解决数学问题
.
补集
提出问题：
问题1、试分别在有理数集和实数集上求方程()()
0322=--x x 的解集,结果是否相同?这说明了什么?
=S {x x 是滕州一中高一年级的同学},那么S 、A 、B 三集合关系如何?
全集——
补集——
符号语言表示：
图形语言表示：
试用Venn 图表示下列集合:① ()B C A U ② ()B A C U
③ ()()B C A C U U ④ ()()B C A C U U
根据补集的定义填空：
① ()=A C A U ; ② ()=A C A U ; ③ ()=A C C U U ; ④ ()()=B C A C U U ; ⑤ ()()=B C A C U U . ●典例剖析
问题2、=A {x x 是滕州一中高一年级参加百米赛跑的同学},
=B {x x 是滕州一中高一年级没有参加百米赛跑的同学},
知识提炼：
例1.设{}的正整数是小于9x x U =,{}3,2,1=A ,{}6,5,4,3=B ,求B C A C U U ,.
例2.设全集{}是三角形x x U =,{},是锐角三角形x x A ={},是钝角三角形x x B = 求B A ,()B A C U .
例3.设全集为R ,{}5<=x x A ,{}3>=x x B ,求:
(1) B A ; (2) B A ; (3) B C A C R R ,; (4) ()()B C A C R R ;
(5) ()()B C A C R R ; (6) ()B A C R ; (7) ()B A C R .
●随堂训练
1. 已知集合{}7,6,5,4,3,2,1=U ，{}7,5,4,2=A ，{}5,4,3=B ，则()()=B C A C U U
A.{}6,1
B. {}5,4
C.{}7,5,4,3,2
D. {}7,6,3,2,1
2. 已知全集,R U =且{}1,3-<>=x x x A 或,{}42<<=x x B ,则()B A C U 等于
A. {}41<≤-x x
B. {}32<<x x
C. {}32≤<x x
D. {}41<<-x x
3. 已知集合{}R x x x y y A ∈--==,322,{}R x x x y y B ∈++-==,1322,则
()B A C R = .
4. 设,R U = {}1,4>-<=x x x A 或,{}32<<-=x x B .求()B A C U 和()B A C U .
5. 设全集,R U ={}0122=++∈=px x N x A ,{}052=+-∈=q x x N x B ,若(){}2=B A C U ,(){}4=B C A U ,Z q p ∈,,试求q p +的值和B A .
教师寄语：勿以错小而不记，勿以事小而不为，好记性不如烂笔头。

●课后作业
1、若{}4,3,2=S ,{}4,3=A ,则A C S = .
2、已知{}
1,4,22+-=a a U ,其子集{}2,1+=a B ,若{},7=B C U 求a .
3、已知全集=U {}的质数取不大于30x x ,
B A 、是U 的两个子集，且()=B
C A U {}23135，，，(){}29,19,11=B A C U , ()(){}7,3=B C A C U U ,求.B A 、
●学后反思
1.1.3集合的基本运算⑶
学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号。

教学重点：交集、并集、补集的运算。

教学难点：集合知识的综合。

●复习准备：
1.并集：
一般地，由组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作（读作“A并B”），即A∪B={x| }。

2.交集：
一般地，由组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作（读作“A交B”），即A∩B={x| }。

3.补集：
一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A⊆S），由
组成的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作，即C U A={x| }
4.一些特殊结论
A∩B B∩A, A∩B A, A∩B B, A∩φφ;
A∪B B∪A, A∪B A, A∪B B, A∪φA;
A∩C
U A= , A∪C
U
A= , C
U
(C
U
A)=
5.集合问题的解答方法：V enn图示法、数轴分析法。

●典例剖析
1.交集、并集、补集的基本运算：
例1：设U=R，A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求A∩B、A∪B、C U A 、C U B、(C U A)∩(C U B)、(C U A)∪(C U B)、C U(A∪B)、C U(A∩B)
学习心得:
例2：全集U={x|x<10，x∈N
+
}，A⊆U，B⊆U，（C U B）∩A={1,9}，A∩B={3}，(C U A)∩(C U B)={4,6,7}，求A、B。

学习心得:
2.交集、并集、补集、子集、空集的性质运用：
例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若A B=A，求实数a的值。

变式：
1、A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若B⊆A，求实数a的值。

2、A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0},若B是A的真子集，求实数a的值。

学习心得:
●随堂训练
1.已知A={x|-2<x<-1或x>1}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1<x≤3}，求集合B。

2. P={0,1}，M={x|x⊆P}，则P与M的关系是。

3.已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为人。

4.满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

5.已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集共有多少个？
6.已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7.设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q。

9. A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B。

10.已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围。

●课后作业
1、分别用集合A,B,C 表示下图的阴影部分
2、已知集合}01)2(|{2=+++∈=x m x R x A ，}0|{>=x x B ，若φ=B A ，求实数m 的取值范围。

学后反思。