5-4、5-5 麦克斯韦速率分布律、平均自由程

三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出 在平衡态下理想气体分子速率分布函数的具体形式
m0 3 2 f ( ) 4π( ) e 2πkT
f ( )
m0 2 2 kT

2
麦克斯韦速 率分布函数
麦克斯韦速率分布曲线
O

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四、气体分子速率的三种统计平均值
25
-1
-1
§5-5
分子的平均碰撞频率 平均自由程
• 一、平均碰撞次数
• 单位时间内一个分子与其他分子碰撞的平均次数 称为平均碰撞频率，用 Z 表示。
26
气体分子碰撞所走的折线
• 假定每个分子都是直径为d的弹 性小球，并且假定只有某一个 分子以平均速率 运动，而其 他分子都不动。 • 由于运动分子与其他分子碰撞， 其运动轨迹是一条折线，如图 所示。 • 由图中可以看出，凡是球心离 折线的距离小于d的其他分子， 都将和运动分子发生弹性碰撞。
dh
h
(非均匀的稳定分布)
平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为
p nkT dp kTdn kTdn nmgdh
dn mg dh n kT
h mg dn n0 n 0 kT dh n
n n0e
mgh kT
p n0 kT e p p0 e
mgh
1.6 RT
m0 2 2 kT
d
2
8kT πm0
3. 方均根速率

8RT π


m0 2 2 kT
f ( )d 0
2 2 0
m0 3 2 4π( ) e 2πkT
2
d
2
3kT m0
2

3RT

1.73
RT

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Z πd 2 n
• 以上结果是假定一个分子运动而其他分子静止而得到的，实际 上所有分子都在运动，上式必须加以修正。利用麦克斯韦速度 分布律可以证明，气体分子的平均相对速率 u 与平均速率 内 的关系为
u 2
• 为此，需将式中的 替换成
u 。于是式修正为
Z 2πd 2 n
• 上式说明分子平均碰撞频率与分子的有效直径、分子数密度及 平均速率有关。在标准状态下，一个分子与其他分子的平均碰 撞频率约为几十亿次之多。
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五、麦克斯韦速率分布曲线的性质
1）气体分子速率可取 0 的一切值，但v 很小和v f(v)
很大的分子所占比率小， 具有中等速率分子所占比 率大。
2) 曲线下的面积
f ( v) f ( v)
O
vp
v
f ( v)
O v v+dv
v O v1 v2
v O
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dN N f ( ) lim 0 N N d
注意： 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 3. 速率分布函数 f(v) 的意义
※分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总
分子数的百分比；
※对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位
速率间隔内的概率 。
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2000
20%
3000
30%
4000
40%
1000
10%
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2. 气体分子数按速率的分布
速率 分子数按速率 的分布 分子数比率按 速率的分布 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv …
ΔN 1
ΔN1/N
ΔN 2
ΔN2/N
…
…
ΔN i
ΔNi/N
…
…
二、 速率分布函数
3) 分布曲线随 m0 ,T 变化
f(v)
m0一定, T
T1 <T2 T2
2kT p m0
O
vp1
vp2
v
曲线峰值右移，总面积不变 ，曲线变平坦 f(v)
m0一定
T 一定, m0
2kT p m0
O
m2> m1 m1
曲线峰值左移，总面积不 变，曲线变尖锐。
vp2
vp1
v
T一定
v
窄条：
dN dN f ( )d d Nd N
分子速率在 v—v+dv 区间内的概率
2
1
部分：

f ( )d
2
1
dN
N

N1 2 N
分子速率在 v1 — v2 区间的概率

总面积：


0
N f ( )d 1 N N
0
dN
归一化条件
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• 二、平均自由程
• 每两次连续碰撞间一个分子自由运动的平均路程，称为平 均自由程（mean free path），用 表示。 • 由于1s内分子平均走过的路程为 ，一个分子与其他分子 碰撞的平均频率为 Z ，因此平均自由程为 1 2
Z 2πd n
• 该式表明，分子的平均自由程是与分子的有效直径的平方 和分子数密度成反比。
说明 (1) 一般三种速率用途各不相同
·讨论速率分布一般用 p ·讨论分子的碰撞次数用 ·讨论分子的平均平动动能用 2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:
p
2
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【例题 5-2 】 导体中自由电子的运动可以 看作类似于气体分子的运动，所以通常称导 体中的自由电子为电子气（electron gas 或称 Fermi gas；Enrico Fermi，1901—1954） 。设 导体中共有 N 个自由电子，其中电子的最大 速率为F 。电子的速率分布函数为
可得
p0 RT p0 kT h ln ln mg p g p
将 R=8.31 J· K · mol ，T=300K， -3 -1 -2 10 kg· mol ，g=9.80 m· s 代入， =29× 可得飞机的高度为
8 . 3 1 300 1 h l n 1 .（ 96 km） 3 2 9 1 0 9 . 8 0 0 . 8
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六、玻耳兹曼分布律
问题：麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分 子的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀 的。若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
1、重力场中粒子按高度的分布
dp gdh
p dp
h+dh
dp nmgdh
p
2 f d 0 2 12
2 3 2 3 d 0 F
12
F
3 5
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（4）电子气中一个电子的平均动能为
F 1 1 1 3 2 2 2 3 2 2 t me me f ( )d me 3 d meF 0 0 2 2 2 F 10
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• 又因为将 p nkT ，所以上式可改写为

kT 2 πd 2 p
• 该式表示，平均自由程与分子的平均速率无关。当温度恒 定时，平均自由程与压强p成反比，压强越小（空气越稀 薄），平均自由程越长。
30
【例题 5-4】求氢分子在标准状态下的平均 自由程和平均碰撞次数， 已知氢分子的有效 -10 直径为 2.0× 10 m。
kT
(等温气压公式)
mgh kT
20
p p0e
mgh kT
m k R
p p0e

gh
RT
两边取对数
p0 RT h ln g p
测知地面和高空处的压强与温度，可估算所 在高空离地面的高度—高度表—登高表。
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2、玻耳兹曼分布律百度文库
它适用于任何形式 的保守力场。
n n0 e
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【例题 5-3 】飞机起飞时，压强 p0 =1atm、 温度 t=27C° 。当压强变为 p=0.8atm 时，飞机 的高度是多少？已知空气的摩尔质量为 -3 -1 5 29× 10 kg· mol ，1atm=1.013× 10 Pa，忽略温 度随高度的变化。
24
解：由 p p0e

mgh kT
4. 速率分布曲线 在v—v+dv区间的分子数占总分子数的百分比为
dN f ( )d N
dN =面积 N
f ( )
N 面积 N
在v1--v2区间 在0--区间有
2 N f ( )d 1 N
O d
1 2


0
f ( )d 1
----归一化条件
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y~y+dy， z~z+dz 中, 且速度在 vx ~ vx+dvx , vy ~ vy+dvy,
vz ~ vz+dvz 区间的分子数为
m dN n0 ( ) e 2 kT 3 2 Ek Ep kT
d xd yd zdxdydz
这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给 出了分子数按能量的分布规律。
§5-4 气体分子的速率分布规律
一、分布的概念
气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过 碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出 分子数按速率的分布。 例如： 1. 学生人数按年龄的分布
年龄 15 ~16 17 ~ 18 19 ~20 21~22
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
1.研究气体分子的速率分布
•把速率分成若干相等的区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比
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速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间，平衡 态下全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 将速率分成若干相等的区间，如：
0 ~ 10m/s; 10m / s ~ 20m / s; 20m / s ~ 30m / s; 30m / s ~ 40m / s;
解：(1) 由题意可知可 画出函数分布曲线。
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(2) 由归一化条件 f d 1，可知
0

f d
0

F
0
A d 1
2
积分后有
A

3 F
3
1，故 A
3

3 F
。
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(3)由图可知p F 。 根据平均速率和方均根速率的定义有 F 3 2 3 f d 3 d F 0 0 F 4
设任一速率区间为: ~ 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N N
——分布在速率 v～ v+△v速率间隔内的分子数占 总分子数的比率。 占总分子数的比率。
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 vN
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2. 速率分布函数 f(v) 的定义
解：氢分子的平均自由程为
kT 1.38 1023 273 7 （m） 2.10 10 2 10 2 5 2πd p 2 3.14 (2.0 10 ) 1.013 10
氢分子的平均速率为
8RT 8 8 . 31 273 -1 3 1 . 7 0 1 0 （ m· s ） 3 π 3 . 1 4 2 . 0 1 0
A f ( ) 0
2
(0 F ) ( F )
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（1）画出速率分布函数曲线； （2）用 N、F 定出常量 A；
2
（3）求出自由电子的最概然速率p 、平均速率
和方均根速率 ；
（ 4）电子气中一个自由电子的平均动能， me 为电子质量。
分子碰撞区域示意图
• 如以一秒内球心所经过的轨道 为轴，以d为半径，长为 ，作 一圆柱体，它的体积为 πd 2 ， 2 这个圆柱体的截面积πd 叫做碰 撞截面。
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2 π d n。球心在 • 设单位体积内分子数为n，则圆柱体的分子数为
圆柱体外的分子就不会与A相碰。显然，分子A在1s内与其他分 子发生碰撞的平均频率 为 Z
1. 最概然速率 在一定温度下，以相同的速率间隔来说，速率大小
在与vp附近的分子数占总分子数的百分率最大。
df ( ) 0 d
p
2kT 2RT RT 1.41 m0
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2. 平均速率
f ( )d 0
0


m0 3 2 4 π( ) e 2πkT
mgh kT
n0 e

P
kT
平衡态下温度为T 的气体中，位于空间某一小区间
x~x+dx ，y~y+dy ， z~z+dz 中的分子数为
dN ndV n0 e
p / kT
dxdydz
这是粒子关于位置的分布的规律. 常称为玻耳 兹曼分布律。
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3、 麦克斯韦–玻耳兹曼分布律
平衡态下温度为 T 的气体中，位置在 x~x+dx，