三角函数的概念.ppt

象限角 α 的集合表示
α2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
优秀课件
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1.终边相同的角相等吗？
【思考·提示】 不一定相 等．终边相同的角有无数个，它们相 差360°的整数倍．
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三基能力强化
3．已知角α的余弦线是单位长度的有 向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
解析：选A.|cosα|＝1，则角α的终 边在x轴上．故选A.
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三基能力强化
4．(2008年高考北京卷改编)若角α的 终边经过点P(1，－2)，则sinα＋cosα的值 为________．
课堂互动讲练
依题意
0≤
2π 7
＋
2kπ 3
<2π
⇒
－
3 7
≤k<178，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在 [0,2π)内终边与θ3
相同的角为27π，2201π，3241π. (3)∵α 是第二象限角，
∴k·360°＋ 90°<α<k·360°＋ 180°，
k∈Z，
∴2k·360° ＋ 180°<2α<2k·360° ＋
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课堂互动讲练
【思路点拨】 利用终边相同的 角进行表示及判断．
【解】 (1)在(0，π)内终边在
直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角
的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．
(2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝
27π＋2k3π(k∈Z)．
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三基能力强化
2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α 在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四A.当k＝2m＋1(m∈Z)时， α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°， 故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时， α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角， 由此应选A.
3．三角函数的定义
已知角α终边上任意一点P(x，y)，它 到坐标原点的距离是r(r>0)，那么任意角 三角函数的定义是：
三角函数 定义
定义域
sinα
y r
R
cosα
x r
R
tanα
y x
{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}
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基础知识梳理
(2)三角函数线
图中有向线段MP，OM，AT分别 表示正弦线 、余弦线 和正切线 ．
解析：∵sinα＝－52，cosα＝
1， 5
∴sinα＋cosα＝－2 5 5＋
55＝－
5 5.
答案：－
5 5
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三基能力强化
5．在直角坐标系中，O 是原点，将 点 A( 3，1)，绕 O 逆时针旋转 450°到 B 点，则 B 点坐标为________．
三基能力强化
解析：依题意知 OA＝OB＝2， ∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
第一课时 任意角的三角函数
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1．任意角 (1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为 正角、负角、 零角 ．
②按终边位置不同分为象限角和 轴线 角．
(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成
α＋k·360°(k∈Z．)
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2
(3)象限角及其集合表示
象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
360°，k∈Z.
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课堂互动讲练
∴2α 是第三、第四象限角或角的终
边在 y 轴非正半轴上．
∵k·180°＋
45°<
α 2
<k·180°＋
90°，
k∈Z，
当 k＝2m(m∈Z)时，
m·360°＋45°<α2<m·360°＋90°；
当 k＝2m＋1(m∈Z)时，
m·360°＋225°<α2<m·360°＋270°.
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三基能力强化
1．(教材习题改编)已知α是钝角，那 么2α是( )
A．第三、第四象限角或终边在y轴非 正半轴上
B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
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三基能力强化
解析：选A.∵90°<α<180°， ∴180°<2α<360°.包括y轴非正半轴．
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∴α2为第一或第三象限角．
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课堂互动讲练
【规律小结】 利用终边相同的 角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判 断一个角β所在的象限时，只需把这个 角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的 整数倍，然后判断角α所在的象限．
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课堂互动讲练
互动探究 例 1(3)中若 α 是第三象限角，
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8
2.根据三角函数的定义，三角函数在 各象限的符号与此象限点的坐标的符号有 怎样的关系？
【思考·提示】 根据三角函数 的定义，y＝sinx在各象限的符号与此 象限点的纵坐标符号相同，y＝cosx在 各象限的符号与此象限点的横坐标符 号相同，y＝tanx在各象限的符号与此 象限点的纵坐标与横坐标商的符号相 同．
试确定 2α，α2终边所在的位置．
课堂互动讲练
解：∵α是第三象限角， ∴180°＋k·360°<α<270°＋ k·360°(k∈Z)． ∵360°＋2k·360°<2α<540°＋ 2k·360°(k∈Z)， 即(2k＋1)·360°<2α<180°＋(2k＋ 1)·360°(k∈Z)， ∴2α的终边在第一或第二象限， 或在y轴的正半轴上．
所以 x＝2cos120°＝－1，y＝ 2sin120°＝ 3，
即 B 点的坐标为(－1， 3)． 答案：(－1， 3)
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课堂互动讲练
例1 (1)写出终边在直线 y＝ 3x 上 的角的集合；
(2)若角 θ 的终边与67π角的终 边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的 终边相同的角；
(3)已知角 α 是第二象限角，试 确定 2α、α2所在的象限．
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基础知识梳理
2．弧度制
(1)把长度等于半径 长的圆弧所对的圆心角
叫做1弧度的角．以弧度作单位来度量角的
单位制叫做 弧度制，它的单位符号是rad， 读作 弧度．
(2)正角的弧度数是一个 正数 ，负角 的弧度数是一个 负数，零角的弧度数是 0 .
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基础知识梳理
π (3)180°＝ π rad( 弧 度 ),1°＝ 180 rad( 弧 度 ),1 rad(弧度)＝(1π80)°(度)． (4)扇形弧长与面积公式 若扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α(0<α<2π)，则该扇形的弧长和面积分别是：弧长 l ＝ α·R ；扇形的面积 S＝12l·R＝ 12α·R2 .