金融数学第六章

(u +σ 2 / 2)×t (u +σ 2 / 2)(t + s )
Cx (t, s) = e
× (e
σ 2 ×s
1), s ≤ t
σ (t ) = e
2 x
( 2u +σ 2 )t
× (e
σ 2 ×t
1)
Taylor展开 Taylor展开
以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。
f (t + dt, Bt +dt ) f (t , Bt ) = f1 (t , Bt )dt + f 2 (t , Bt )dBt + 1 / 2[ f11 (t , Bt )(dt) + 2 f12 (t , Bt )dtdBt
七、连续时间金融的实证分析 指出这一方向，目的在于表明连续时间方法 在实证领域同样具有重要的地位 关于连续时间金融的著作，以供理论工作者 参考阅读：Merton（1990）、Duffie（1992， 1996），以及Edgar公司组织编写的一套经 济学丛书，其中包括了“期权市场”卷、 “公司债务”卷、“连续时间金融基础”卷，
性质6-1：布朗运动为0.5自相似 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤 Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅
几何布朗运动
在Black—Scholes（1973）和Merton （1973）的论文中，都假定价格的波动 （运动）服从几何布朗运动，即
P = P0 × e t E(Pt ) = e
ut +σ ×Bt
布朗运动与几何布朗运动
定义：称随机过程 B = ( B t , t ∈ [ 0 , ∞ )) 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳 过程（Wiener process），如果满足4个条件： （1）该运动起始于0点，即，B0=0； （2）该运动具有平稳性和独立增量性； （3）对任意的t＞0，Bt 服从均值为0，方差 为t的正态分布，即，Bt～N（0，t）。 （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃
1 2 2 v(s, t ) + σ s vss (s, t ) + rsvs (s, t ) rv(s, t ) = 0 2 rt c(s, t ) = sN(d1 (s, t )) Ke N (d2 (s, t )) ln(s / K ) + (r + σ / 2)t d1 (s, t ) = σ t
期权定价公式
两种推导期权定价公式的办法 第一，基于无风险收益能够用期权及其 标的资产的连续调整的头寸来复制的事 实——无风险组合方法 第二，基于均衡的要求。也就是说，期 权作为一种资产必须使得期望的收益率 与其风险相对应——均衡推导
无风险组合方法 Black-Scholes的均衡推导 Black-Scholes的均衡推导
自融资策略
交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程 循序可测的概念参见严加安的《测度论》 交易策略为自融资的是指财富过程满足某条件（略） 在Black和Scholes(1973)中没有明显地提出自融资策略， 但是已经使用了这个概念 如果不限制投资者所使用的策略为自融资的，则，在 无约束的Black-Scholes 模型中也能够构造一个套利机 会。具体可参见Musiela和Rutkowski（1997）
C r 1 u (C ) = , r < 1, r ≠ 0 r
最优消费为该时刻财富的线性函数 投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关 与风险资产的波动性、经济人偏好有关 v * × W (t ) , v ≠ 0 C (t ) = v (t T ) 1 + ( v ε 1) e 1 * × W (t ) , v = 0 C (t ) = T t+ε α r * ≡ S* S (t ) = 2 σ (1 r )
六、解析解不存在下的数学处理 连续时间方法在一定程度上简化了对经济 问题的分析；然而，在求解连续时间问题 的时候，却出现了技术上的困难。如果没 有特殊设定，难以得到分析解 方法包括：有限差分近似法（BrennanSchwartz（1076a，1976b，1976c））、数 值积分法（Parkinson（1976）），以及 Boyle（1976）提供的Monte Carlo模拟
第六章 连续时间金融初步
连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间 金融理论之上 本章共分为4节 第一节，连续时间金融的基础数学知识； 第二节，Merton(1969)的开创性论文； 第三节，讲解Black—Scholes模型； 第四节，简单回顾最新连续时间金融理论研究
第一节 连续时间金融数学基础
涉及到的数学： 测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链 等等 已经超过本教材的范围， 详细内容，参阅下面经典著作： Protter (1992) Karatzas和Shreve(1988) Ikeda和Watanabe（1989） Chung和Williams（1990） Williams（1991）
2
d2 (s, t ) = d1 (s, t ) σ t
第四节 连续时间金融的简单概括
一、分析投资者最优组合决策问题 至少包括两种分析框架 其一，假定资产价格服从一个扩散过程； 其二，假定资产价格服从仿射跳扩散过程 Longstaff（2001）利用连续时间方法分析存在 事件风险下的投资者优化组合决策问题。价格 假定服从一个扩散过程（AJD），也即扩散过 程加上一个跳过程 Duffie-Pan-Liu（2001）提出了一个更一般的存 在AJD过程的理论分析框架
φ ( S * , C * ;W ; t ) = 0 * * (*) φ C ( S , C ; W ; t ) = 0 φ ( S * , C * ; W ; t ) = 0 S boundry condition : I [W ( T ), T ] = B [W ( T ), T ]
对具有不变的相对风险厌恶系 数类的效用函数
1．短期利率已知，且不随时间变化； 2．股票价格服从连续时间的随机游走，其 方差与股票价格的平方成比例。在任何有 限时间区间的期末，股票价格服从对数正 态分布，且股票收益的方差为常数； 3．股票不支付红利，也没有其它支出； 4．期权是“欧式的” ； 5．买卖股票和期权不存在交易费； 6．能够以短期利率借入证券价格的任意比 例的资金用以购买证券； 7．卖空没有交易费。
利用Ito公式，得到股票价格波动过程
S t = S 0 exp{( σ / 2 ) + σ W t }
2
假定无风险资产按照无风险利率r 计连续 复利，则，无风险资产的价格过程为
dB t = rB t dt
or B t = e
rt
Black-Scholes对金融市场的假设 Black-Scholes对金融市场的假设
BlackBlack-Scholes 模型
Black和Scholes(1973)用几何布朗运动作 为股票价格运动的随机过程。假设股票 价格St过程服从线性随机微分方程（SDE）
dS t = S t dt + σ S t dW t
∈ R 为股票价格的期望收益率 σ＞0 为波动性系数 S0 ＞0为股票的初始价格。假定它们都是常数 Wt表示含σ-代数流的概率空间上的一维标准布 朗运动
2
+ f 22 (t , Bt )(dBt ) ] + ...
2
Ito引理 Ito引理
f (Bt ) f (Bs ) = ∫ f ′(Bx )dBx +1/ 2∫ f ′′(Bx )(dBx )
s s t t 2
(dBx ) = (Bt +dt Bt ) = dt , s < t
2 2
f (Bt ) f (Bs ) = ∫ f ′(Bx )dBx +1/ 2∫ f ′′(Bx )dx
四、利用连续方法处理公司财务相关问题 问题包括公司的风险对冲策略问题、公司 资本结构、公司复合证券的定价问题等等 Leland（1994）是这方面的优秀论文 五、各种期权定价问题 从一定意义上讲，这可以被认为是连续时 间金融的分析方法应用得最紧密的一个领 域；同时，期权定价的经济思想有被广泛 运用于其他衍生证券的定价问题。因此， 这一领域一直是连续时间金融的活跃之地。
在这个决策系统里，消费水平以及投资 于m种资产的比例为控制变量 求解Bellman方程时，必须清楚哪些是控 制变量，哪些是状态变量 为了求解优化问题，先进行必要计算， 以便在求解优化问题的时候将注意力集 中于数学背后的经济学
简单思路
财富变化的平均速率 两种资产的简化情况 投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)， 使得效用函数最大化
maxE[∫ e u(C(t ))dt + B(W (T ),T ))]
0
T
ρt
约束：预算方程（6.15），C(t)≥0，W(t)≥0， W(0)=W0＞0。效用函数u’＞0，u’’＜0 T表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数， 在W(t)上是凹函数
最优消费和投资策略
给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以 通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解
Merton连续时间金融模型 Merton连续时间金融模型
假设存在一个典型代表性的经济人 W(t)表示该经济人在t时刻的总财富 Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m） C(t)表示t时刻的单位时间消费 假定任一资产价格服从几何布朗运动 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 投资者面临的决策问题是： 在给定的投资期限下（无限期的情形更简 单），如何进行消费决策以及投资决策，使 得投资期限内的总效用最大化
二、对公司债券定价 包括两类分析思路 其一，对无违约风险的公司债券定价 Turbull以及Jarrow在这方面做出了贡献 其二，对存在违约风险、评级突然降低 等风险的公司债券定价。 需要相应引入跳过程来处理这些问题 三、处理利率期限结构问题 Cox-Ingersoll-Ross（1985），简称CIR 模型。后来者包括Heath.D、Jarrow.R、 Singleton.K等
第三节Black第三节Black-Scholes 期权定价公式
Black和Scholes的期权定价模型，利用无套 利定价模型，不依赖于投资者的风险态度 无套利定价，是指如果金融市场上的期权是 正确定价的，那么，投资者就不能通过买入 或者卖空期权及其标的资产来建立投资组合 得到超过无风险资产收益的确定的回报 给出Black-Scholes 模型的定义以及在此模型 下的期权定价公式 推导主要基于Black和Scholes(1973)
结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s 的分布相同， 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 分布的相等并不意味着样本路径的相等
Bt B s = Bt s
d
but
Bt B s ≠ Bt s
结论：布朗运动 B = ( B t , t ∈ [ 0 , ∞ )) 为高斯过程，并且， 均值 E(Bt)=0 协方差 E(BtBs)=min(s,t)
s sห้องสมุดไป่ตู้
t
t
f (t, Bt ) f (s, Bs ) = ∫ f 2 ( x, Bx )dBx
s
t
+ ∫ ( f1 ( x, Bx ) +1/ 2 f 22 ( x, Bx )dx
s
t
第二节 不确定情形下的 连续时间资产组合决策
以Merton（1969）的经典论文为例 在Merton（1969）之前，有少量的文章 分析多期下的资产组合问题，或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962） 和Samuelson（1969） 从严格的意义上讲，Merton（1969）的 文章是连续时间金融领域的奠基之作