第3节Poisson过程(使用版)
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且都有相同的均值为1/ 的指数分布。
证 事件{T1 t }的发生当且仅当没有泊松事件在[0，t]内发生
故当t 0 时，有
P{X1
t}
P{N (t)
0}
(t ) 0
0!
e t
e t
或 P{X1 t} 1 et
故 X1 的分布函数为
Home
FT1
(t )
1 0,
e t
,t t
0 0
立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为
1/ 的指数分布。
例3 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽 车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1 辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试 问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站 所需等待时间的概率分布及其期望。
解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)] t 并称 为此过程的 速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
Home
说明1
Poisson过程具有很大的理论价值和应用价值
考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾 客流”，顾客到服务点的到达过程可认为是 Poisson过程。
说明2
条件3即表明N(t)服从参数为λt的Poisson分布
即 X1 是服从均值为1/ 的指数分布。
又因 X 2 为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，
那么类似地有
P{X 2 t | X1 s1}
P{在(s1, s1 t]内没有事件发生 | X1 s1} P{在(s1, s1 t]内没有事件发生} （增量的独立性） P{N (s1 t) N (s1) 0} P{N (t) N (0) 0} （平稳增量过程）
两种定义的等价证明
Home
例1 顾客到达某商店服从参数 4 人/小时的泊松过程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。 解 设 X (t) 表示在时间t时到达的顾客数
P(X (0.5) 1, X (2.5) 5)
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
(n 1)!
Home
回忆
n
Tn X1 X2 L Xn Xi i1
由n个相互独立具有相同参数的指数分布 的随机变量的和服从什么分布？
Γ分布的可加性
| | Home
2.事件发生时刻的条件分布
Q：{T1,L ,Tn | N (t) n }
Step1.考虑 n＝1 的情形
P{T1 s | N (t) 1} s t s
X1 (t s) X1 (t) 及 X 2 (t s) X 2 (t) 的和，
所以由泊松过程的定义可知
X (t) 服从均值为 t 的泊松分布。
因此 X (t) 服从速率为 1/10 1/15 1/ 6 的泊松过程。
由定理1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的 指数分布。 再由指数分布的无记忆性， 这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。
X (t2 ) X (t1 ) 等于在区间(t1,t2 ] 中发生的事件的个数
Home
注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个
数是独立的，则称计数过程有独立增量。
若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
二、Poisson过程
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
i1
i1
Home
X 1 (t) 和 X 2 (t) 的速率分别为 1 1/10 ， 2 1/15
下面证明两路车混合到达过程 X (t) 服从速率为
1 2 的泊松分布
Home
事实上 X (t) = X1(t) +X 2 (t) 是独立增量 且 X (t s) X (t) 是相互独立地服从泊松分布的随机变量
| X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{N (s1 L sn1 t) N (s1 L sn1) 0}
P{N(t) N(0) 0} P{N (t) 0} et
Home
这就证明了到达时间间隔序列 X n （ n 1）是相互独
Xn , (n 1, 2,3,L ) （ i 1,2, ）
表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔
显然
n
Tn X1 X2 L Xn Xi i1
Home
定理1 设{ N(t) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 X1，X2，L 是相互独立的随机变量序列，
满足
（1） N (0) 0
（2） N(t) 是独立增量过程
Home
（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从均值为t （ 0 ）的泊松分布，
即对一切s,t 0 ，有 P{N(t s) N(s) k} (t)k et
k!
k 0,1,2,
则称 N(t) 为具有参数 的 Poisson(泊松)过程
说明3 Poisson过程的数字特征为
mN (t) t CN (s,t) min(s,t) DN (t) t RN (s,t) 2st min(s,t)
Home
说明4
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
(t)k et
kn k!
t0
Home
于是 Tn 的概率密度为
f (t) F(t)
(t)k1 et (t)k et
kn (k 1)!
kn (k )!
(t)n1 et (t)k1 et (t)k et
(n 1)! kn1 (k 1)!
kn (k )!
et (t)n1
Home
定理2 设{ N (t) ， t 0 }为泊松过程，
则到达时间Tn （ n 1）服从 (n, ) 分布，
其概率密度为
f (t) et (t)n1 ，t 0
(n 1)!
证 因为 事件{Tn t}等价于事件{ N (t) n }
所以 Tn 的分布函数为
F(t) P{Tn t} P{N(t) n}
P{N (t) 0} et Home
可见 X 2 也服从均值为1/ 的指数分布
且 X 2 与 X1 独立同分布。
一般地 对 n 1和t，s1，s2， ，sn1 0 P{X n t | X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{N (s)
k
|
N (t )
n}
n k
Fra Baidu bibliotek
s t
k
1
s
nk
t
，k
0,1, 2,L
,n
。
4-2 设{Ni (t),t 0} ， i 1,2,L ,n是 n 个相互独立的 Poisson 过程，参数分别为
n
n
i,i 1,2,L , n 。证明{N(t) Ni (t),t 0}是 Poisson 过程，参数为 i 。
t
Step2.考虑 n≥2 的情形
在n＝1的
条件下T1服 从均匀分
布
f (t1,t2,L
,tn )
n! tn
0 t1 t2 L tn
| | Home
第二节 Poisson过程的推广 非齐次Poisson过程 复合Poisson过程
条件Poisson过程
Home
作业
4-1．对于 Poisson 过程{N(t),t 0}，证明：当 s t 时，
是一个强度为 p 的Poisson过程。
| | Home
第二节 Poisson过程的若干分布
1.到达时间间隔和到达时间的分布
符号说明 设{ N(t) ， t 0 }为泊松过程， N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
Tn , (n 1, 2, 3,L ) （ i 1,2, ）表示第 n 次事件发生的时刻
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155 ||
Home
例2 事件A的发生形成强度为 的Poisson过
程N(t),t 0 。如果每次事件发生时以概
率p能够被记录下来，并以 M (t) 表示到t时
刻被记录下来的事件总数，则M (t),t 0
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程， 参数为 （ 0 ），
满足
Home
（1） N (0) 0
（2）过程有平稳与独立增量
（3） P{N(h) 1} h (h)
（4） P{N(h) 2} (h)
其中(h) 表示当h 0 时对 h 的高阶无穷小，
则称 N(t) 为具有参数 的泊松过程
第三章 Poisson过程
第一节 Poisson过程的定义 第二节 Poisson过程的若干分布 第三节 Poisson过程的推广
第一节 Poisson过程的定义
一、计数过程
如果用 X (t) 表示[0，t]内随机事件发生的总数，
则 随机过程{ X (t) ，t 0 }称为一个计数过程
且满足：
（1） X (t) 0 （2） X (t) 是整数值 （3）对任意两个时刻 0 t1 t2 ，有 X (t1) X (t2 ) （4）对任意两个时刻0 t1 t2 ，
证 事件{T1 t }的发生当且仅当没有泊松事件在[0，t]内发生
故当t 0 时，有
P{X1
t}
P{N (t)
0}
(t ) 0
0!
e t
e t
或 P{X1 t} 1 et
故 X1 的分布函数为
Home
FT1
(t )
1 0,
e t
,t t
0 0
立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为
1/ 的指数分布。
例3 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽 车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1 辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试 问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站 所需等待时间的概率分布及其期望。
解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)] t 并称 为此过程的 速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
Home
说明1
Poisson过程具有很大的理论价值和应用价值
考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾 客流”，顾客到服务点的到达过程可认为是 Poisson过程。
说明2
条件3即表明N(t)服从参数为λt的Poisson分布
即 X1 是服从均值为1/ 的指数分布。
又因 X 2 为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，
那么类似地有
P{X 2 t | X1 s1}
P{在(s1, s1 t]内没有事件发生 | X1 s1} P{在(s1, s1 t]内没有事件发生} （增量的独立性） P{N (s1 t) N (s1) 0} P{N (t) N (0) 0} （平稳增量过程）
两种定义的等价证明
Home
例1 顾客到达某商店服从参数 4 人/小时的泊松过程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时 仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位 顾客的概率。 解 设 X (t) 表示在时间t时到达的顾客数
P(X (0.5) 1, X (2.5) 5)
P(X (0.5) 1, X (2.5) X (0.5) 4)
(n 1)!
Home
回忆
n
Tn X1 X2 L Xn Xi i1
由n个相互独立具有相同参数的指数分布 的随机变量的和服从什么分布？
Γ分布的可加性
| | Home
2.事件发生时刻的条件分布
Q：{T1,L ,Tn | N (t) n }
Step1.考虑 n＝1 的情形
P{T1 s | N (t) 1} s t s
X1 (t s) X1 (t) 及 X 2 (t s) X 2 (t) 的和，
所以由泊松过程的定义可知
X (t) 服从均值为 t 的泊松分布。
因此 X (t) 服从速率为 1/10 1/15 1/ 6 的泊松过程。
由定理1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的 指数分布。 再由指数分布的无记忆性， 这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。
X (t2 ) X (t1 ) 等于在区间(t1,t2 ] 中发生的事件的个数
Home
注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个
数是独立的，则称计数过程有独立增量。
若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
二、Poisson过程
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
i1
i1
Home
X 1 (t) 和 X 2 (t) 的速率分别为 1 1/10 ， 2 1/15
下面证明两路车混合到达过程 X (t) 服从速率为
1 2 的泊松分布
Home
事实上 X (t) = X1(t) +X 2 (t) 是独立增量 且 X (t s) X (t) 是相互独立地服从泊松分布的随机变量
| X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{N (s1 L sn1 t) N (s1 L sn1) 0}
P{N(t) N(0) 0} P{N (t) 0} et
Home
这就证明了到达时间间隔序列 X n （ n 1）是相互独
Xn , (n 1, 2,3,L ) （ i 1,2, ）
表示第 n 次与第 n-1 次事件发生的时间间隔
显然
n
Tn X1 X2 L Xn Xi i1
Home
定理1 设{ N(t) ， t 0 }是参数为 （ 0 ）的泊松过程，
则到达时间间隔序列 X1，X2，L 是相互独立的随机变量序列，
满足
（1） N (0) 0
（2） N(t) 是独立增量过程
Home
（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数
服从均值为t （ 0 ）的泊松分布，
即对一切s,t 0 ，有 P{N(t s) N(s) k} (t)k et
k!
k 0,1,2,
则称 N(t) 为具有参数 的 Poisson(泊松)过程
说明3 Poisson过程的数字特征为
mN (t) t CN (s,t) min(s,t) DN (t) t RN (s,t) 2st min(s,t)
Home
说明4
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
(t)k et
kn k!
t0
Home
于是 Tn 的概率密度为
f (t) F(t)
(t)k1 et (t)k et
kn (k 1)!
kn (k )!
(t)n1 et (t)k1 et (t)k et
(n 1)! kn1 (k 1)!
kn (k )!
et (t)n1
Home
定理2 设{ N (t) ， t 0 }为泊松过程，
则到达时间Tn （ n 1）服从 (n, ) 分布，
其概率密度为
f (t) et (t)n1 ，t 0
(n 1)!
证 因为 事件{Tn t}等价于事件{ N (t) n }
所以 Tn 的分布函数为
F(t) P{Tn t} P{N(t) n}
P{N (t) 0} et Home
可见 X 2 也服从均值为1/ 的指数分布
且 X 2 与 X1 独立同分布。
一般地 对 n 1和t，s1，s2， ，sn1 0 P{X n t | X1 s1, X 2 s2 ,L , X n1 sn1}
P{在(s1 sn1, s1 sn1 t]内没有事件发生
P{N (s)
k
|
N (t )
n}
n k
Fra Baidu bibliotek
s t
k
1
s
nk
t
，k
0,1, 2,L
,n
。
4-2 设{Ni (t),t 0} ， i 1,2,L ,n是 n 个相互独立的 Poisson 过程，参数分别为
n
n
i,i 1,2,L , n 。证明{N(t) Ni (t),t 0}是 Poisson 过程，参数为 i 。
t
Step2.考虑 n≥2 的情形
在n＝1的
条件下T1服 从均匀分
布
f (t1,t2,L
,tn )
n! tn
0 t1 t2 L tn
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第二节 Poisson过程的推广 非齐次Poisson过程 复合Poisson过程
条件Poisson过程
Home
作业
4-1．对于 Poisson 过程{N(t),t 0}，证明：当 s t 时，
是一个强度为 p 的Poisson过程。
| | Home
第二节 Poisson过程的若干分布
1.到达时间间隔和到达时间的分布
符号说明 设{ N(t) ， t 0 }为泊松过程， N(t) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数
Tn , (n 1, 2, 3,L ) （ i 1,2, ）表示第 n 次事件发生的时刻
P(X (0.5) 1)P(X (2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!
4!
0.0155 ||
Home
例2 事件A的发生形成强度为 的Poisson过
程N(t),t 0 。如果每次事件发生时以概
率p能够被记录下来，并以 M (t) 表示到t时
刻被记录下来的事件总数，则M (t),t 0
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程， 参数为 （ 0 ），
满足
Home
（1） N (0) 0
（2）过程有平稳与独立增量
（3） P{N(h) 1} h (h)
（4） P{N(h) 2} (h)
其中(h) 表示当h 0 时对 h 的高阶无穷小，
则称 N(t) 为具有参数 的泊松过程
第三章 Poisson过程
第一节 Poisson过程的定义 第二节 Poisson过程的若干分布 第三节 Poisson过程的推广
第一节 Poisson过程的定义
一、计数过程
如果用 X (t) 表示[0，t]内随机事件发生的总数，
则 随机过程{ X (t) ，t 0 }称为一个计数过程
且满足：
（1） X (t) 0 （2） X (t) 是整数值 （3）对任意两个时刻 0 t1 t2 ，有 X (t1) X (t2 ) （4）对任意两个时刻0 t1 t2 ，