仪器的精度选择和测量结果及不确定度的有效位数

仪器的精度选择
前言
测量所能达到的精度是选择仪器的重要指标，本文详细的讲述了几种不同情况下，误差的产生、计算、标定的方法。

希望对您选择合适的测量器具会有一定的帮助。

一、测量误差的定义
测量误差为测量结果减去被测量的真值的差，简称误差。

因为真值（也称理论值）无法准确得到，实际上用的都是约定真值，约定真值需以测量不确定度来表征其所处的范围，因此测量误差实际上无法准确得到。

测量不确定度：表明合理赋予被测量之值的分散性，它与人们对被测量的认识程度有关，是通过分析和评定得到的一个区间。

测量误差：是表明测量结果偏离真值的差值，它客观存在但人们无法确定得到。

例如：测量结果可能非常接近真值(即误差很小),但由于认识不足,人们赋予的值却落在一个较大区域内(即测量不确定度较大);也可能实际上测量误差较大,但由于分析估计不足,使给出的不确定度偏小。

因此在评定测量不确定度时应充分考虑各种影响因素,并对不确定度的评定进行必要的验证。

二、误差的产生
误差分为随机误差与系统误差
误差可表示为：误差=测量结果-真值=随机误差+系统误差
因此任意一个误差均可分解为系统误差和随机误差的代数和
系统误差：由于测量工具（或测量仪器）本身固有误差、测量原理或测量方法本身理论的缺陷、实验操作及实验人员本身心理生理条件的制约而带来的测量误差称为系统误差．
系统误差的特点是在相同测量条件下、重复测量所得测量结果总是偏大或偏小，且误差数值一定或按一定规律变化．减小系统误差的方法通常可以改变测量工具或测量方法，还可以对测量结果考虑修正值．
随机误差：随机误差又叫偶然误差，即使在完全消除系统误差这种理想情况下，多次重复测量同一测量对象，仍会由于各种偶然的、无法预测的不确定因素干扰而产生测量误差，称为随机误差．
随机误差的特点是对同一测量对象多次重复测量，所得测量结果的误差呈现无规则涨落，既可能为正（测量结果偏大），也可能为负（测量结果偏小），且误差绝对值起伏无规则．但误差的分布服从统计规律，表现出以下三个特点：单峰性，即误差小的多于误差大的；对称性，即正误差与负误差概率相等；有界性，即误差很大的概率几乎为零．
从随机误差分布规律可知，增加测量次数，并按统计理论对测量结果进行处理可以减小随机误差．
三、精密度、精确度与准确度
用同一测量工具与方法在同一条件下多次测量，如果测量值随机误差小，即每次测量结果涨落小，说明测量重复性好，称为测量精密度好也称稳定度好，因此，测量偶然误差的大小反映了测量的精密度．
根据误差理论可知，当测量次数无限增多的情况下，可以使随机误差趋于零，而获得的测量结果与真值偏离程度——测量准确度，将从根本上取决于系统误差的大小，因而系统误差大小反映了测量可能达到的准确程度．
精确度是测量的准确度与精密度的总称，在实际测量中，影响精确度的可能主要是系统误差，也可能主要是随机误差，当然也可能两者对测量精确度影响都不可忽略．在某些测量仪器中，常用精度这一概念，实际上包括了系统误差与随机误差两个方面，例如常用的仪表就常以精度划分仪表等级．
仪表精确度简称精度，又称准确度。

精确度和误差可以说是孪生兄弟，因为有误差的存在，才有精确度这个概念。

仪表精确度简言之就是仪表测量值接近真值的准确程度，通常用相对百分误差（也称相对折合误差）表示。

相对百分误差公式如下：
从式中可以看出，仪表精确度不仅和绝对误差有关，而且和仪表的测量范围有关。

绝对误差大，相对百分误差就大，仪表精确度就低。

如果绝对误差相同的两台仪表，其测量范围不同，那么测量范围大的仪表相对百分误差就小，仪表精确度就高。

精确度是仪表很重要的一个质量指标，常用精度等级来规范和表示。

精度等级就是最大相对百分误差去掉正负号和%。

按国家统一规定划分的等级有0.05,0.02,0.1,0.2,1,5 等。

数字越小，说明仪表精确度越高。

四、应用精度的选择
在实际应用过程中，要根据测量的实际情况来选择仪器的量程和精度，并不一定精度等级小的仪器，就一定有最好的测量效果。

以万用表的应用为例，采用准确度不同的万用表测量同一个电压所产生的误差。

例如：有一个10V标准电压，用100V挡、0．5级和15V挡、2.5级的两块万用表测量，问哪块表测量误差小？
解：第一块表测：最大绝对允许误差
△X1=±0.5％×100V=±0．50V。

第二块表测：最大绝对允许误差
△X2=±2．5％×l5V=±0.375V。

比较△X1和△X2可以看出：虽然第一块表准确度比第二块表准确度高，但用第一块表测量所产生的误差却比第二块表测量所产生的误差大。

因此，可以看出，在选用仪器时，并非准确度越高越好。

还要选用合适的量程。

只有正确选择量程，才能发挥万用仪器潜在的准确度。

五、精度的标定方法
除了国家统一规定的等级外，随着电子技术的广泛应用，根据性能的不同，还有如下几种精度标定方法
1）显示值±X ：在电子显示仪器中应用，表示在当前显示值的最低位上，有X个字的误差。

若显示值为Y，误差△X=X/Y*100%
2) 显示值的X%：在电子显示仪器中应用，表示当前显示值的X%为当前的误差范围。

若显示值为Y 误差△X=X%，误差值为±X%*Y
3) 分段量程标定：应用于宽量程仪器，仪器在不同的测量区间内，采用不同的误差标定方法，例如在测量0.01-1伏电压时，误差为5%，在测1-10伏电压时，误差为1% 就是分段标定方法，应用分段标定仪器时，一定要选择好合适的量程，并认真的查看该量程的误差计算和标定方法.
4）数学模型式的误差标定：给出仪表的误差计算公式F(X)，根据仪表当前的测量结果Y和其他相关条件带入公式，计算出当前误差△X=F(Y)。

这种方法测得的误差结果和测量值的对应关系多为曲线，由于这种方法各点误差不同，应用时应格外注意，认真的计算。

结束语
由上面的条件不难得出，针对不同的测量值，不同的误差标定方法对结果的实际测量精度是不同的。

选择的时候，要针对测量情况和使用仪器在测量点的允许误差具体分析，并不一定低等级仪器就有最好的测量效果。

要根据具体情况选择合适的仪器和量程，才能最大限度的减少测量的误差。

测量结果及其不确定度的有效位数
1 引言
校准证书及检测报告上的校准结果或检测结果均给出了测量结果的不确定度，测量结果的报告应尽量详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。

完整的测量结果至少含有两个基本量：一是被测量的最佳估计值，在很多情况下，测量结果是在重复观测的条件下确定的。

二是描述该测量结果分散性的量，即测量结果不确定度。

报告测量结果的不确定度有合成标准不确定度和扩展不确定度两种方式。

在报告与表示测量结果及其不确定度时，对两者数值的位数，技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》做出了相应的规定。

2 测量结果不确定度的有效位数
2.1 技术规范的规定
根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，估计值y的数值和它的标准不确定度uc(y)或扩展不确定度U的数值都不应该给出过多的位数。

通常uc(y)和U 以及输入估计值xi的标准不确定度u(xi)最多为两位有效数字。

虽然在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位，即在报告最终测量结果时，uc(y)和U取一位或两位均可，两位以上是不允许的。

2.2 测量结果不确定度的修约
测量结果不确定度应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果不确定度有效数字的位数为一位或两位。

例如：一频率测量结果的标准不确定度为u (xi)= 28.05 kHz，要求保留两位有效数字，经修约后为28 kHz。

测量结果的不确定度不允许进行连续修约。

即测量结果的不确定度应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。

例如：U = 0.145 5℃，要求保留一位有效数字时，应为：U = 0.145 5℃= 0.1℃，而不应为：U = 0.145 5℃= 0.146 ℃= 0.15℃= 0.2℃。

可见，在本例中，由于连续修约造成最终结果的误差为100%，这是不允许的。

2.3 测量结果不确定度有效位数的合理选择
技术规范中规定，在通常情况下，uc(y)和U最多为两位有效数字。

但保留一位有效数字时，可能导致很大修约误差，特别是当第1位有效数字较小时。

例如：经计算一温度测量结果的不确定度为0.149℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果不确定度为0.1℃，由修约引起的误差为-0.04 9℃，是测量结果不确定度的49%，对评定测量结果的质量影响很大。

这可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本不满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，造成计算出的测量结果不确定度达到预定技术要求的假象，对该测量工程将产生很大的损失。

也可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本应满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，使计算出的测量结果不确定度达不到预定的技术要求，需要选择更高准确度等级的测量仪表，加大了测量设备成本的投入。

若将测量结果的不确定度修约到两位有效数字，测量结果的不确定度为0.15 ℃，由修约引起的误差为0.001 ℃，是测量结果不确定度的1%，对评定测量结果质量的影响可以忽略不计。

当修约前测量结果不确定度的第1位数字增大时，由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响将减小。

例如：用一测温仪表测量某一物体的温度，计算出其测量结果的不确定度为0.249℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.2℃，由修约引起的误差为-0.049℃，是测量结果不确定度的24%。

若测量结果的不确定度为0.349℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.3 ℃，由修约引起的误差为-0.049 ℃，仅是测量结果不确定度的16%，即小于测量结果不确定度的1/5，从误差理论上讲可忽略不计。

因此，当修约前第1位有效数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字。

3或以上时，可用一位或两位有效数字。

以上所讨论的是测量结果的不确定度可准确评定时的情况，即只考虑由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响。

在现有的技术条件下，测量结果的不确定度难以准确地进行评定时，虽然其第1位有效数字可能较小，但是测量结果的不确定度取一位有效数字仍然是合理的。

2.4 中间结果的有效位数
在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。

例如：一测温仪表检定结果的不确定度是由两部分组成的：一是标准器引入的标准不确定度分量u1；二是测温仪表重复性引入的标准不确定度分量u2。

要求最终检定结果的合成标准不确定度取一位有效数字。

假设经计算：
u1 = 0.149 ℃u2 = 0.249 ℃
方法1：各分量互不相关，u1，u2不修约，采用方和根法直接计算检定结果的合成标准不确定度。

由本例可见，若最终测量结果的不确定度取一位有效数字，中间结果的有效位数仅取一位是不够的，至少应取两位有效数字，否则可能产生很大的修约误差。

2.5 测量结果不确定度的全进进位法
最终测量的结果有时要将测量结果不确定度最末位后面的数都进位而不是舍去，这样不但提高了不确定度的可靠性，而且可使数据更加保险。

例如：uc(y)= 10.47 mΩ，可以进位到11 mΩ。

但是测量结果不确定度的全进进位法应慎重使用，因为将末位后面的数都进位可能导致不确定度被过分扩大。

例如：一电阻测量结果的合成标准不确定度为uc(y) = 1.047 mΩ，进位到2 mΩ。

这虽然提高了合成标准不确定度的可靠性，数据更加保险了，但是产生了很大的进位修约误差，使本应满足测量技术要求的仪表因此而不能使用。

在满足使用要求的条件下，建议采用“三分之一”原则。

即舍掉部分小于保留末位修约间隔的三分之一时，不进位，否则可以进位。

例如：uc(y) = 10.37 mΩ，可进位到11 mΩ。

uc(y) = 10.27 mΩ，则不进位，uc(y) = 1 0 mΩ。

3 测量结果的有效位数
3.1 技术规范的规定
规范规定：输入和输出的估计值应修约到与不确定度的位数一致。

即经计算得到测量结果的不确定度以后，要按测量结果不确定度的有效位数来修约测量结果，确定测量结果的有效位数，使采用同一测量单位的测量结果及其不确定度的末位对齐。

3.2 测量结果的修约
测量结果应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果与不确定度的末位对齐。

例如：对一电阻器的电阻值进行测量，其测量结果为y = 10.057 62 Ω，合成标准不确定度uc(y) = 27 mΩ，据此对测量结果进行修约得：y = 10.058 Ω。

同样，测量结果不允许进行连续修约。

即测量结果应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。

3.3 测量结果的补位
若出现测量结果的实际位数不够而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，应在测量结果中补零，以与测量结果不确定度的末位对齐。

例如：一砝码质量的测量结果为m = 100.021 4 g，扩展不确定度为U95= 0.36 mg，则测量结果及其不确定度应表示为
m= 100.021 40 g，
U95 =0.36 mg（U95 = 0.000 36 g ）
需注意，若出现测量结果的实际位数不够而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，不应对测量结果的不确定度进行修约，以使测量结果的末位与测量结果不确定度的末位对齐。

例如：在用标准信号源校准分辨力为1 ℃的测温仪表为100 ℃点时，标准器将输入100 ℃所对应的电量值，此时被校准表指示的值为101 ℃。

经计算，其扩展不确定度U= 0.66 ℃。

标准器输入的是标准值，在满足一定技术要求的条件下，误差很小，且作为一个标准不确定度分量进入了扩展不确定度。

若U取0.7 ℃，则给出校准证书时，对应的标准器温度值应为100.0 ℃，被校准仪表的指示值为101.0 ℃。

即在校准结果后面补一个零以与不确定度的位数对齐。

而不应将U修约为1 ℃，给出被校准仪表的指示值为101 ℃、U为1 ℃的校准证书。

在被校准仪表指示值后面补一个零是为了说明当用该仪表测量100.0 ℃的温度时，其指示值以一定的概率出现在(101.0±0.7) ℃的范围以内。

由于仪表本身的分辨力为1 ℃，所以实际指示出来的指示值为(101±1 )℃。

分辨力对不确定度已在0.7 ℃中体现了出来。

不能因为这个零，就说仪表指示值正好是101.0 ℃。

因为该仪表的分辨力为1 ℃，是指示不出0.
1 ℃来的。

4 结论
测量是科研、生产过程中不可缺少的一项工作，其目的是获取测量结果。

测量不确定度是对测量结果质量的定量表征，而测量结果及其不确定度的有效位数，对于准确表示测量结果及其不确定度是很重要的。

根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，测量结果不确定度的数值应给出一位或两位有效数字。

在实际工作中，应合理地进行选择。

当修约前第1位有效
数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字；3或以上时，可用一位或两位有效数字。

在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。

测量结果不确定度的全进进位法（既将保留末位后面的数都进位）应慎重使用。

建议采用“三分之一”原则，既舍掉部分小于保留末位修约间隔的三分之一时，不进位，否则可以进位。

对测量结果进行修约以使测量结果的末位与测量结果不确定度的末位对齐。

若出现测量结果的实际位数不够，而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，应在测量结果后面补零，以与测量结果不确定度的末位对齐。

对测量结果及其不确定度的修约，应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行，不允许连续修约。

参考文献
1 国家质量技术监督局.JJF1059-1999测量不确定度评定与表示.北京：中国计量出版社，1 999.
2 国家质量技术监督局.测量不确定度评定与表示指南.北京：中国计量出版社，2000.
3 国家质量技术监督局.GB3101-1993有关量、单位和符号的一般原则.北京：中国标准出版社，1994.
4 叶德培.测量不确定度.北京：国防工业出版社，1996.
5 刘智敏.测量不确定度的应用.宇航计测技术，1997（增刊）.
测量准确度与测量仪器准确度
国标标准化组织（ISO）、国际电工委员会（IEC）、国际法制计量组织（OIML）、国际计量局（BIPM）、国际纯物理和应用物理联合会（IUPAP）、国际纯化学和应用化学联合会（IUPC）以及国际临床化学联合会（IFCC）7个国际组织于1993年修订了《国际通用计量学基本术语》（International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrol ogy）(以下简称《VIM》)。

我国国家质量技术监督局于1998年9月发布了JJF1001－199 8《通用计量术语及定义》（以下简称《JJF》国家计量技术规范。

在以上两个文本中，对测量准确度、流量仪器的准确度和准确度等级均有确切的定义和说明。

本文以这些文件为依据，提出使用这些概念时必须注意的问题。

1．准确度
对应的英文为accuracy(这个词既可用于说明测量结果，也可用于测量仪器在的示值。

当用于测量结果时，表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。

当用于测量仪器时，定义为测量仪器给出接近于真值的能力，所有这些场合，准确度均为一种定性的概念而非定量的。

因此，准确度不象测量误差、测量不确定度，他不是物理量，化没有一个定量的定度。

测量误差定义为测量结果减被测量之真值，是两量之差，可以定量地给出。

准确度则不能。

所谓定量，就是用量值表达。

例如，我们说某测量仪器的示值误差为－7．8mA，这是定量的表达，给出了量值，－7．8mA。

但我们决不能说这一测量仪器的准确度为－7．8mA或是±7．8 mA，或是小于等于7．8mA。

当某个测量仪器的引用误差（fiducial error of a measuring instrument）不大于0．01时（1％），往往按照有关该仪器的标准或检定规程，该仪器的准确度为1级。

但只是准确度为1级而决非准确度为1％。

注意：1％是个量值。

2．准确度等级
在《VIM》及《JJF》中，准确度等级（accuracy class）指测量仪器符合一定的计量要求，使误差保持在规定极限以内的测量仪器的等别、级别。

等（order）与级（class）在计量学中是两个不同的概念。

计量技术规范JJG1027－91《测量误差及数据处理》中早已明确。

等是一种按测量不确定度大小所划分的档次。

级是一种按测量仪器示值误差大小所
划分的档次（关于不确定度的定义与示值误差的定义，包括器具的示值误差定义，请参阅《J JF》）。

例如：量块既分等也分级，标准电池也分等也分级，而标准活塞压力计则只分等没有级。

有些仪表的级别是引用误差（相对最大允许误差的一种）划分的，我们说某测量仪器符合某个等别或级别，是定性地综出了该仪器的准确度。

3．准确度的定量问题
把准确度等同于测量误差或极限误差或不确定度都是错误的，虽然都说明接近真值的能力。

可以用于定量说明的量有：测量误差、相对误差、标准不确定度u、扩展不确定度U和U；对于测量仪器来说，有测量仪器的示值误差p、最大允许误差、引用误差等。

给出这些量时，均无例外地可以给出一个量值。

我们可以认为准确度只是他们的一个总称。

如果我们说准确度是7．8mA，那么，这7．8mA是误差？是包含因子k=2的扩展不确定度？还是k =3的扩展不确定度？是最大允许误差还是极限误差等均不明确。

因此，如果我们要定量地给出测量仪器接近于真值的响应能力，则必须指明给出之值是个什么量而不能拢统地称之为准确度。

当前误用准确度一词的情况较为普遍，应引起足够的重视，特别是在签订合同中，准确度是个不能定量的词，无法据以进行验收，容易带来不应有的损失。

测量不确定度理论置疑
史锦顺
测量是人们定量认识客观的手段。

测量学是门基础学科。

测量精度理论，又称误差理论，是测量学的理论基础。

电子测量是以电子领域为对象或以电子技术为手段的一类测量。

测量不确定度这个概念是美国人在上世纪80年代提出的，90年代初，经国际标准化组织等7大国际组织的推荐，随风行于世。

不确定度理论是好是坏，是精华，还是糟粕，我们要睁大眼睛，细细分析，大家都来看清它的真面目。

下面提出置疑10条。

有无道理，敬请评论。

1 基本定义乱变。

在不确定度论的发展史上，各次对“不确定度”的定义有两类，A与B属第一类，C与D属第二类。

A 由测量结果给出的被测量的估计值中可能误差的量度。

B 表征被测量的真值所处的量值范围的评定。

（VIM，1984，3.09条。

）
C VIM第二版（1993）3.9项
uncertainty (of measurement) –parameter, associated with the result of a measure ment, that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attrib uted to the measurand.
叶译：与测量结果相关的参数，表示合理赋予的被测量之值的分散性（以上三点见参考文献[1]）。

史译：与测量结果相关的参量，它表征量值的分散性，这个分散性可以合理地归因于被测量。

D VIM第三版（2004）2.11项（网上资料[2]）
uncertainty
parameter that characterizes the dispersion of the quantity values that are being att ributed
to a measurand，based on the information used
史译：不确定度是个参量，它表征量值的分散性，此分散性基于所应用的信息而被归因于被测量。

定义A 、B属一类。

定义A讲误差范围，定义B讲真值所处的量值范围，都没离开误差、真值这些测量学的基本概念。

一时曾接受不确定度论的一些人，大概与此二定义有关。

C、D是现行定义，它显然与前两种定义本质不同，分散性与不准确性是截然不同的，怎能说前后一样？
2 不确定度理论的基本公式不对。

不确定度的计算中都用平均值的标准偏差，而不用单个值的标准偏差σ，是基本概念的错误。

既然不确定度的基本定义已说明它是量值的变化所引起，量值变化是客观存在，只能用单个值的标准偏差σ，σ不能除以根号N。

被测量变化远小于测量仪器误差的情况，是经典测量问题，考察的是测量的误差，即测得值与被测量实际值的差别；被测量的变化量远大于测量误差的情况，是统计测量问题，测得值就是实际值，考察的是被测量的变化情况。

经典测量问题的着眼点是认识同实际的关系，对测得值求平均，以减小认识的偏差（误差），故表达时用平均值的标准偏差；统计测量的着眼点是量值的变化，表征时必须是单个值的标准偏差。

上述关系，在不确定度论中全混淆了。

把分散性归因于被测量，却用平均值的标准偏差公式，这是不对的。

应知，取平均值的标准偏差这种操作，只能用于分散性是测量仪器引起的这类常规测量上；既然认为分散性归因于被测量，已是统计问题，再用平均值的标准偏差，则抹杀了量的变化，掩盖了量值的分散性。

还应指出，不确定度的表达方法中，所谓A类评定B类评定，都使用贝塞尔公式。

需知，贝塞尔公式成立是有前提的。

有数学期望才有贝塞尔公式。

发散型统计测量不能用贝塞尔公式。

不承认真值，不承认数学期望，只着眼分散性的不确定度理论，基本公式竟照搬前提不同的贝塞尔公式，是前提性错误。

不确定度理论比阿仑方差理论退步多了。

说不确定度理论的基本公式错了，这个论断有没有道理，得认真想一想。

本人是对不确定度理论考证10年，才说这句话的。

是无理取闹，还是真知灼见，敬请品评。