6.1 能带理论-布洛赫定律

ik a3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik Rm (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理表述二
26
如果将波函数写成
ik r (k , r ) e u (k , r )
5
能带理论 研究固体中电子分布、运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导 体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍 性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
这样，晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场 中运动，满足薛定谔方程为：
2 [ V ( r )] E 2m
晶格周期性势场
2
V ( r ) V ( r Rn )
任意晶格矢量。
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V (r )
+ + + +
r
周期势场示意图
晶体中的电子就是在晶格周期性的等效势场中运动， 2 2 满足薛定谔方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V ( r ) V ( r R ) n
空间中，可取的 为第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
状态密度
V (2 )3
(2 )3 N 简约布里渊区的波矢数目 N 3 (2 )
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练 一维周期场中电子的波函数 k (x) 满足 Bloch 定理, 习 若晶格常数为 a 的电子波函数为
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后 给出电子波函数的形式
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势场的周期性反映了晶格的平移对称性：
晶格平移任意矢量 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T2 , T3
平移任意晶格矢量 对应的平移算符
m3 m1 m2 T ( Rm ) T1 (a1 )T2 (a 2 )T3 (a3 )
根据Bloch定理（表述二），有
所以
u (k , r ) u (k , r Rn ) —— 晶格周期性函数
Bloch定理表述一
3. 说明


遵从周期势电子薛定谔方程的电子，或用Bloch波函数 描述的电子称为Bloch电子。 Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构中的波， 都具有Bloch波的形式。
ik r (k , r ) e u (k , r ) u (k , r ) u (k , r Rn )

Bloch波是调幅的平面波eik.r，调幅函数un(k,r)具有与 晶体相同的周期性。
(r ) (r N1a 1) 波矢k的取值由周期性边界条件决定 ( r ) ( r N a ) 2 2 (r ) ( r N 3a3 ) ——
通常是选由原点出发的各倒格子矢量的垂直 平分面, 所围成的第一布里渊区, 它具有环绕 原点更为对称的优点。
简约波矢 改变一个倒格子矢量，平移算符的本征值不变
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应， 将简约波矢的取值限制在第一布里渊区
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简约波矢
2 2 l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
布洛赫是一位在近代物理理论和实验都作出过巨大贡献的物理学家。 他早年的博士论文“金属的传导理论”就是一项很有价值的科学文献， 提供了金属和绝缘体结构的近代图像，是半导体研究的理论基础。他的 名字在固体物理学中多次提到，例如：所谓的布洛赫方程、布洛赫波函 数、布洛赫自旋波、布洛赫壁，以及铁磁物质磁化时的布洛赫效应、自 发磁化的布洛赫 T3/2 定律等等都是出自他的创建。
布洛赫定理 当平移晶格矢量 ，波函数只增加了位相因子
电子的波函数
ik r ( r ) e uk (r )—— 布洛赫函数
晶格周期性函数
uk ( r R ) uk ( r )
—— 布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积。
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2 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者 具有相同的本征函数
引入周期性边界条件 平移算符的本征值
三个方向
上的原胞数目
总的原胞数
23
对于
1 e
对于
2 i
l1 N1
2 e
对于
2 i
l2 N2
3 e
—— 整数
2 i
l3 N3
24
l1 l3 l2 引入矢量 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 倒格子基矢
Nj 2

bj
kj
bj
j 1, 2,3
简约波矢的取值

第一布里渊区体积
lj
Nj 2
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l1 l3 l2 b1 b2 b3 简约波矢 k N1 N2 N3
在
N1 N l1 1 2 2 N N 2 l2 2 2 2 N N 3 l3 3 2 2
2
电子数量增加时能级扩展成能带
3
例如Na，核外电子结构为：1s22s22p63s1。 当N个Na原子相互靠近形成一个固体时，形成能带，为1s带， 2s带，2p带，3s带，3p带。 内层电子受到外来影响小，3s带受到外来影响最大。 Na的3s电子是价电子，所以3s带也叫价带。由于钠原子只有 1个3s电子，所以在Na固体的3s价带上，只有一半的能级被电 子所占据。 自然，这些3s带里被电子占据的能级应该是能量较低的能级， 而能量较高的能级很少有电子占据。 Na的3p带也叫导带，由于Na的3p能级没有电子，所以Na固 体的3p带也没有电子，是空带。 如果受到外来能量的激发，3s带的电子可能跃迁到3p带上去。 在3s带和3p带之间有一段能量区域是永远不可能有电子的， 这个能量区域叫禁带，也称带隙。
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平移算符
的性质
作用于任意函数
平移算符作用于周期性势场
20
各平移算符之间对易
对于任意函数
T T T T
21
平移算符和哈密顿量对易
对于任意函数
和
微分结果一样
T H HT
22
T 和 H 存在对易关系，具有共同的本征函数
H E T1 1 T2 2 T3 3
6
7
能带理论是一个近似的理论 1. 单电子近似 将价电子看成独立地在一个等效势场中运动, 它包 括离子实的势场, 其它价电子的平均势场以及考虑 电子波函数反对称性而带来的交换作用。采用哈特 里－福克(Hartree-Fock) 自洽场方法处理等效势场 2. 绝热近似 讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平 衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 3. 周期场近似 对于理想晶体, 原子规则排列成晶格, 晶格具有周 期性, 因而等效势场 V(r) 也应具有周期性
波矢k的取值和物理意义
k
l1 1 N1 b
l2 N 2 b2
l3 N3 b3
其中，bi (i=1, 2, 3)是倒格子基矢
是一些分立的矢量！
许可的k可看成是，在倒格子空间中以bi/Ni为基矢的布拉维 格子的格矢。许可的k值由上述布拉维格子的格点表示
平移算符本征值的物理意义 1)
1 e
ik a1
, 2 e
ik a2
, 3 e
ik a3
2) k 平移算符本征值量子数
k 称为简约波矢, 是对应于平移操作本征值的量子数
—— 原胞之间电子波 函数位相的变化
——简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同
它的物理意义是表示原胞之间电子波函数位相的 变化。不同 k 值表示原胞间的位相差是不同的。
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§3.3 布洛赫定理 1.定理表述
表述一：对于周期性势场
V (r Rn ) V (r )
其中，Rn为布拉维格子的所有格矢，单电子薛定谔方程
2 2 V ( r ) ( r ) ( r ) 2m
的本征波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波 ，即
第三章 金属电子论
1
能带理论
对能带的初步认识
固体：每立方1029 数量级的原子核和 电子的多粒子系统
根据原子结构理论，每个电子都占有一个分立的能级。 泡利(Pauli)不相容原理指出，每个能级只能容纳2个电子。
当N个原子相互靠近形成一个固体时，泡利不相容原理仍 然成立，即在整个固体中，也只能有2个电子占据相同的能级。 当这两个原子的距离足够近时，它们的同能级(例如2s)轨 道的电子就会相互作用，以致不能再维持在相同的能级。 当固体中有N个原子，这N个原子的2s轨道的电子都会相 互影响。这时就必须出现N个不同的分立能级来安排所有这些 (例如2s)轨道的电子，而这些电子共有2N个。 2s轨道的N个分立的能级组合在一起，成为2s的能带。
4
在Na的3s价带上，当温度为绝对零度时，只有一半的低能 级被电子占据，另一半的(高)能级没有电子占据。
能带中有一半的能级被电子占据，最高的占据能级称为费密能级。
而当温度大于绝对零度时，有一些电子获得了能量，跳到 价带里的较高能级，而在相对应的较低的能级上失去了电子， 产生了相同数量的空穴。
能带中电子随温度升高而进行能级跃迁 (a) 绝对零度时，所有外层电子占据低的能级； (b)温度升高，部分电子被激发到原未被填充的能级
—— 布洛赫函数
则
ik ( r Rn ) (k , r Rn ) e u (k , r Rn )
ik Rn (k , r Rn ) e (k , r ) ik ( r Rn ) e u (k , r )
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3) 简约波矢改变一个倒格子矢量 G n b n b n b n 1 1 2 2 3 3 平移算符的本征值不变




必须把 k 限制在一定范围内, 使它既能概括所有不同 的 λ1,λ2, λ3 取值, 同时又没有两个 k 相差一个倒格子 矢量 Gn
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与晶格振动时相类似, 最明显的办法是把 k 限制在 k 空间 b1、b2、b3 形成的倒格子原胞之中, 但实际 上这往往不是最方便的
满足 ai b j 2 ij
ij
平移算符的本征值
1 0
ik a3
i j i j
1 e
ik a1
, 2 e
ik a2
, 3 e
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平移算符的本征值
1 e
将
ik a1
, 2 e
ik a2
, 3 e
且
ik r k ( r ) e uk ( r ) uk (r Rn ) uk (r )
表述二：对于上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k， 使得对于属于布拉维格子的所有格矢Rn都有：
ik Rn (r Rn ) e (r )
在这样一个具有晶格周期性的等效 势中, 薛定谔方程的解有什么特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研 究周期场中电子的运动问题。他们的工 作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理
布洛赫
1905年10月23日出生于瑞士的苏黎世，上完中学后， 他本来想当一名工程师，于是就直接进入苏黎世的联邦 工业大学。一年后，决定转学物理，通过薛定谔、德拜 等教授的课程，他逐渐熟悉了量子力学。后来他到德国 莱比锡大学跟海森堡继续研究。1928年获得博士学位。 以晶体中电子的量子力学和金属导电理论方面的内容做 论文。1933年到美国。1934年起在斯坦福大学任教。 1939年加入了美国国籍。1952年获得诺贝尔奖。1954年 曾担任过欧洲核子研究中心的第一任主任，回到斯坦福 大学后，曾经研究过超导电性和低温下的其它现象。 1983年9月10日逝世于慕尼黑，享年78岁。