预测与决策--8.增长曲线预测法G

t0.025 (7) 2.365, t0 10
n t t 27.6844 t 6.3952 n t 4.3289
nt 2 ( t t ) 23.7933
ˆ 2007 t n 2 S y 预测区间为： y
2
t0 t 1 1 n n t (t t )2
上述方程组可求出a和b 的值。
折扣最小平方和法
例2：对例1的数据试用折扣最小平方和法进行计算 （ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.8），预测2007年销量。
解：列表进行计算，得到方程组：
1958.7446 4.3289a 27.6844b 13349.9347 27.6844a 200.8408b ˆ 34.6034 解得： a ˆ 231.1832, b
第6年的拥有率
ˆ 0.4 ln y ˆ 0.67 y
第三节 修正指数曲线
yt
k
k+a
ˆ K abt y
k+a
k>0 a<0 0<b<1
k
k>0 a>0 0<b<1
t
修正指数曲线图
n t ( yt a bt ) 2
t 1
上式对a和b分别求偏导，整理得：
n n n n t n t n t y a b t t t 1 t 1 t 1 n n n n t n t ty a t b n t t 2 t t 1 t 1 t 1
模型为：
ˆt 231.1832 34.6034t y
将各年t值代入，可得各年的追溯预测值（见计算表）， 并计算标准误差： n n t 2 ˆ ( y y ) t t 15.7165 t 1 Sy 1.4984 nm 92
折扣最小平方和法
ˆ2007 577.22 预测：以t0=10值代入模型，计算得：y
的重要性等同看待。
为了克服上述缺陷，常采用“折扣最小平方
和法”，进行合理的加权，对近期误差比对
远期误差给以较大的权重。
折扣最小平方和法
折扣最小平方和法就是对误差平方在进行指数折扣加
权后，使其总和达到最小。
ˆt ) 2 min : Q n t ( yt y
t 1 n

效果分析：

32.934 2.1691 92
t0.025 (7) 2.365
ˆ 2007 t S y 预测区间： y
2
1 t0 t 1 n (t t )2
2
t0 5, t 0
计算结果为：（572.01，584.69）
第一节 直线趋势模型
折扣最小平方和法 最小二乘法的缺陷：把远期误差与近期误差
结论：指数曲线的一阶环比为常数 eb 。
第二节 指数曲线
例3：某城市近 5年来电视机的家庭拥有率的抽样调查数 据见表。试建立指数增长预测模型，并预测第6年的拥有率。
0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6
ln a 4.1836 b 0.6251 ˆ 4.1836 .6251t y
第一节 直线趋势模型
采用最小二乘法求参数的方法与步骤同前。
例1：某市1998—2006年某产品销售量如表所示，试预
测2007年销量。
年份 时间 销售量 一阶差分
1998 －4 265 — 1999 －3 297 32 2000 －2 333 36 2001 －1 370 37 2002 0 405 35 2003 1 443 38 2004 2 474 31 2005 3 508 34 2006 4 541 33
解：采用最小二乘法，代入相关公式得
y ˆ a n
所求方程为：
t
3636 404 9
ˆ b
ty t
t 2

2092 34.87 60
ˆ 404 34.87t y
ˆ2007 578.35 例1的点估计： y
ˆ) (y y
t 1 t t n 2
Sy
nm
2
计算结果为：（572.66，581.78）
第二节 指数曲线
指数曲线
第二节 指数曲线
指数曲线模型差分计算表
时序(t) 1 2 3 4

yt aebt
aeb ae2b ae3b ae4b

一阶差比率（ yt y ） t 1 —
eb eb eb

t-1 t
ae(t 1)b aetb
eb eb
——为折扣系数，0
1
1、越近期的数据权重越大，越远期数据权重越小； 2、折扣程度视 值大小而异：
越接近0，折扣程度越大； 越接近1，折扣程度越小；
折扣最小平方和法
折扣最小平方和法的参数估计：
ˆt ) 2 min : Q n t ( yt y
t 1 n n
趋势外推法的假设条件：
(1)假设事物发展过程没有 跳跃式变化，即事物的发展变 化是渐进型的。
(2)假设所研究系统的结构、
功能等基本保持不变，即假定
根据过去资料建立的趋势外推
模型能适合未来，能代表未来 趋势变化的情况。
基本思想
内容提要
第一节 直线模型预测法 第二节 指数曲线预测模型
第三节 修正指数曲线预测模型
第四节 龚伯兹曲线预测模型 第五节 罗吉斯曲线预测模型
第一节 直线趋势模型
ˆt a bt 直线预测模型为： y
式中：a代表当t=0时的预测值。
直线预测模型的特点是：一阶差分为常数b。
ˆt y ˆt y ˆt 1 b y
直线预测模型中参数a、b的求法可采用“最小二乘法”或 “折扣最小平方和法”。
第 五 章 趋势外推预测方法
趋势外推预测原理
当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，
且无明显的季节波动时，若能找到一条合适的函数
曲线反映这种变化趋势，就可用时间t为自变量， 时序数值y为因变量建立趋势模型
y＝f(t)
如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在上式 中赋予变量t 在未来时刻的一个具体数值，可以得 到相应时刻的时间序列未来值。这就是趋势外推法。