同一平面内的两条直线有几种位置关系

1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.


b

a

⑴
b a

⑵
b
⑶
a

巩固：
2. 两条异面直线指： (
)
A. 空间中不相交的两条直线； B. 不在同一平面内的两条直线； C. 不同在任一平面内的两条直线； D. 分别在两个不同平面内的两条直线； E. 空间没有公共点的两条直线； F. 既不相交，又不平行的两条直线.
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
按是否共面分
相交直线 同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无 公 共 点 异面直线
2.异面直线的画法
b
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托. 如图：
平行，那么这两个角相等或互补 ”．那么空间中这一结论是
否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
D1
C1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角。
b a′ ？ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上
H
E
思想方法:空间问 题转化为平面问题 D
A
G F
C B
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1
1）直线AD1与B1C所成的夹角 9 0°A1
C1 B1
D
2）与棱BB1垂直的棱有：
相交：A1B1、 AB、 B1C1、 BC、 A 异面： A1D1、AD、D1C1、 DC、 D1
A1
相交垂直
垂直
异面垂直
D
A
C B
Ａ
·Ｆ
D
Ｂ
Ｅ·
·Ｇ
C
填空： 1、空间两条不重合的直线的位置关系有__平__行____、 _相__交_____、 ____异__面__三种。
C1 B1
C B
练习:
判断对错： 1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )
4、过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。( )
5、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定
与另一条直线垂直。
∵ EH是△ABD的中位线 ∴EH ∥BD且EH = BD 同理，FG ∥BD且FG = BD
∴EH ∥FG且EH =FG
∴EFGH是一个平行四边形
A
H
E
D G
B
F
C
解题思想： 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题 ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
A1 D
B1 C
A
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
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1、平行关系的传递性
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边
形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连
结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。
证明： 连结BD
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
那么这两个角相等或互补．
作业：
❖ 练习:空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD 的中点，若BD=AC=2,EF=1，求直线EF与直 线AC所成的角。
a
a
(1)

A
a
b

(2)
b

(3)
探究： 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AF, BM , ED , DN这四条线段所在直线是异面直线的有 对?
答:共有三对
E
D A
N(M) F
C B
D EA
N CM
D
B F
练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
同一平面内的两条直线有几种位置关系？
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线 （无公共点）
问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两直线一定在同 一平面内吗？
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
判断异面直线的方法： 1)定义 2)既不平行也不相交
D1 A1
C1 B1ຫໍສະໝຸດ D AC B练习 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
D A
C1 答案：
B1 C
D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1
B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固：
( )
课堂练习
如图,已知长方体 ABCD A1B1 C1D1 中，AB = 2 3 ,
AD = 2 3 , AA1 2
(1)求BC 和 A1C1 所成的角是多少度?
(2)求AA1 和 BC1所成的角是多少度?
D1
C1
A1
2 2 3D
B1
C
A
23
B
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6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符 号
设a，b，c为直线
语 言
a∥b
a∥c
c∥b
———平行线的a传递性
b c
a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c
这个公理表明：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互 相平行．
作用：判断两条直线是否平行的依据
在平面内, “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别