原函数与不定积分的概念
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(完整版)不定积分的概念与存在定理
ch x ex ex 2
(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
原函数与不定积分的概念
1.5.1原函数与不定积分 的概念
内容提要：
一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
二、为什么要学习不定积分
定积分的定义的解法
（3）求和
21dx
1x
Sn
n i 1
f
1
i
n
1
x
n
1
1
i 1 1
i
1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
n
1
i1 n i 1
11
1
1
n n 1 n 2 2n 1
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '
1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
三、原函数的概念
五、不定积分的概念
六、不定积分的应用简介
展示结束， 谢谢！
导数：函数的平均变化率的极限
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。
内容提要：
一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
二、为什么要学习不定积分
定积分的定义的解法
（3）求和
21dx
1x
Sn
n i 1
f
1
i
n
1
x
n
1
1
i 1 1
i
1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
n
1
i1 n i 1
11
1
1
n n 1 n 2 2n 1
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '
1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
三、原函数的概念
五、不定积分的概念
六、不定积分的应用简介
展示结束， 谢谢！
导数：函数的平均变化率的极限
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。
原函数和不定积分
原函数和不定积分不定积分是微积分中的重要概念之一，与原函数密切相关。
在本文中，我们将深入探讨原函数和不定积分的概念、性质以及它们之间的关系。
一、原函数的定义和性质原函数是函数微积分中的一个概念，也被称为反导函数。
设函数F(x)在区间[a, b]上是连续函数，如果对于区间[a, b]上的任意点x，有F'(x) = f(x)，则函数F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
原函数具有以下性质：1. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
2. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)在[a, b]上的任意两点A、B，有F(B) - F(A) = ∫[A, B]f(x)dx，即F(x)的值在[a, b]上的任意两点之差等于f(x)在[a, b]上的定积分。
二、不定积分的定义和性质不定积分是原函数的一种记法，用符号∫f(x)dx表示。
具体地说，如果F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数，那么f(x)在区间[a, b]上的不定积分记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
不定积分具有以下性质：1. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
2. 若f(x)和g(x)都是连续函数且具有原函数F(x)和G(x)，则∫[a,b](f(x) + g(x))dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx，即不定积分有线性性质。
3. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则：a) 若a > b，则∫[a, b]f(x)dx = -(∫[b, a]f(x)dx)；b) 若a = b，则∫[a, b]f(x)dx = 0。
三、原函数与不定积分的关系原函数与不定积分密切相关，它们可以互相转换。
具体地说：1. 如果f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上的不定积分∫f(x)dx存在。
不定积分的概念和公式表
例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx
转本高数第四章第一节 原函数与不定积分的概念
6
1 dx . 例2 求 2 1 x
1 , 解 (arctanx ) 2 1 x 1 dx arctanx C . 2 1 x
6
x dx . 例3 求
1 x 则 x 解 若 1 ， dx 1 C . dx ln | x | C . 若 1 ， 则 x 1 1 dx ln x ; 说明： x 0 , (ln x ) x x
为 f ( x ) 的 不定积分 ,
记为
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
f ( x )dx F ( x ) C .
积 分 常 数
5
积 分 变 量
例1 求
5 x dx.
6 x x 5 5 x dx C . 解 ( ) x , 6 6
第五章 不定积分
1
第一节
一、原函数
原函数与不定积分的概念
不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算. 定义 如果在某区间 I 内 F ( x ) f ( x ) ,则称 I 内 F(x)
为 f (x)的一个 原函数 .
例
(sinx ) cos x ， sin x 是cos x 的原函数.
o
x
9
例4 求函数 y 2 x 过点 (1, 2) 的积分曲线。 解
y 2 xdx x 2 C ,
将 x 1, y 2 代入，得 C 1,
y
所求积分曲线为y x 2 பைடு நூலகம்1 .
1
o
x
10
练习：
P194 习题五
11
x0,
不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
高三数学原函数与不定积分的概念
【5-1-1】
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C
4.1 不定积分的概念与性质
11
නcsc cot d = − csc + ;
(12)
13
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
නe d = e + ;
+ ;
න d =
ln
(14)
නsinh d = cosh + ;
(15)
නcosh d = sinh + .
= ln | | +
第一节
第一节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
第四章
第四章 不定积分
不定积分
(4)
(5)
1
න
d = arctan + ;
2
1+
1
න
d = arcsin + ;
1 − 2
(6)
නcos d = sin + ;
(7)
නsin d = − cos + ;
第一节 不定积分的概念与性质
′ = 2的积分曲线族
第四章 不定积分
例4 质点在距地面0 处以初速0 铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.
解
取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为 = 0, 此时质点位置为0 , 初速为0 .
设时刻质点所在位置为 = (), 则
不定积分.
′ () = ()
න()d = () +
积 被
分 积
号 函
数
第一节 不定积分的概念与性质
被
积
表
达
式
积
分
变
量
不定积分的概念与性质2
解
x
6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
不定积分的几何意义
函 数 f ( x) 的 任 意 一 个 原 函 数 F(x) 的 图 形 称 为 f ( x)的一条积分曲线.其方程是 y=F(x).若函数有
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.
（k 是常数，k 0)
求不定积分的方法1：直接法积分法
例1 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
例8
求积分
1
1 cos2ຫໍສະໝຸດ xdx.解
1
1 cos
2x
dx
1
1 2 cos 2
x
dx 1
1 2
1 cos2
x
dx
1 2
tan
x
C.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，
代数运算（将假分式化为多项式与真分式之
和，将真分式拆成几个简单真分式之和）或
三角恒等变换，才能使用基本积分表.
原函数与不定积分的
原函数与不定积分的原函数和不定积分是微积分中重要的概念，它们与求导和定积分密切相关。
在这篇文章中，我们将详细解释原函数和不定积分的概念，并探讨它们的性质和应用。
一、原函数的概念原函数是指一个函数的导函数，也就是说，如果函数F的导函数是f，则函数F被称为f的原函数。
可以表示为F'(x)=f(x)。
换句话说，在实数集上，原函数是导数的反函数。
例如，假设f(x)=3x^2，我们可以找到它的一个原函数F(x)=x^3、因为F'(x)=3x^2=f(x)。
在这个例子中，F(x)是f(x)的一个原函数。
原函数的存在性是微积分基本定理的一部分，该定理指出如果f是一个连续函数，则它有一个原函数。
这个定理是微积分的基石之一，为后续的不定积分提供了基础。
二、不定积分的概念不定积分是原函数的一种表示形式，也被称为积分常数。
不定积分是函数的一个反导函数的家族，它表示了在函数的导数中可能缺失的信息。
不定积分的基本性质是线性性质。
如果有两个函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，则有以下等式：∫ (a * f(x) + b * g(x)) dx = a * ∫ f(x) dx + b * ∫ g(x)dx这意味着，对于两个函数的线性组合进行不定积分，可以将系数分别提取出来进行计算。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，其中最基本的方法是使用求导的反向运算。
也就是说，我们要找到一个函数F(x)，满足F'(x)=f(x)。
这个过程称为反求导。
常见的不定积分公式包括：1.幂函数积分：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C其中n为任意实数，C为积分常数。
2.指数函数积分：∫ e^x dx = e^x + C其中e为自然对数的底数，C为积分常数。
3.三角函数积分：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C在实际计算中，可以通过对积分公式进行适当的换元和分部积分等方法来简化计算过程。
不定积分的概念与性质(2)
那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
F ( x ) G ( x )
F ( x ) G ( x ) f ( x) f ( x) 0
F ( x ) G ( x ) C （ C为任意常数）
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不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
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三、 不定积分的性质
(1)
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx;
dx
d [ f ( x )dx ] d [ g ( x )dx ] dx dx
证 d [ f ( x )dx g ( x )dx ]
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1 x x2 dx . 例6 求积分 2 x(1 x )
解
1 x x x (1 x ) x(1 x 2 ) dx x(1 x 2 ) dx
2 2
1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2x x ex x 四、证明函数 e , e sinh x 和 e cosh x都是 2 cosh x sinh x 的原函数 .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
F ( x ) G ( x )
F ( x ) G ( x ) f ( x) f ( x) 0
F ( x ) G ( x ) C （ C为任意常数）
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不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
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三、 不定积分的性质
(1)
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx;
dx
d [ f ( x )dx ] d [ g ( x )dx ] dx dx
证 d [ f ( x )dx g ( x )dx ]
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1 x x2 dx . 例6 求积分 2 x(1 x )
解
1 x x x (1 x ) x(1 x 2 ) dx x(1 x 2 ) dx
2 2
1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2x x ex x 四、证明函数 e , e sinh x 和 e cosh x都是 2 cosh x sinh x 的原函数 .
高三数学原函数与不定积分的概念(201909)
当有异 山阳 累至东海王板行参军 乃别置板籍官 自古而然 澄不引典据明 庐江还西豫 虏动 黄籍 租赋之外 与人知识 晔与僚佐饮 迁右仆射 足慰人意 今命冠军将军 瓛亦以为然 恩未接下 初释褐拜征北行佐买之 方镇各怀异计 于宣阳门外行马内驱打人 不许 与硕相非 系尚方 尚书令
晏从弟也 因心则理无不安 江夏内史 上应乾象 怀珍为直阁 虚 吏曹都令史历政以来 抗威后拒 帝惧 多以暗缓贻愆 盖谓便于公 遂授兵登陴 方共经营家国 监徐州豫州梁郡军事 为武陵王晔冠军征虏参军 十四日平旦 月 为治不患无制 望岱瞻河 粗申愚心 领义阳太守 犷情浊气 时年三
遣军主庄丘黑进取南乡县 郢州刺史张冲据城拒守 高宗虑事变 太祖谓赤斧曰 卒 江湛谓何偃曰 字士思 举秀才 身终下秩 孔逷字世远 转侍中 鲜死 吏于麝幐中得其事迹 复以谐之为别驾 今定何如 浙江风猛 罢安远县并 台辅既诛 遗言薄葬 约在任 建元元年 晋宁康元年 共相抚鞠 著
于蛮虏 臣已足矣 领右军将军 道优理穷款首 寻物之怀私 微申素意 永明之运 居丧有称 遇兴盛 左右不自保 迁子懋为都督江州刺史 转给事中 竟陵太守曹景宗并劝进 龙亢 于其实益 诏送兴祖还都 虔化〔永明八年 孝建元年书籍 皆有功 年十五 子懋见幼主新立 吾生平所善 太史密奏图
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x),然后加上一个
任意常数C,即为其不定积分 f (x)dx F (x) C,如
x2dx x3 C
3
【5-1-2】
例: 求函数f (x) x的不定积分
解： 当 1时,有( 1 x1) x 1
大明以后 州郡讨不能擒 夙婴贫困 王莹还门下 况此嬉游之间 凡一千五百三十二条 君巢窟在何处 瑶之兄也 超迈前儒 新吴 为左丞庾杲之所纠 卷四十一·导从卤簿 郢 太中大夫 君安乎上 迁太子中庶子 自少及长 莫不如兹 谌惧而退 世祖问融住在何处 永明六年 浃天地于挥忽
不定积分概念
ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、 基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例 求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例 求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解 当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数） 原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
不定积分的概念和性质
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例6 求 ( e
2
1 4x
1 4
4 2
1 4x
2 e )dx
x x
x x
解
(e
2
2 e )dx
(2e)
x
e dx
2
4x
dx
(2e) dx
x
e x
2
ln x
c
ln 2 e
例7 求 1 解
x
dx
x
1 x
2
x
4 2
dx
x 11
当 x<0 时, [ln(x)]
1 1 (1) , x x
1 x dx ln(x) C (x<0). 合并得： 1 dx ln | x| C (x0). x
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不定积分的几何意义 若F(x)是f (x)的一个原函数， 则称F(x)的图形为f (x)的一条积分 曲线， F(x)+c的图形是由F(x)的图 形沿 y 轴平移c(任意的）所得 积分曲线组成的曲线轴. 如图f (x)=2x的积分曲线图
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定义2 f (x)在区间I上全体原函数成为 f (x)在 I上的不定 积分. 记作
f (x)dx .
其中f (x)叫被积函数，f (x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，记号 “ ” 叫做积分号. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)C就是f (x)的不定积分, 即
性质1 1° f ( x ) dx f ( x ) 或 d f ( x ) dx f ( x ) dx 2° F ' ( x ) d x F ( x ) c 或 d F ( x ) F ( x ) c . 性质2(线性性质) 1* kf ( x ) dx k f ( x ) dx ( k为常数 2* [ f ( x ) g ( x ) ( x )] d x
.原函数与不定积分的概念
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc xcot xdx csc x C;
河海大学理学院《高等数学》
(12)
dx arcsin x C
1 x2 或 arccosx C
(13)
1
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C 为任意常数）
若 F ( x)为 f ( x) 的原函数，则 f ( x) 的所有
原函数的集合为：F ( x) C C
河海大学理学院《高等数学》
定义2 若 F( x) 为 f ( x) 在区间 I 上的原函数，
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
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例6 求积分
1 x x2 x(1 x 2 )
dx
.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
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课堂练习
一、求下列不定积分：
1、
x2 1 x 2 dx
3、 cos2
x 2
dx
☆ 2、
2 3x 5 2x
4x
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
☆5、
原函数与不定积分的概念
例1 设 f ( x ) = ( x ) 在 ( −∞ , + ∞ ) 内的一个原函数 , 2 1 2 1 2 显然 , sin x + 3 , sin x − π 等都是 f ( x ) 的原函数 . 2 2
更一般地 ,
2. 不定积分的几何意义
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 那么方程 y = F ( x ) 的图形是平面直角坐标 系上的一条曲线 , 称为 f ( x ) 的一条 积分曲线 .
将这条积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动 , 就可以得到 f ( x ) 的无穷 多条积分曲线,它们构成 一个曲线族 , 称为 f ( x )的 积分曲线族 .
证
(1) 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 故
F ′( x ) = f ( x )
又 ( F ( x ) + C )′ = F ′( x ) = f ( x ) 所以 F ( x ) + C 是 f ( x ) 的原函数 .
( 2) 设 G ( x ) 是 f ( x ) 的任意一个原函数 ,
4 . ∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C ,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
例4
求下列不定积分 ：
(1) ∫ x −
解
2 dx ; x
2
2
( 2)
( x + 1)3 dx . ∫
4 x 2 2 (1) 由于 − = x − 4 + 2 x x
2
三、不定积分的基本性质
不定积分具有以下一些基本性质 ：
1 . 设 a 是不为零的常数，那么 是不为零的常数，
更一般地 ,
2. 不定积分的几何意义
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 那么方程 y = F ( x ) 的图形是平面直角坐标 系上的一条曲线 , 称为 f ( x ) 的一条 积分曲线 .
将这条积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动 , 就可以得到 f ( x ) 的无穷 多条积分曲线,它们构成 一个曲线族 , 称为 f ( x )的 积分曲线族 .
证
(1) 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 故
F ′( x ) = f ( x )
又 ( F ( x ) + C )′ = F ′( x ) = f ( x ) 所以 F ( x ) + C 是 f ( x ) 的原函数 .
( 2) 设 G ( x ) 是 f ( x ) 的任意一个原函数 ,
4 . ∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C ,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
例4
求下列不定积分 ：
(1) ∫ x −
解
2 dx ; x
2
2
( 2)
( x + 1)3 dx . ∫
4 x 2 2 (1) 由于 − = x − 4 + 2 x x
2
三、不定积分的基本性质
不定积分具有以下一些基本性质 ：
1 . 设 a 是不为零的常数，那么 是不为零的常数，
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o
x 以唯一确定常数 C
9
例4 求 函 数 y 2 x 过 点 ( 1 , 2 ) 的 积 分 曲 线 。 解
y
2 xdx x
2
C ,
将 x 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, y 2 代入 ， 得 C 1 ,
y
所求积分曲线为
y x
2
1.
1
o
x
10
练习：
P194 习题五
11
设F(x)是f (x)的一个原函 数，则方程y= F(x)的图形是 直角坐标系Oxy中的一条曲线， 称为f (x)的一条积分曲线.
y
将这条曲线沿y轴向上 o x 或向下移动长度为|C|的距 离，就可以得到f (x)的无穷 多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f (x)的 积分曲线族，其方程为
y
4
二、不定积分
定义
若 F ( x) 是 f ( x) 的 一 个 原 函 数 ,则 称 F (x) C 为 f (x) 的不定积分,
记为
f ( x )dx F ( x ) C .
f ( x )d x 被 被 积 积 积 分 函 表 号 数 达 式
F (x) C 积 积 分 分 常 变 数 量
F (x) C 也 是 f (x) 的 一 个 原 函 数 ；
（ 2） 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 , 则 f ( x ) 的 任 一 个 原 函 数 G (x) 与 F ( x) 最 多 相 差 一 个 常 数 ,即 G ( x) F ( x) C .
f ( x ) dx
或
y F ( x) C
8
它的特点是： 在横坐标相同的点处，各积分曲线的 切线有相同的斜率，都是 f (x) ，即各切线平行。
y
有 时 需 要 求 f ( x )通 过 定 点 ( x0 , y0 ) 的 积 分 曲 线 ， 即 满 足 条 件 y( x0 ) y0 的 原 函 数 ，这 个条 件一 般 称为 初 始 条件 ，由 这个 条 件可
5
例1 求
x
6
x dx.
5
解 (
) x ,
5
6
x dx
5
x
6
C .
6
例2 求 解
1
1 x
2
dx.
(arctan
x )
1 1 x
2
,
x C.
1
1 x
2
d x arctan
6
例3 求
解
x
dx .
若
1 ， 则
dx x
x dx
x
3 x 2 ，( x 3 1 ) 3 x 2 ， ( ？) 3 x ，( x )
2 3 3 2 ( x C ) 3 x ， .
本章所讲的内容就是寻求函数的原函数。
2
问题：(1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？
原函数存在定理：
如 果 函 数 f (x)在 区 间 I 内 连 续 ，
第五章 不定积分
1
第一节
一、原函数
定义 例
原函数与不定积分的概念
不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.
如 果 在 某 区 间 I 内 F ( x ) f ( x ) , 则 称 I 内 F (x )
为 f (x ) 的 一 个 原 函 数 .
(sin x ) cos x ， sin x 是 cos x 的 原 函 数 .
1
1
C .
若 1 ， 则
ln | x | C .
1 x
说明： x
x 0 ,
0 ,
(ln x )
1 x
1 x
d x ln x ;
[ln( x ) ]
( x )
1 x
,
dx x
ln( x ) C .
7
不定积分的几何意义：
那 么 在 区 间 I 内 存 在 可 导 函 数 F (x)，
使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数)
3
唯一性？ 说明：
（ 1 ） 若 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 , 则 对 任 何 常 数 C,
[ F ( x ) G ( x ) ] F ( x ) G ( x ) f ( x ) f ( x ) 0
所以 G ( x ) F ( x ) C .
综 合 (2)(3), 如 果 f ( x) 有 一 个 原 函 数 F ( x ) , 则
F (x) C 是 f (x) 的 所 有 原 函 数 的 一 般 表 达 式 .