直线与点及两直线的相对位置

C点 在 直线AB上
D点 不在 直线AB上
d b
c
B
CD
A
ac
b d
H
判断点K是否在线段AB上？
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上，
故点K不在AB上。
a
k●
b
另一判断法是
应用定比定理
因ak:kb≠ ak:kb 故点K不在AB上。
3.3两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
3.3.1 两直线平行
b′
d′
a′ c′
X
O
b
a
d
c
投影特性：
空间两直线平行，则其各同面投影 必相互平行，反之亦然。
判断图中两条直线是否平行。
① b
d
对于一般位置直
a
X
c
a
c
线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
bd
结论：AB//CD
判断图中两条直线是否平行。
②
c
c
对于投影面平行线，只
a
a 有两个同面投影互相平行，
d b
b d 空间直线不一定平行。若用
c
两个投影判断，其中应包括
b
反映实长的投影。
da
如何判断
求出侧面投影
结论:AB与CD不平行
3.3.2 两直线相交
交点是两直线 的共有点
V c
a XA
a
b k
C d
B
KD
d
k c
b H
c k a
b d
e' c'
d' b'
a'
a
b
分析： D
C
F f'
A
B
投影特点：
• AB为正平线，
则 a’b’ ⊥b’c’。
f
• 矩形对边平行， 则投影仍然平行。
d
c
e
作图步骤： • 过b'作直线与a'b'垂直，并交e'f'于c'； • 用几何作图法作平行四边形，补全矩形 ABCD的两面投影。
3.5 直角三角形法
• 方法是：以线段在某一投影面上的投
2. 当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该 投影面上的投影一般不反映实形。
3. 当两直线中有一直线平行于某投影面时， 如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然 是直角。-----------------直角投影定理
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
证明：
B
C A
b
a
c
影长为一直角边，两端点与这个投影
面的距离差为另一直角边形成的直角 实长
三角形。其斜边是线段的实长，斜边
与投影长的夹角就是该直线与这个投 影面的倾角。
β
Z
X
b'
V
Z
实
a'
长
a'' γ
0 a
b''
YW
a'
bα
ABiblioteka Baidu
a''
b'
βγ
W
实长 YH
X
Bo
α
0
在正面投影上求线段实长与倾角β
a B
b''
在水平投影上求线段实长与倾角α
2.求作AB、CD交叉线的公垂线。 空间分析：
正平线
a'b' n'
d'
V 投影
D S
c' s'
b n
c
s
C N B
A
1）因为AB为正垂线，
a
d
所以SN必为正平线。
2） 由于SN为正平线，根据
直角投影定理则SNCD
必有s'n'c'd'
直角投影定理---(解题演示)
3试.已补知全矩此形矩A形B的CD投的影顶。点C在直线EEF上，
b 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。 d “交点”是两直线上
的一 对重影点的投影，
1、2 是Ｖ面的重影点， 3、4是H面的重影点。
用其可帮助判断两直线 的空间位置。
结论：AB与CD两直线不相交
3.4 直角投影定理
两直线的夹角，其投影有下列三种情况： 1. 当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影反映实形。
a'
x
a' b'
a
o
b
方法三：求出ab的长
A
B
b'
B
a'
以AB两点的Z坐标差为 x
一直角边的直角三角形 中，另一直角边为AB水 平投影ab的长。
即：12=ab
a
ΔZAB
1
2
o
b
例2 已知直线AB的α=30° 1.分析
求作AB的正面b投′ 影。
要求得a′b′，其实 就是求b′；要求得b′
也就是想办法找到A、
H
设直角边BC//H面 因BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以BC⊥ABba平面
又因BC∥bc 故bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即∠abc为直角
结论:直线在H面上 的投影互相垂直
例4：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正面
b
投影反映直角。
c●
a
d
b
直角投影定理---(解题演示)
b
在侧面投影上求线段实长与倾角γ
Y
直角三角形求线段实长及其 与投影面的倾角中的三个三角形
设所求线段为AB
在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜
边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。
AB线段实长
ΔZAB ΔYAB
AB线段实长
α
ab的长
a ' b '的长 ΔXAB
B两点的Z坐标差或者
求出a′b′的长。
a′ x
a
2.作图
b0
1）作ΔabB0,使∠α= 30° ∠A的对边为ΔZAB
o 2）过a′作直线平行于
Ox轴，与过b而垂直于
b
ox轴的直线交于一点b0
3）以b0为圆心以ΔZAB为
半径画圆弧，交bb0的延
长线于点b′
30°
4）用直线连接a′b′ 即为所求。
B0
Δ ZAB
例3 已知CD∩AB=K，CD∥H， 求CD的正面投影。
a′
c′
k′
b′ x
a
d′ o
20 68
k
d
c b
求k′同前。 由于CD∥H所 以
c′d′∥ox轴。
直角投影定理---(解题演示)
1.求A点到CD的真实距离。
a'
d'
zC-zD
关键步骤分析: 设A点到CD的距离为AS
必有AS⊥CD ∵ CD为正平线 ∴ a’s’ ⊥ c’d’ 由此可求出AS的两面投影。
s' c'
csd a AS
作图步骤： 1）过A作直线ASCD； （此时AS为一般位置直线） 2）应用直角三角形法求
AS的实长；
3.2.点与直线的相对位置 判别方法：
若点在直线上, 则点的投影必在 V
直线的同面投影上。即具有从属性。
若点在直线上，则点将线段的同 a
面投影分割成与空间直线相同的比例。 即具有定比性： AC/CB=ac/cb= a‘c ’/ c‘b’
若点的投影有一个不在直线的同名
投影上， 则该点必不在此直线上。
a
d
ck
b
判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相 交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
3.3.3 两直线交叉 AB与CD两直线相交吗
a c
1(2
)
3 ●
●
●4
c a
2
●
●
●
1
3(4 )
d
投影特性：
AB线段实长
γ
a '' b ''的长
例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。
A
B
b'
根据已知条件，
a'
要求得ab，其方法一 是求得A、B两点的Y
x
坐标差(ΔYAB ) ；方 法二是求得ab的长。
此题有两解(多解
时一般只画一解）
a
o
b
方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。
A
B
b'
解法二 此题有两解