系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置

实 验 报 告

课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号

实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分

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一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的最小实现；

3、进行状态反馈系统的极点配置；

4、研究不同配置对系统动态特性的影响。

二、实验内容

1.能控性、能观测性及系统实现

（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18

2710)(2

3

++++=

s s s a

s s G ，

当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21

1013333.06667

.10666

.6A ，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]20

1

=C ，判别系统的能控性与能观测性；

（d ）求系统18

27101

)(2

3

++++=s s s s s G 的最小实现。

2.实验内容

原系统如图1-2所示。图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。

图1-2 系统结构图

试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其

动态性能指标满足给定的要求:

(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：

σ%≤20%，ts≤1秒。

(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：

σ%≤5%，ts≤0.5秒。 状态反馈后的系统，如图1-3所示：

图1-3 状态反馈后系统结构图

分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能

指标是否满足设计要求。

三、实验环境 1、计算机1台；

2、MATLAB6.5软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如下： p

m

n

R

y R

u R

x Du

Cx y Bu Ax x

∈∈∈⎩⎨⎧+=+=

（1-1）

其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：

D B A sI C s den s num s G +-==-1

)

()

()(()(

(1-2)

式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

状态能控性判别方法分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能控性判别式为：

[

]

n

B A

AB B

Rank RankQ

n c

==-1

（1-3）

系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0

状态能观测性判别方法也分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，

状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

[

]

n

CA

CA C

Rank RankQ

T

n o

==-1

（1-4）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。 2、状态反馈极点配置

一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。极点配置有两种方法：①采用变换矩阵T ，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K 后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K ；②基于Carlay-Hamilton 理论，它指出矩阵状态矩阵A 满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式)(A Φ的值，可以推出增益矩阵K ，这种方法推出增益矩阵K 的方程式叫Ackermann 公式。

五、程序源代码 1.

>> num=[1 -1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b) Qc =

1 -10 73 0 1 -10