二重积分的概念与性质word资料6页

第九章 重积分

Chapter 9 Multiple Integrals

9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its

Properties)

一、二重积分的概念 (Double Integrals)

定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用

(1,2,)i

i n σ∆=L 表示。在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)n

i i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。这样就称f 在D 上可积，

I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by

(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。Suppose

that there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there

exists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，

no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰

n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)

性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即

((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is

((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即

(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。 Property 2 The constant factor in the integrand function can

be taken out of the double integral,

that is (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,if k is a constant.

性质 3 二重积分关于积分区域具有可加性 , 即如果D 被 分成两个区域 1D 和2D ,12D D I 的面积为 0, 则有

12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

Property 3 The double integral is additive with respect to the integration region, that is, if D is divided into two regions 1D and 2D and the area of 12D D I is 0, then 12

(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

性质 4 若对任意(,)x y D ∈，有(,)0f x y ≥，则有(,)0D f x y d σ≥⎰⎰。

Property 4 If (,)0f x y ≥ for every (,)x y D ∈,then (,)0D f x y d σ≥⎰⎰. 性质5 若对任意(,)x y D ∈, 有(,)(,)f x y g x y ≥，则(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥⎰⎰⎰⎰。

Property 5 If (,)(,)f x y g x y ≥ for every (,)x y D ∈,then

(,)(,)D

D f x y d g x y d σσ≥⎰⎰⎰⎰. 性质 6 假设 M 和 m 分别是函数 f 在D 上的最大值和最小 值 ,

则(,)D m f x y d M σσσ≤≤⎰⎰，其中σ是区域D 的面积。

Property 6 Suppose that M and m are respectively the maximum

and minimum values of function f on D , then

(,)D

m f x y d M σσσ≤≤⎰⎰,where σ is the area of D . 性质 7( 二重积分的中值定理 ) 若(,)f x y 在闭区域D 上连续 , 则在D 上至少存在一点(,)ξη使得(,)(,)D f x y d f σξησ=⎰⎰，其中σ是区域D 的面积σ Property 7 (The Mean Value Theorem for Double Integral)

If (,)f x y is continuous on the closed region D , then there exists at least a point (,)ξηin D such that (,)(,)D

f x y d f σξησ=⎰⎰, where σ is the area of D . 9.2 二重积分的计算法 (Evaluation of Double Integrals)

一、直角坐标的二重积分 (Double Integrals in Rectangular Coordinates)

定理 设(,)f x y 在xy 平面上的有界闭区域 D 上连续 ,

(1)若区域D 由a x b ≤≤和12()()g x y g x ≤≤所给出，其中12(),()g x g x 是

[,]a b 上的连续函数，则21()

()(,)(,)b g x a g x D f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰

。 (2) 若区域D 由c y d ≤≤和12()()h y x h y ≤≤所给出，其中12(),()h y h y 是[,]c d 上的连续函数，则21()

()(,)(,)d h y c h y f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰。