人教版八年级数学上册平方差公式

我们经历了由发现——猜测——证明的过程，最后得出 一个公式性的结论，我们将这个公式叫做平方差公式.
即： （a+b)(a-b) a2 b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
独立思考 归纳验证
(a b)(a b) a2 b2
(1)公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差的积. 且左边两括号内的第一项相等、
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(5) (2x+y)(y−2x). (不能)
跳一跳:
(x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4)
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4)
（ x4
y
4
)
(x4+y4)
x8 y8
(a+b)(a-b)=a2-b2
3、(b+2a )(2a-b)
4、(-4a-1)(4a-1) !!
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4 )
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
随堂练习
随堂练习
1、计算：
(1)(a+2)(a−2)；
(2)(3a +2b)(3a−2b) ;
(3)(−x+1)(−x−1) ; (4)(−4k+3)(−4k−3) .
接纠错练习
拓展练习
开放训练 应用拓展
下列各式能否用平方差公式进行计算？
⑴ (7ab 3b)(7ab 3b) (能) ⑵ (8 a)(a 8) (不能) ⑶ ( 2a 3b)( 2a 3b) (能) ⑷ ( x 3)( x 3) (不能) ⑸ (3 m)(m 3) (能)
口答下列各题：
(l)(a+b)(a+b)= ____b_2_-_a_2_ (2)(a-b)(b+a)= ____a_2_-_b_2__
3) (5a 2b)(5a 2b) (5a)2 (2b)2 25a2 4b2 错
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差
(5a 2b)(5a 2b) (2b)2 (5a)2 4b2 25a2
练习
1. 下面各式的计算对不对?如果不对,应当 怎样改正?
(1)(x+2)(x-2) = x2-2 ;
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2) = 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
例3、下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
平方差.
b
25 36x2 （2） (x 2y)(x 2y)
(1) (5+6x)(5-6x)
a
a2 b2 52 (6x)2
25 36x2
b
解：原式 x2 (2 y)2
x2 4y2
(2) (x-2y)(x+2y)
a2 b2 ax2 (2y)2
x2 4y2
例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
=(9x2－16)－(6x2+5x -6) =3x2－5x- 10
练习
（1）（3m+2n)(3m-2n） （2） (b+2a)(2a-b) （3）（-4a-1)(4a-1)
(4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(2x-3)
拓展提升
1.计算 20042 － 2003×2005; 解： 20042 － 2003×2005
(3)(-a-b)(-a+b)= ____a_2_-_b_2 (4)(a-b)(-a-b)= _____b_2_-_a_2
公式的应用
例1、用平方差公式计算下列各题
（1） (5 6x)(5 6x)
解：原式 52 (6x)2
分析：要利用平方差公式解题，
必须找到是哪两个数的和与这两
个数的差的积结果为这两个数的
1) (x 6)(x 6) x2 6 错
分析：最后结果应是两项的平方差
(x 6)(x 6) x2 62 x2 36 2) (2a2 b2)(2a2 b2) 2a4 b4 错
分析：应将 2a 2当作一个整体，用括号括起来再平方
(2a2 b2)(2a2 b2) (2a2 )2 (b2 )2 4a4 b4
= 20042 － (2004－1)(2004+1)
= 20042－ （20042－12 )
= 20042－ 20042+12 =1
2、利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16
3.化简 (x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4 )
（2）(3+2a)(－3+2a)
自
=(a)2－(3b)2
=a2－9b2 ；
（3）51×49
=(2a+3)(2a-3)
己
=(2a)2－32
我
=4 a2－9；
能
=(50+1)(50-1)
（4）(－2x2－y)(－2x2+y) 行
=502－12
=(-2x2 )2－y2
！
=2500-1
=4x4－y2.
=2499
(2) (-3a-2) (3a-2) = 9a2 -4 .
2.运用平方差公式计算.
(1) (a+3b) (a-3b);
(2) (3+2a) (-3 + 2a) ;
(3) 51×49;
(4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).
利用平方差公式计算：
相 信
（1）(a+3b)(a - 3b)
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14.2 乘法公式 （第1课时）
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想．
• 学习重点：
平方差公式．
复习：多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加。
5、(3+2a)(-3+2a)
6、(-0.3x-1)(-0.3x+1)
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
7、[x+(y+1)] [x-(y+1)] 8、(a+b+c) (a+b-c) 9、(a+b+c) (a-b+c) !
10、(x+3) (x-3) (x2+9) (x4+81)
a2 - b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
• 灰太狼开了租地公司,一天他把一边长 为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有 一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边 增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉 得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这 件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃 惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什 么吗?
特征 第二项符号相反.
(2)公式右边是这两个数的平方差；
结构 即左边括号内的第一项的平方
减去第二项的平方.
(3)公式中的 a 和 b 可以代表数，
也可以是代数式．
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
(a b)(a b) a(a b) b(a b) a2 ab ba b2 a2 b2
(a b)(a b) a2 b2
平方差公式
对于大家提出的猜想，我们一起来进行证明．
证明：(a+b)(a-b) a2 ab ab b2（多项式乘法法则） a2 b2 （合并同类项）
用式子表示为： (a + b)(a – b) = a²- b²
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公
布置作业
教科书习题14.2第1题．
逆向思维训练： 11、 25-a²= （5+a）( ) 12、n2-m2 = （ ）（ ） 13、 4x2-9y2 =( ) ( )
课堂小结
今天我们学习了什么？
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要 理解并掌握公式的结构特征.
1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积. 2) 右边是这两个数的平方差.
本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．
下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够， 怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能) (第一个数不完全一样 )
(2) (a−b)(b−a) ;
(不能)
(3) (a+2b)(2b+a); (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ;