数学奥林匹克初中训练题(1)含答案
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。
这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。
无论是追求数学事业，还是成为一名数学家，初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会，可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。
本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析，可供所有有兴趣的人参考学习。
第一套试题：平方和试题：假设我们有两个正整数 a 和 b。
如果我们写一个等式 a²+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解？解析：通过对题目的分析，我们发现 a 和 b 都是小于等于 11 的正整数，因为如果是大于 11，它们的平方数之和会大于 130。
我们可以用双重循环解决这个问题：```ans = 0for a in range(1, 12):for b in range(1, 12):if a * a + b * b == 130:ans += 1print(ans)```第二套试题：比率试题：如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量，又知道3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量，那么问：如果要将 20 个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合，让它们的重量相等，求出$x$ 的值。
解析：我们可以用比率法解决这个题目。
首先，根据第一个给出的条件，我们有：```3a = 4b```其中，$a$ 是大苹果的重量，$b$ 是小苹果的重量。
然后，根据第二个条件，我们可以得到：```3b = 2c```其中，$c$ 是中等苹果的重量。
现在我们只需要将 $a$ 和$c$ 的比率相等，即：```a / c = 20x / (20 - x)```通过简单的代数运算，我们可以得到：```60x = 80(20 - x)x = 16```因此，我们需要加入 $16$ 个大苹果。
第三套试题：平均值试题：32 个正整数的平均值为20，当其中一个数字被改变后，平均数变为 19.875。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。
初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)
初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD =S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND ＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP =S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP =S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，② AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，② BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。
全国初中数学奥林匹克竞赛试题
1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。
A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。
已知内角为150度，则外角为180-150=30度。
正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。
（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。
A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。
因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。
（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。
A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。
因此，这个数是0或1。
（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。
A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。
在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。
因此，1/2是最大的。
（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。
A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。
（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。
A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。
初中数学竞赛数学奥林匹克初中训练题(1)(含解答)
数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一、选择题:(每小题7分,共42分)1.已知33333a b c abca b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为( )(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- 3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A( ) (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么( )(A)22S CP < (B)22S CP = (C)22S CP > (D)不确定 6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有( )(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二、填空题:(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图, ∠AOB=30O, ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .B第 二 试一、(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二、(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5. (1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长. (2)若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三、(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.。
初中数学奥林匹克竞赛试卷答案0001
中数学奥林匹克竞赛试卷参考答案一、选择题1、 C解： 因为0-(0-1999)=0-0+1999=1999，所以选（C ）．2、 D解： 可用特殊值法．21是正有理数，而21<1，否定(A)．-21是负有理数，而-1<-21，否定(B)．0既不是正数，也不是负数，否定(C)．非正整数集是{…，-n ，…，-3，-2，-1，0}，其中最大元素是0，所以选(D )．3、 C解：有理数的偶次方得非负数．即可排除(A)(B)．a <0而a 的偶次方是正数，正数的奇次方是正数，所以排除(D)，因此应选(D)．事实上a <0，a 的奇次方是负数，负数的奇次方仍是负数，所以选(C)．4、 C解： 最小的自然数是0，所以a =0．-1是最大的负整数，故b =-1．0是绝对值最小的有理数，c =0．因此，a -b+c =0- (-1)+0=1．选 (C)．5、 B解：将每个数都加1，大小次序不变．98119897,19981119981997=+-=+-． 99119998,19991119991998=+-=+-． ∵9819911999119991<<<． ∴989799981998199719991998-<-<-<-．6、 A解： 用特殊值法．取a =0．易知C 、D 均不成立．而当a = -1，b =0，c =1时，(B)不成立，因此选(A)．事实上，a <b ，对任意整数c ，都有a+c <b+c ．7、 C解： 因为|a+b+1|≥0，（a-b+1）2≥0 且|a+b +1|与（a -b +1）2互为相反数，所以只能是|a+b+1|=（a -b+1）2=0∴ ⎩⎨⎧=+-=++0101b a b a 即⎩⎨⎧=-=01b a 所以选(C)．8、 C解： 根据相反数的定义，19991的相反数是19991-．选(C)．9、 A解： 由绝对值定义|x -a|≥0，|y -b|≥0，|z -c |≥0．而已知|x -a|+|y -b|+|z -c|=0，则当且仅当|x -a|=0，|y -b|=０，|z -c|=0，时成立，所以x=a 且y=b 且z=c ，已知a ，b ，c 均为负数，则x ，y ，z 均为负数，因此xyz 是负数．选（A ）．10、 C解： ∵|a |2=1，∴a =±1，于是当a =1时，1=a a ．当a =-1时，||a a =±1．选(C)．11、 C解： 易知(A)、(B)、(D)均正确．而21-是负有理数，其相反数是21，并不是正整数． 所以(C)不正确．12、 C 解：19991的相反数是-19991．选(C)．13、 D解：由题意将A ，B ，C ，D 标在数轴上，易知c <d <b <a ．选(D)．→14、C解： 若有理数q >1，则q 2>q ，若有理数0<q <1，则q 2<q ．若有理数为0，则02=0，若有理数为1，则12=1．若有理数q <0，而q 2>0，则q 2>q ．所以，一个有理数的平方比原数大，那么这个有理数是负数或大于1的正数．选(C)．15、 B解：2000)1(-=1．选（B ）．16、 C 解：因为200011+a 的分子不等于0，所以其值不可能为0．选（C ）．17、 A 解：11999199819981999)11998(1998)11999(1999199819981998199919991999-=⨯⨯-=+--=+⨯-⨯-=a ， 同理可求得 1-==c b ．∴ 1)1)(1)(1(-=---=abc ，选（A ）．18、 C解：若a =0，则a --=0，排除（A ），（B ）． 若0≠a ，a --0≠，排除（D ）．事实上对任意a ，0≥-a ，∴a --0≤，即a --为非正数，选（C ）．解：352)5()2(=+-=---，在数轴上对应的是点P ．选（C ）．20、 A 解：49914991+-----1331358-=--=，其负倒数为314313=．选(A)．21、 B解：原式=101)9891()8781()7671()6561()5451(43-++++++++++ 65.51.075.05=-+= 故选（B ）．22、 C解：原式=14436)12()12(36)34()34(94--=-⨯---=⨯-⨯⨯--⨯-180-=所以答案是(C)23、 B解：原式=7)7()7(71⨯-⨯-⨯=49 选(B)24、 B 解：722=3.142857, 113355=3.14159292, 85268=3.1529, 及3.1416中，最小的一个是113355，选（B ）． 25、 D解：由图可见，10,01<<<<<-c b a ，∴11<+<-a c ，又101=-<-b c ，∵1001<-<⇒<<-a a ，∴11>-a ， 因此，a 1-，a -，bc -，a c +中最大的一个是a1-． 选（D ）．26、 B 解：由图可见，b a b a >><,0,00,0,02,0<->->-<+∴a b b a a b b a ，选（B ）．27、 D解：设□的数是x ，则x -=+++50001998199619941992．即：x -=50007980．∴298079805000-=-=x ．选（D ）．28、 B解：原式=93)3(31)3(=⨯-⨯⨯-．(B)解：1994,5,52,31--的负倒数分别是19941,51,25,3--．最大为25，所以52-的负倒数最大． 选(B)30、 C 解：125123412413111=--=--=n ，所以512=n ．(C)31、 B解：□=199419931993]199419931993[]199411994[199419941-=+-=--=-，选（B ）32、 C 解：91119100)310()313(22==-=-33、 A 解：原式=)95.345.1(61818718651897-⨯-⨯+⨯-⨯ 211571514)5.2(671514=++-=-⨯-+-=34、 C解：从绝对值看：001.100101.101.10101.11.1>>>>．所以最大的数是-1.00135、 D解：原式=7162864134)1(3)]1(3[33333==+=----选(D)36、 C解：当a >0，或a <0时,所给式小于0，当a=0时所给式为0,故该数是非正数所以选（C ）．37、 D解：由题意可知，不等式的两边都乘以所以又知,,;b a b c a c c b c a ->->-<--1，得a b c b -<-，综上所述，选（D ）．38、 A解：设A =19951995，B =19961996，C =19971997，D =19981998，则有B =A +10001，C =B +10001，D =C +10001，2210001)10001)(10001(-=-+B B B ，即：C ⨯A =B 2-100012<B 2．由于B 、C 均为正数，不等式两边同除以B C ⨯，得到DC C B C B B A <<同理，,． 因此，选（A ）．39、 D解：∵1997>0，可以确定在有理数中,答案是：（D ）解：绝对值的两边平方后，得，a 2+2ab +b 2<a 2-2ab +b 2，化简后得ab <0，选（C ）．41、 C解：|b |<3，就是-3<b <3，只有当a ≤-3时，a <b 恒成立，选（C ）．42、 A解：由图可知a = -8，b = -4，c =5，d=8，代入上式可得（A ）正确．43、 D解：注意到|3+5|＝|3|＋|5|，|-3＋(-5)|＝|-3|＋|－5|，又|0＋3|＝|0|＋|3|，所以选（D ）．44、 D解：比如两个正数分别是5、3，另一个正数是1，由131535++>，不能选（A ），由151353++<，不能选（B ）,由此也的排除（C ），所以选（D ）．45、 C解：当a =0，b=-1时，满足a >b ，但a 2<b 2，排除（A ）．当a =0，b = -1时，满足|a |>b ，但a 2<b 2，排除（B ）．当a = -2，b = -2时，满足a ，但a 2=b 2，排除（D ），所以选（C ）．46、 B 解：由于，，其中最大值为，，，的负倒数分别是351997113521997,1,53,21----所以选（B ）．47、 D解：在数轴上分为三段，在小于或等于0的一段上的有理数都不满足题设条件，大于或等于1的有理数也都不满足题设条件，只有大于0小于1的有理数才满足平方后的值比原数小，选（D ）．48、 B 解：正分数b a c +与a c 相比，a c b a c <+，而0>bc ，则b c a c b a c +<+，故选（B ）49、 B解：当a=-1，b=2时，ab<0排除（A ）、（C ）．当a =3，b = -2时，ab<0，排除(D)，应选（B ）．50、 B 解：20011-的负倒数是2001，选（B ）．51、 D解：8)2(3=-，（-3）2=9， 923232≠⨯，所以选（D ）．解：由|m |>m 知m 为非正数，所以选（D ）．53、 A解：设a 和b ，满足题目条件，首先一定有a <b ，如若不然，当b a ≥时， +-=≠2)(0b a ab0)()())((22=---=--b a b a b a a b ，矛盾．∴一定有a <b ，此时ab b a a b a b b a =-=--+-22)(2||)()(，2)(b a -≥0，且0≠ab ，则ab 肯定不小于0即(A )一定不成立，所以选(A )．54、 C解：-2001的相反数是2001，则（C ）．55、 C解：-132的负数是53，选（C ）．56、 C解：696000的科学记数法是51096.6⨯，选（C ）．57、A解：珠穆拉玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高8848-(-155)＝9003米．58、 A解：（Ａ）．当21=a 时，21212<）（，排除(B)．当2=a 时， 221<，所以排除(C )，当21-=a 时，排除(D )．所以选(A)．59、 C解：根据题意，对任意的正整数n ， a a n -=，如果0<a ，则0>-a ，所以a 不能是负数;如果0>a ，则0<-a ，所以a 不能是正数，只能0=a ．当0=a 时，0的相反数是0，成立00=n ，选(C )．60、 C解：1998)1(-= +1，排除（A ），由于最小的非负数是0，排除（B ），绝对值最小的整数也是0，排除（D ）．显然应选（C ）．事实上+1是最小的正整数．解：6076015121060)15()12()10()41()51()61(-=+--=---+-=---+-=a ，所以a 的相反数607，选（D ）．62、 D解：33b a +的意义是a 立方与b 立方之和．3b a +的意义是a 与b 立方之和．b a +3的意义是a 立方与b 之和．3)(b a +的意义是a 与b 的和的立方．选（D ）．63、 A解： 由3-4=-1，知命题①不真;23ab 与25ab 是同类项，但数字系数不同，③不真;由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为 180，但它们并不互为邻补角，命题④不真，易知，两个整式的和仍是整式是真命题，所以只有1个真命题，选（A ）．64、 D 解：当63,21==b a 时，126=ab ，这个值大于21，大于2，也大于12，所以选（D ）．65、 B 解：20001-的相反数是20001．选（B ）．66、 B解：7-的绝对值是它的相反数7．选（B ）．67、 C解：)]}19991998(1999[1998{1999----)]1(1999[19981999--+-=20001+=2001=． 选（C ）．68、 D 解：241313241137⨯=-， 137********⨯=-，137********⨯-=-，137132121⨯=-，其实， 要比 较13241⨯，13151⨯，13111⨯，1321⨯的大小，易知，13241⨯最小，与137的差的绝对值最小的数是2413．选（D ）．69、 A解：1)1()2()1()1()1()1()1(-=---=-÷-⨯---+-．选（A ）．解：当0<a 时． ∴a a a -22-=-=--=aa a a a ．选（D ）．71、 D 解：由于532a a a =⋅，所以（A ）不正确． 又933)(x x =，所以（B ）不正确．2733333=⨯⨯=，所以（C ）不正确．bc c b 933=⨯，D 是正确的．选（D ）．72、 B解：若5个数中有4个为0， 设它们是a ，0，0，0，0，其中a ≠0，则当a <0时，a +0+0+0<0， 不合题意．当a >0时，0+0+0+0<a ， 也不合题意．∴不可能有4个数为0．若5个数中有3个数0， 设它们分别是a ，b ，0，0，0，其中a ≠0，b ≠0，则当a >b 时， b +0+0+0<a ， 不合题意．当a =b 时， b +0+0+0=a ， 不合题意．当a <b 时， a +0+0+0<b ， 不合题意．∴不可能有3个数为0．若5个数中有2个数为0，设这5个数为3，4，5，0，0，则符合要求． 故选（B ）．73、 D解：a 在数轴上原点右方，0>a ;b 在原点左方，0<b ．当1=a 时，b ab =显然应排除（A ）、（B ）．当2,1-==b a 时，01<-=+b a ，排除（C ）．所以应选（D ）．事实上，当0,0<>b a 时，0>-b a 总成立．74、 C解：从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔．因而，每个间隔行进32.156.6=÷（秒）．而从地1根标杆到第10根标杆共有9个间隔．所以行进9个间隔共用88.11932.1=⨯（秒）．选择（C ）．75、 C 解：125123464131)21()41()31()21(-=-+-=-+-=-+---，其绝对值为125．选(C) 76、 B解：=------)4)(4)(4)(4)(4)(4(6)4(-．77、 C解：令a =2，b = -2，满足2+(-2)=0，由此可以排除（A ）、（B ）、（D ）．选（C ）．78、 D解：令a =0，马上可以排除（A ）、（B ）、（C ）， 选（D ）．79、B 解：4.175.285.3-=-=a ， 4995.110231534-=-=b ， 49846.1325487-=-=c 51704.1176267-=-=d ∴d ˆ＜b ＜c ＜a 选（Ｂ）．80、Ｄ解：∵1，２，３，４，５，４，３，２，８个数字为一个循环．∴1990÷８＝248余6，则一个循环中第六个数为4．选D ．81、C解：假如2×(-3)=-6,则排除A ，B 若2×3=6，则排除D ．∴选Ｃ82、A解：a+b =0，a =-b ．n n n n n b b b a 22222)1()(=⋅-=-= 选A ．83、A解：因为0也是自然数．选A ．84、B解：若31=a ，21-=b 则2a ＜2b ，排除Ｄ．a 1＞b 1排除Ａ．a ＞b 排除Ｃ．选Ｂ 85、Ｂ解：若2-=a ，则a 7＜a 排除Ａ，a +7＜７排除Ｃ，a ＜７排除Ｄ．选Ｂ．86、Ｃ解：-13578+0.2468=-13578.7532，-13579+24681=-13578.99． -13579×24681=-5.502，-13579÷24681=-33512972 ∴选C ． 87、B解：原式=3.1416×(7.5944-5.5944)=3.1416×2=6.2832选B ．88、B解：由四个数之和的1/4是8知四个数之和为32，第四个数=32-（-6+11+12）=15，选（B ）89、D解：12431-=-，12341-=-排除A ，B ．163-＞164-＝41-排除Ｃ．故选Ｄ． 90、B 解：由题意知，01,11>>b C A a c 但））、（排除（所以必有(B ) b 1>c 1>a1，选（B ）． 91、 B解：在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个中最大的数是-0.01，对值最大的是-15，）选（B ,15.0)15()01.0(=-⨯-92、B解：若1-=a 则0)1(2=+a 排除A ，0)1(2=+-a 排除Ｃ，012=+-a 排除Ｄ，选Ｂ．93、 C解：显然b >0，a <0，c <0，所以必有b 2>ab ，ab <0，ba 11<成立，由于ac >0，bc <0，所以ac <bc 恒不成立，选（C ）．94、 D解：m =2，n = -2，|2|>-3，但|2|<|-3|，排除（B ）．|2|<|-3|但2>-3， 排除(C )．|-2|=2，但-2≠2，排除（A ）．所以选（D ）．95、 B解：13.1<14<15.9，13.1<15<15.9，答案为-14,-15选（B ）．96、D解：∵a 1-的分子为1,∴a1-不可能为0.97、 A解：由a+1<0，知a<-1，所以-a >1，于是由小到大的顺序应是a<-1<1<-a ，选（A ）．98、 B解：由题意a=0.1，b =-0.1，c=1.234- (-123.5)>123.4>a ，所以b <a <c ， 选(B )．99、 A解：因为a +2b +3c =m =a +b +2c ，所以b +c =0，即b ，c 互为相反数， 选（A ）．100、D解：前三个数总和为3×15=45，后两个数和为2×10=20,∴五个有理数平均值为(45+20) ÷5=13． 101、 C解：原来1991个数的平均数为m ，则这1991个数总和为1991⨯m ，当m 混入以后，那1992个数之和为m m +⨯1991，其平均数是1992，即：199219921991=+⨯m m ，1992=∴m ，选(C )． 102、B 解：令1===k d c b a ，则bc ad =，dk c =于是 ()()222222c b d a c b d a --+=+-+＝k d b d k b 22222--+＝)1()1(2222k d k b -+- ＝（12-k ）（22d b -）＞０（因为k >1,b >d >0）∴2)(d a +>()c b +2即有d a +>c b +.103、 D解：数-1是最大的负整数，选（D ）．104、 D解：（A ）明显不对，a =0.1时，a 2<a 排除（B ），a 取-1时|a|-1-a>0，排除（C ），选（D ）．105、 D解：），排除（），排除（B m a A m a ,3,1,3,1-=-===)(53,5C m a 排除-=-=．所以选(D )106、 C解：经计算得答案为1995，选（C ）．107、 D解：,0,<-∴<b a b a 则a b b a -=-||所以答案是(D )108、 D解：a=-b 1，代入上面的四个答案得（D ）正确．109、 A解：观察知，乙卡片中最小的数a = -1221 甲卡片中最大的数b =-0.01，所以ba =1250， 选（A ）．110、 D解：当a =0时，显然（A ）（B ）（C ）都不正确，所以选（D ）．111、 C解：b =1>0，a =2>0，ab =2>1=b ，排除（A ），a <0，b <0，ab >0>b ，排除（B ），a =0，b <0，ab =0>0，排除（D ），选（C ）．112、 C解：由题意，||||,0,,b a b a b a >∴<< 选（C ）．113、 C解：原式=10-100-1000-10000= -11090，所以选（C ）．114、 C 解：⋅⋅⋅-=-141592.3113355，由此可见只有-3.1416 比它小，选（C ）．115、 D解：原式=)1213()432(⨯⨯⨯-= -26，选（D ）．116、 D解：由|a |=1993，得a = -1993或a =1993，a = -1993时，|a |+a =0，排除（C ），当a =1993时， |a |- (a +0.1)<0，a -|a |=0，得（A ）、（B ）不对，所以选（D ）．117、 D解：根据乘法分配律和所提供的运算法则，应选（D ）．118、 B解：提示，在负数的比较中，其绝对值越大，其值越小．所以选（B ）．119、 B解：只有（3）、（5）正确，所以不正确的有3个，所以选（B ）．120、 D解：21993=24⨯498+1，71993=74⨯498+1，所以21993的末位数字是2，71993的末位数字是7，所以两者相加后的末位数字是9，所以选（D ）．121、 B解：由题意，得：4321x x x x ++=，4312x x x x ++=，4213x x x x ++=，3214x x x x ++=则4321x x x x ++=＝３)(4321x x x x ++=，则，4321x x x x ++=＝０，然后分别减去上式，得，04321====x x x x 选（B ）．122、 C解：显然，（A ）明显错误，对（B ），由a <-b ，将-b 移至左边得，a +b <0，所以（B ）不对，对（C ）a 2-ab =a (a -b )，因为a <0，a -b <0，所以其乘积大于0，所以选C ．123、 C解：1．当a =14时，-1995-a =19 排除（A ） 2．当a =24时，-1995-a = -19 排除（B ） 3．当a = -76时，-1995-a =1 排除（D ） 因此，选（C ），事实上，对任意a ≠19，-1995-a 一定不是0．124、 B解：以特殊值a = -2代入检验，易知（-2）2=（-（-2））2、（-2）3≠（-（-2））3、（-2）2=22）（-、（-2）3= -3)2(-，所以选（B ）125、 D解：（-5）÷2-=（-5）÷2= -25= -2.5，对应的是数轴上的N 点，选（D ）．126、 A解：由于34.51，34.99，35.01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34.49不可能是真值，选（A ）127、 C解：因为b <0，所以a +b <a <a -b ，选（C ）128、 D解：原式=5.45-=-910=-191，选（D ）．129、 C解：从图中可见，a <b <c 且a <0，b <0，c <0所以a -b <0，b -c <0，c -a >0，ab >0，ac <0所以ab -ac >0， b a b a ---c b c b --+a c a c --+acab ac ab --=（-1）-（-1）+1+1=2． 选（C ）．130、 A解：因为 12344<12345<12346所以12344⨯12345<12344⨯12346<12345⨯12346 ∴12345123441⨯>12346123441⨯>12346123451⨯ 更有12345123441⨯-<12346123441⨯-<12346123451⨯- 即 R <Q <P 选（A ）．131、 D解：提示：(-1) - (-9) - (-9) - (-6)=23．选（D ）132、 C解：a 的相反数为-a ，所以a 与它的相反数得差的绝对值是｜a -（-a ）｜＝｜-2a ｜＝-2a （其中a ＜０，选（Ｃ）．133、 B解： 由图可知，a ＜０，b ＞１，所以01<a． 110<<b ，因此111<<ba ，选(B )． 134、 D 解：易知,211261216141==++所以,1121614121=+++因此删去的两个加数为 81和101，选（D ）．135、 C解：65432)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-=1-1+1-1+1=1，选择（C ）136、 D解：三个奇数之和是381，则中间那个奇数是127，这三个连续奇数是125，127，129，选（D ）137、 B解：读数应为 24+[])4.0(2.0)5.0(2.0)7.0(3.061-++-++-+ 15.024)9.0(6124-=-+= =23.85选(B )138、 C解：已知三个连续整数之和是45，则这三个连续整数是14，15，16，紧接其后的三个连续整数是17，18，19，它们之和是54，选（C ）139、 B解：因为(+3)+(+5)+(-8)=0，不是正数；(-3) - (-2) - (-2)=1，是正数；(-2) ×( -3) ×( -5)=-30，是负数；(-1996)÷(-4) ÷(-1)=-499，是负数；选（B ）．140、 D解：因为|x |＝a ，所以0≥a ，于是当0<x 时，0<-a x ，x a a x a x -=--=-∴)(当0≥x 时， a x = 0=-=-x a a x ，选（D ）141、 D 解：199611001,199511001,199610001001,199511001-=+=-=+=d c b a ∴b d c a >>>，选（D ）．。
数学奥林匹克初中训练题(含答案)
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ).(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／182.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ).(A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－93.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ).(A)2 (B)4 (C)6 (D)84.a 、b 是方程x 2+(m －5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ).(A)365 (B)245 (C)210 (D)1755.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为( ).(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点.证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz . 根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组x +y +z =3,2xy = 2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.2.B .注意到f (1)=2a +1,f (3)=12a +1,f (f (1))=a (2a +1)2+a (2a +1)+1.由f (f (1))=f (3),得 (2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5.3.C .因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解.4.D .由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175.5.C .记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 .6.B .将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6.二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, 3.73.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x=a2－b2=(a+b)(a－b)≤100,因a+b、a－b同奇偶,故a+b≥(a－b)+2.(1)若a－b=1,则a+b为奇数,且3≤a+b≤99.于是,a+b可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a－b=2,则a+b为偶数,且4≤a+b≤50.于是,a+b可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若a－b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2－b2≥a+b≥3,归入(1).若a－b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a－b)(a+b)为4的倍数,且a－b≥2,a+b≥4,故x≥8,归入(2).因此,这种x共有49+24=73个.4.168.注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a－7)2+242.如图,以AB为斜边,向△ABC一侧作直角△ABD,使BD=2a,AD=48,∠ADB=90°.在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a－7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a－7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而S△ABD=48a,S△CBD=24a,S△ACD=24(a－7),则S△ABC=S△ABD－S△CBD－S△ACD=168.第二试一、将原方程变形得(12x+5)2(12x－2)(12x+12)=660.令12x+5=t,则t2(t－7)(t+7)=660,即t4－49t2=660.解得t2=60或t2=－11(舍去).由此得t=±2 15,即有12x+5=±215.因此,原方程的根为x1,2=121525-.二、如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,∠ACD=∠ABD=∠MCN.故AC平分∠DCM.同理,BD平分∠CDM.如图,设PH⊥MC于点H,PG⊥MD于点G,PT⊥CD于点T;过点P作XY∥MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ∥CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1⊥MC于点H1,YT1⊥CD 于点T1.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP／EF=EY／EC=EZ／ED.因此,ZP∥DF.由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行,且DF平分∠MDC,故ZP是∠XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a3个,四边形a4个,……,k边形a k个(a3,a4,…,a k为非负整数).记这些多边形的内角和为S角,于是,S角=a3×π+a4×2π+…+a k(k－2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×2π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S角=20π+16π+2π=38π.于是,a3+2a4+…+(k－2)a k=38.①记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边,则S边=3a3+4a4+…+ka k.另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S边=2×45+20=110.于是,3a3+4a4+…+ka k=110.②②－①得2(a3+a4+…+a k)=72.故a3+a4+…+a k=36.③①－③得a4+2a5+3a6+…+(k－3)a k=2.因所有a i∈N,故a6=a7=…=a k=0,a4+2a5=2.所以,或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析
初中一年级奥赛训练题(一)及解析一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C)A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是( D)A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是( C)A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有( B)A．2个B．3个C．4个D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是( B)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。
7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D)A．a大于－a B．a小于－aC．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D)A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。
同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。
两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
初中数学奥林匹克竞赛题及答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：互为相反数。
b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。
两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2式x2x，与。
，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：错误。
C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，13/ 1初中数学奥林匹克竞赛题及答案。
个．选C0共4－1，6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：。
，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
初二数学奥林匹克竞赛题及答案
初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。
(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD＝1，BC ＝3，DC DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .①求证：△ABN ≌△ADN ；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C 与点P 重合时，Rt △ABC 停止移动.设运动时间为x 秒，△QAC 的面积为y .（1）如图1，当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B 1C 1的位置时，请你在网PDCBAO NM图1图2格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO 交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。
1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试+加试试题答案及评分标准
2024年广东省中学生数学奥林匹克竞赛答案及评分标准一试一、填空题1已知m ,a ,b ,c 为正整数,且a log m 2+b log m 3+c log m 5=2024,求m +a +b +c 的最小值是.【答案】 30662已知x >0,y >0,-log 3y +3x=y -2x =15⋅32x -1y,则y +x =【答案】 11 .3若A 、 B 为锐角且sin B ⋅sin A +B =sin A ,则tan A 的最大值为.【答案】434数列a n 满足:对任意n ≥2,a n =2024a n -1-n . 如果该数列的每一项都是正数,则a 1的最小值为【答案】40472023240474092529 5投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第i 次投中得分为4-i 分(i =1,2,3),若三次均未投中则得分为0分. 假设甲同学的投篮的命中率为p 0<p <1 ,若甲参加投篮测试的投篮次数的均值为 1.56，则p = ，甲投篮测试的得分的均值为. 【答案】 2.376 .6设x ,y 均为非零实数,且满足x sin π12+y cos π12x cos π12-y sin π12=tanπ3 . 在△ABC 中,若tan C =y x,则sin3A +3sin2B 的最大值为.【答案】327已知虚数z 满足z +2z∈R ,则z 2+2z -3 的最大值为【答案】1033 .8n 是正整数, 3n -1没有12以上的质因子,则所有满足条件的n 和是【答案】 129已知四面体PABC ,点A 1在△PBC 内,满足△A 1BP ,△A 1CP ,△A 1BC 的面积之比为3:2:1,G 在线段AA 1上,直线PG 交平面ABC 于点M ,且AG GA 1=PGGM ,则四面体PABC 与A 1AMB的体积之比为.【答案】 1210如图,在一个10×10的方格表中填入0和1,使得任意一个3×3的方格表中都恰有一个1 ,则满足要求的填法数共有种【答案】 261二、解答题1已知抛物线C :y 2=18x +27的焦点与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 2重合, C 的准线经过E 的左顶点.(1)求E 的方程;(2)已知点F 1为E 的左焦点, P 为E 上的一点(异于左、右顶点), △PF 1F 2外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r ,求R ⋅r 的取值范围.【解析】(1) 易知 C 的顶点坐标为 -32,0 ,p 2=184=92,所以 C 的焦点坐标为 -32+92,0 ,即 3,0 ,C 的准线方程为 x =-32-92=-6,所以 a =6,c =3,b 2=a 2-c 2=27 ,所以 E 的方程为 E :x 236+y 227=1;4 分(2)设 ∠F 1PF 2=θ,PF 1=a 1,PF 2=a 2,由正弦定理可得 2R =F 1F 2sin θ=2csin θ,即R =c sin θ=3sin θ,则 cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2,即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=54cos θ+1, -8 分S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=27sin θcos θ+1=27sin θ2cos θ2cos 2θ2=27tanθ2又 S △PF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =9r , -12 分所以 27tanθ2=9r ,即 r =3tan θ2,所以 R ⋅r =9tan θ2sin θ=92cos 2θ2,又因为当 P 在短轴的端点时, θ 最大,此时, θ=60° , -16 分所以 θ∈0,π3 ,即 θ2∈0,π6 ,所以 cos θ2∈32,1 ,故 R ⋅r =92cos 2θ2∈92,6. -20 分2已知方程ln x +x 1-m =0,m ∈R 有两个不同的零点,分别记为a ,b ,且a <b .(1)求实数m 的取值范围;(2)若不等式t +1<ln a +t ln b 恒成立,求正数t 的取值范围.【解析】(1)设 f x =ln x +x 1-m ,m ∈R 的定义域为 0,+∞ ,f x =1x+1-m ,当 m ≤1 时,因 f x >0,故函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增,不存在两个零点,不合题意;当 m >1 时,设 g x =f x =1x +1-m ,g x =-1x2<0 ,故 g x 在 0,+∞ 上单调递减,即 f x =1x+1-m 在 0,+∞ 上单调递减,由 f x =0,得 x =1m -1,当 0<x <1m -1时, f x >0;当1m -1<x 时, f x <0;所以当 x =1m -1 时, f x 取得最大值.即 f 1m -1=ln 1m -1+1m -11-m =-ln m -1 -1,-⋯⋯-4 分若函数 f x 有两个不同的零点,则 -ln m -1 -1>0即 ln m -1 <-1=ln1e ,解得 m <1+1e,又 m >1当 x 趋近于 0+ 时, 1-m x 趋近于 0, ln x 趋近于负无穷, f x 趋近于负无穷;当 x 趋近于正无穷时, f x 趋近于负无穷.所以若函数 f x 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围 1<m <1+1e.---8 分(2)因为 f x =ln x +x 1-m m ∈R 有两个不同的零点 a ,b ,由题知 0<a <b ,且 ln a +a -am =0ln b +b -bm =0 ,相减得到:m -1=ln a -ln b a -b由 t +1<ln a +t ln b 恒成立,所以 t +1<am -a +t mb -b 恒成立,即 t +1<a +tb m -1 恒成立,---12 分所以 t +1<a +tb ln a -ln b a -b 恒成立,即 t +1<ab+t a b-1ln a b 恒成立.设 k =ab ,则 k ∈0,1 时,不等式 t +1<t +k ln k k -1恒成立,因为 t +k >0,k -1<0 进而得 ln k -t +1 k -1t +k<0 在 k ∈0,1 时恒成立,设 h k =ln k -t +1 k -1t +k, k ∈0,1 ,注意到 h 1 =0 .则 h k =1k -t +1 t +k -k -1 t +k2 ,即 hk =1k -t +1 2t +k2=t 2+k 2-t 2k -kk t +k 2=k -1 k -t 2 k t +k 2, -16 分又因为 k ∈0,1 且 t >0,则k -1k t +k 2<0 ,所以当 t ≥1 时, k -t 2<0,即 h k >0,故 h k 在 k ∈0,1 单调递增,而 k =1 时 ln k -t +1k -1t +k=0,所以 h k <0 恒成立,故 t ≥1 满足题意.当 0<t <1 时,若 k ∈t 2,1 ,由 h k <0,则 h k 在 k ∈t 2,1 单调递减,所以当 k ∈t 2,1 时 h k >0,与题设不符.综上所述,正数 t 的取值范围 t ≥1. ---20 分加试1设有限集A ,B ,C ⊆R ,A ,B ,C 为有限集,对任意x ∈R ,定义:N A ,B ,C x =a ,b ,c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C ,a +b +c =x ∣ . 证明以下结论:(1)存在x ∈R ,使得0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C(2)x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥A2⋅B 2⋅C 2A +B +C 其中:A 表示集合A 中的元素个数, A +B +C ={a +b +c ∣a ∈A ,b ∈B ,c ∈C } .【解析】(1)x ∈A +B +CN A ,B ,C x =x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C ,a +b +c =x1=a ,b ,c ∈A ×B ×C1=A ⋅B ⋅C由平均值原理,存在 x ∈A +B +C ,使得 0<N A ,B ,C x ≤A ⋅B ⋅C A +B +C. .20 分(2)由柯西不等式x ∈A +B +CN A ,B ,C x 2≥X ∈A +B +C N A ,B ,C x 2⋅1A +B +C .. .30 分=1A +B +C x ∈A +B +C a ,b ,c ∈A ×B ×C a +b +c =x12=1A +B +Ca ,b ,c ∈A ×B ×C12=A2⋅B 2⋅C 2A +B +C. .40 分2如图, AB 为圆O 的一条弦(AB <3R ,R 为圆O 的半径), C 为优弧AB的中点, M 为弦AB 的中点. 点D ,E ,N 分别在BC ,CA和劣弧AB上,满足BD=CE,且AD ,BE ,CN 三线共点于F . 延长CN 至G ,使GN =FN . 求证:∠FMB =∠GMB .【解析一】如图,延长 CM 交圆 O 于 T ,以 T 为圆心, TA 为半径作圆,与 CN 延长线交于 G ∵C 为优弧 AB 中点, ∴B 在圆 T 上,且 CA 与 CB 是圆 T 的切线∵∠AFB =AB+ED2=∠ACB +∠CAB =180°-12∠ATB∴F 在圆 T 上. .10 分∵CT 是圆 O 的直径,所以 ∠TNF =90°∴N 为 FG 的中点, G 与 G 重叠∴AFBG 四点共圆. . .20 分(实际上点出圆心 T 的目的是为了证明 AFBG 的共圆,证明共圆之后这个圆心就再也不会 出现, 只要能够证明 AFBG 共圆无论是否点出圆心都可以获得 20 分)∵CA 与 CB 是圆 T 的切线∴△CAF ∽△CGA ,△CBF ∽△CGB∴AF ⋅BG =AG ⋅BF . .30 分由托勒密定理知, AG ⋅BF =12AB ⋅FG =BM ⋅FG ,且 ∠FBM =∠AGF ∴△BFM ∽△GFA ∴∠BMF =∠FAG同理 ∠BMG =∠FAG ∴BM 平分 ∠FMG .40 分证毕(最后导出等角后面的证明调和四边形, 都是相对平凡的步骤了, 各占 10 分)【解析二】解析二使用了调和点列的一些性质, 答案中会备注使用调和点列的地方, 请审卷 老师注意评分如图,连接 NB ,NA ,CN 交 AB 于 Q ∵C 是优弧 AB 的中点∴∠ANC =∠BNC ∵BD=EC∴∠BFN =BN+EC2=BN +BD2=DN2=∠NAF∴△BNF ∞△FNA∴NF 2=NA ⋅NB .10 分又 NC 平分 ∠ANB ,∴△QNB ∽△ANC ∴NA ⋅NB =NQ ⋅NC∴NF2=NQ⋅NC . . .20 分(每一个相似占 10 分)∵N 为 FG 中点∴NF NC =NQNF, ∴NF-NQNC-NF=NF+NQNC+NF,即FQFC=GQGC∴CFQG 成调和点列 (调和点列的性质) . .30 分(注: 有的学生可能会写成 C,Q;F,G=-1 也代表调和点列,可以给分)∵M 是 AB 中点, ∴CM⊥AB∴MQ 与 MC 分别是 ∠FMG 的内角平分线和外角平分线 (调和点列的性质) . .40 分 证毕。
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解.pptx
于点.F.又知BC=5.
/A
(1) 设△ABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为-£ .求
2
5 ED长.
⑵ 若AC = -J2AP,且DF经过△ ABC的重心G,求E, F两
点的距离，
=. （25分）已知定理："若三个大于3的庙教貞，成二满足关系式2a-\-5b = c ,贝LI a +占+二
是整数点的倍数试问：上述定理中整数推的最大可能值是峯少T并证明你的结论.
fj£,(«+ ft + f):^yr 队&异曲乂 故("+ A + c):
s o.Mifti. n + t+ r=o. 二.如图7. W •:健:浦.网抓
，'-,2,稀#；s丄况4 s乙 ix：f.
记 S jtn = Si •
■ y .1.
①
,啓 HI) _ CD 一厅=商71 =此.
TH '/si g HD+IX： Bf： 于也
值与最小值. 二. （共狷分）如图5,在厶ABC中，ZA=60：J 0,
LH分别是它的外心，内心，垂心.试比较厶 ABC 的外接圆与厶IOH的外接圆的大小，证明 你的论 断.
x+y+z = 3 三. （共25分■）求方程组f 5 % 的所有
X3+/+Z3 = 3 整数解.
6
学海无涯
参考答案：2 没购铅宅、炼习本個球笔各I件分别元寸
4.已知二汶函数y=aX2（a>V）的圏象上两点A, B的橫坐标分别为-1,丄。是坐标原点,
如SAA0B是直角三角形，则AAOB的周长为____. 第二试
—.（20分）已知实数淳&二满足不等式园乏杓+二，冋乏Z+刘|, m |a+占|,求a+占+二
初一数学奥林匹克竞赛题(含答案)
由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③
同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤
③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
所以
7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千
可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
(1)若m=1时，有 解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．
(2)若m=2时，有 因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．
(3)若m=3时，有 解之得 故p＋q=8．
8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
（1）answer
S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．
（2）answer
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．
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数学奥林匹克初中训练题(1)
第 一 试
一. 选择题.(每小题7分,共42分)
( )1.已知33333a b c abc a b c
++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:
(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-
( )3.在ΔABC 中,211a b c
=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案
( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:
(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:
(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组
二. 填空题.(每小题7分,共28分)
1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分
钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.
问再过 分钟,货车追上了客车.
2.若多项式22
28171642070P a ab b a b =-+--+,那么
P 的最小值是 .
3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若
ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .
4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .
第 二 试
一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.
二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.
(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25
S .求BD 长.
(2) 若,AC =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.
三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.。