矩阵与对角形矩阵相似的条件研究

定 理 ２ 复数域 上 ， 方 阵Ａ 的特征 多项式 ｚ 级
没 有重根 ， Ａ 可对角化 ． 则
由引理 ２可 以有 下列 结论 ：
收 稿 日期 ：０ ９１—５ ２０ —１０ ．
若 Ａ 可 对 角 化 ， 存 在 可 逆 矩 阵 ｒ 使 得 则 ， ｒ Ｔ — ｄａ （ｌ ， ， ） 又 对 任 何 多 项 式 Ａ ｉｇ ａ ，： … ，
１３ １
， ， 有 Ｔ （ Ｔ ＝ ｄａ （ （ ， ２） … ， （） －， Ａ） ｉｇ ｆ ２） ｆ（ｚ ，
分 必要 条件是 Ａ 的初等 因子 全为一 次 的． 推论 ２ 复数 域上 ｎ级方 阵 Ａ 的最小 多项式
ｆ ａ） ， （ ） 设 ，。 … ， 是 Ａ 的所 有互 不 相 同的特 ， 征 根 ， （ ） （ －ａ ） ２ … （ — ） 有 ｆ ａ ） ， 一 １ （ －２ ） — ， （
于代 数重 数．
： ｒ， 子 空 间 Ｗ ＝ ， ＝ ｉ由 ＝ ＋ ， ＋
引理 ３３ 数 域 Ｐ上 的 级 矩 阵Ａ 可对 角化 ［
的 充分 必要条 件是 Ａ的最小 多项 式是 Ｐ上互 素 的
一
＋ 。 直和 ， 是 于是 维 Ｗ ＝ 维
＋维 ， … ＋
＋ 维 Ｖ＾ 一 ｒ ＋ ｒ ＋ … 十 ＝ ｎ 从而维 Ｖ ＝ ｎ 。 １ ２ ， ＝ ， ：
等 因 子． 此 ， 究 矩 阵 与 对 角形 矩 阵 相 似 的 条 件 十 分重 要． 文 从 不 同 角 度 讨 论 了若 干 个 矩 阵 与 对 角 形 矩 阵 因 研 本
相 似 的条 件 ．
关键 词 ： 阵 相似 ； 征 向量 ； 征 多 项 式 ； 小 多 项 式 ； 变 因子 ； 等 因 子 矩 特 特 最 不 初
是 Ａ 的所有互 不相 同 的特征根 ） ．
令 ｌ ， ，Ｉ的 重 数 分 别 为 ｒ ，２ … ， ， ，２ … ． ； Ｉ １ｒ ，
是属 于特征 根． ： 【 的特征子 空 间 ， ｎ＋ｒ ＋… 则 ２
＋ ＝ ， ＝ 维 ＝
…
的充 分必 要条 件是对 每个 特征值 均有几 何重 数等
定理 ３
级矩 阵 Ａ 可对 角化 的充分 必要 条
件是 ： 维
＋维
＋ … ＋ 维
一 （ 中 ， 其
。 … ， 是 Ａ 的所有 互不 相同 的特征根 ） ， ．
证 明 必 要 性
若 Ａ可对 角化 ， 则维
…
＝ 又 由 ｒ 十 ｒ ＋ 。 ２
题． 而提 供矩 阵可对角 化 的更 多 理论依 据 ， 从 提高 判 断矩 阵 可对 角化 的操 作性． 定义 设 Ａ， Ｂ为数域 Ｐ 上 两个 ｎ级 矩阵 ， 如
基 金 项 目 ： 林 师 范 大 学 教研 项 目． 吉 作 者 简 介 ： 明 刚 （ ９ １） 男 ， 林 大 安 人 ， 林 师范 大 学 讲 师 ， 车 １ ７一 ， 吉 吉 主要 从 事 微 分 流 形 和 奇 点 理 论 研 究 ．
第 １期
车 明 刚 ： 阵与 对 角形 矩 阵 相 似 的条 件 研 究 矩
第 ２ ４卷 第 １期 ２１ Ｏ ０年 １月
甘 肃 联合 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＧａ ｓ ａ ｈ ｉｅｓｔ （ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃｓ ｏ
Ｖｏ ． ４ ＮＯ １ １２ ．
级 矩阵 Ａ 可 对 角化 的 充分 必要 条
个线性 无关 的特 征 向量 ， Ａ可对 角化 ． 故
件是 ： — Ｖ
证 明
０ ， … ｏ （ 中 ，ｚ … ， ④ 其 ，
必 要 性
引理 １１ ｎ级 矩阵 Ａ 可 对 角 化 的充 分 必要 ［ ］
条 件是 Ａ 具有 ， ｚ 个线性 无关 的特 征 向量． 引理 ２２ 数域 Ｐ上 的 ｎ级矩 阵 Ａ可 对角化 ［
中 图分 类 号 ： ５ ． ２ Ｏ１ １ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ
Ｏ 引言 及 引理
文献 Ｅ ￣３ 从特征 向量 、 １ ］ 特征 值 、 小 多项式 最
等角度 对矩 阵可对 角化 进行 了研 究 ．本 文 在此 基 础上进 行 推广 ， 从更 多 侧 面研 究 矩 阵 可对 角 化 问
果 存在 数域 尸 上 的 级 可 逆 矩 阵 ｘ， 得 Ｂ ＝ 使 Ａ 则 称 Ａ 相 似 于 Ｂ， Ａ 与对 角形 矩 阵 相 ｘ， 若 似 ， 称 Ａ可对 角化． 则
＋ｒ ： ｎ 故 维 Ｖ ｋ ， ＋ 维 ， … ＋维 。 ＋ ＝ ．
充分性
若 维
定理 ４
＋ 维 ， … ＋ 维 ，： ， Ａ有 ＋ 则
定 理 １ 数域 Ｐ上 的 ｎ级 方 阵Ａ 的 特征多项
式在 数域 Ｐ中有 ｎ个不 同 的根 ， 即有 ，个 不 同 的 ｚ
定 理 ５ 复数域 上 级方 阵 Ａ可 对角化 的充
分 必要条 件 是 Ａ的最 小多项 式没有 重根 ．
证 明 必要性
ຫໍສະໝຸດ Baidu
特征 值 ， Ａ可对 角化 ． 则
Ｊ ｎ ２ １ ａ． ０ ０
文章 编 号 ：１ ７ — ９ Ｘ（ ０ ０ ０ ・ １ ２０ ６ ２ ６ １ ２ １ ） １０ １ － ２
矩 阵与对 角形 矩 阵相 似 的条件 研 究
车 明 刚
（ 林 师 范 大 学 数 学 学 院 ， 林 四平 １ ６０ ） 吉 吉 ３０ ０
摘
要 ： 角 形矩 阵是 最 简单 的 一类 矩 阵 ， 相 似矩 阵有 相 同 的特 征 根 ， 征多 项 式 ， 征 向量 ， 小 多项 式 ， 对 而 特 特 最 初
次 因式 的乘积 ．
所 以 Ｗ — ， Ｖ — 即
充分性
④ ： … ｏ 成立 ． ｏ
１ 主要 结 论 及 证 明
由引理 １可 以有 下 列结论 ：
由 Ｖ ＝ 、， ， ④ ０ … ｏ ， 有维 ＋ ＾ 则
维 ， … ＋ 维 。 咒 故 Ａ可 对角化 ． ＋ ＝ ， 由引理 ３可 以有下列 结论 ：