异面直线距离的四种解法

异面直线距离的四种解法

问题：

高中数学第二册下（B）第51页

4.已知正方体的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。

分析：立体几何中包含点面、线面、面面和异面直线四种距离，其中点面距离是基础，异面直线距离是难点，但又常利用线面转化为点面。在教学大纲和考试大纲中，对于异面直线的距离，只要求会计算出给出的线或在坐标表示下的距离。此题恰为公垂线未知，宜采用转化的方法或坐标法，试述四种方法如下：

由课本P50知，两条异面直线的距离，等于其中一条直线（）到过另一条直线（）且与这条直线（）平行的平面的距离，可得两种转化：

一、转化为点面距离，利用三角形求解：

解：如图连结A1C1，则AC//面A1C1D连A1D,DC1,DO1过O作OE⊥O1D于E

因为：A1C1⊥B1B1D1D1

又OE⊥O1D 所以OE⊥面A1C1D

因此OE即为直线DA1与AC的距离，在Rt△OO1D在中求得OE=

3 3

二、转化为三棱锥的高，利用等体积求解。

解:如图连结A1C1,DC1,则AC//面A1C1D

因此三棱锥A-A1C1D高h即为直线DA1与AC的距离

V A-A1C1D=V C1-AA1D=1

3S△AA1D×C1D1

得h=

3 3

极易建立空间直角坐标系，运用向量代数推动十分方便

三、与异面直线均垂直求法向量，经连两点求距离

解：建立如图坐标系:

则：A（0,0,0）A1(1,0,1)

B(1,0,1) C(0,1,0 )

设DA1,AC确立的平面的向量为n=(X,Y ,Z)

则:

直线DA1与AC的距离d=

四、垂直相交求的垂线，距离公式求距离

解：设MN为DA1与AC的垂线，其中M在DA1上，N在AC上

设M(m,0,m), N(1-n,n,0)

则：MN=（1-n-m,n,-m ）, 由MN ×DA 1=0, MN ×AC=0, 得m=n=13

从而MN=(13 ,13 ,-13 ), MN =33