建立空间直角坐标系的几个 常见思路

∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０， ０，）、B1（０，2，０）、、． 设且， 由EA⊥EB1，得， 即 ，∴， 即或（舍去）．故． 由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量与的夹 角． 因，
故，即
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧 面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
例5已知两个正四棱锥P－ABCD与 Q－ABCD的高都为2，AB＝4． （1）证明：PQ⊥平面ABCD； （2）求异面直线AQ与PB所成的角； （3）求点P到平面QAD的距离．
简解：（1）略； （2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由 （1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易 得，． 所求异面直线所成的角是． （3）由（2）知，点． 设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则得 取x＝1，得．点P到平面QAD的距离． 点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直 角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第 （3）问也可用“等体积法”求距离．
（1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标 系． 设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2， ０）、 V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）． 由，得 AB⊥VA． 又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直， ∴ AB⊥平面VAD； （2）设E为DV的中点，则 ∴，，． ∴， ∴EB⊥DV． 又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．
所以，即， ∴，∴． 这时，即．
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免 了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直 角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标 系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考 考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径． 五、利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定 对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身 对称性可建立空间直角坐标系．
建立空间直角坐标系的几种常见思路
坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用 坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特 征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标 系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标 系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直 角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线 BC1与DC所成角的余弦值．
解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4， ０）， ∴，． 设与所成的角为， 则． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱 CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1 ＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴， 过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系． 由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，
∴． 故所求二面角的余弦值为． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E百度文库VC中点，正四棱锥底面边长 为2a，高为h． （1）求∠DEB的余弦值； （2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．
解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直 角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h， 有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0， 0，h）、 ∴，． ∴， 即； （2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，