第二讲 常模

为了简化运算，常使用其变形公式：
2 Σ X 2 －（Σ X） /n
s =
-------------------n －1
标准差
（X –μ） ……………………………离均差 Σ （X –μ） ……………………………离均差总和 Σ （X –μ）2 ……………………………离均差平方和
Σ （X –μ）2 —————— ……………………………总体方差σ N
1 3 9 9 15 18 21 14 10 4 3 2 1 110
1 4 13 22 37 55 76 90 100 104 107 109 110
109 333 1017 1035 1755 2142 2541 1722 1250 508 387 262 133 13194
11881 36963 114921 119025 205335 254898 307461 211806 156250 64516 49923 34322 17689 1584990
为95%个数据的散布范围
为99%个数据的散布范围
如果观察对象为正常人，则95%或99%数据的散 布范围称为正常值范围，并以此作为判断某人某项 指标是否正常的统计学依据。
标准差
正态分布曲线下面积的分布规律
样 本 数
标准差
平均数 X 68.3% X±1s 95% X±1.96s 99% X±2.58s
划分变量：性别、年龄、职业„„ 一个测验可有多个常模团体
常模团体必须具有代表性
随机取样
取样的过程必须详尽描述 常模团体的大小要适当
总体只有几十个人，全部； 总体较大时，最低不少于30～100人； 全国性总体，应有2000～3000人。
常模团体要定期更新
第二节 常模团体
第 二 讲 测 验 的 常 模
正态分布
25 人 数 20
15
人数
10 5 0
108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 身高（cm)
110名7岁男童身高的频数分布
正态分布
7岁男童身高的正态分布
人 数
108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 身高（cm)
第二节 常模团体
第 二 讲 测 验 的 常 模
一、常模团体
测验对象的全体 总体
随机 抽样
统计 处理
常模团体
实施 测验
常模分数
系列 分布
原始分数
常模
第二节 常模团体
第 二 讲 测 验 的 常 模
总体：由具有某种共同特征的人所组成的群体。 常模团体：即常模样本，是总体的一个代表性样 本。特殊情况下，可以是总体。
百分位数
频数表上计算百分位数（XP%）-百分点
n.p% －A XP% = LP + —————×Ip fp
计算步骤： 1）在频数表上计算累计频数 2）确定各百分位数所在的组段 位置秩号n.p% 所在组段及下限Lp X25% 110×25%=28 116～ X50% 110×50%=55 118～ X75% 110×75%=83 122～ X95% 110×95%=105 128～
r
= ——————
LXY
LXX
LYY
相关系数
例题
某人用自编智力量表和韦氏智力量表对14名 被试进行智力测验，智商评估结果如下：
被试 韦氏IQ 自编IQ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 93 104 87 117 95 99 98 101 108 110 122 86 105 131 65 73 58 78 59 68 65 69 69 85 90 62 73 98
（ X=119.95cm ，s=4.72cm ）
标准误
样本均数的标准差即标准误(sx),它反映抽样误差 的大小。
s sx = —— n
可信区间 （置信范围）： X±1.96sx 为95%可信区间 X±2.58sx 为99%可信区间
百分位数
中位数：将一组观察值从小到大按顺序排列，位次居 中的观察值就是中位数。因此，全部观察值中，大于 和小于中位数的观察值的个数相等。 百分位数：是一种位置指标，以Px%表示。一个百分位 数Px% 将总体或样本的全部观察值分为两部分，理论 上有X%的观察值比它小，有(lOO-X)%的观察值比它大， 故百分位数是一个界值，也是分布数列的百等份分割 值。 中位数是一个特定的百分位数。 正态分布中： P50%＝M＝X
XY
6045 7592 5046 9126 5605 6732 6370 6969 7452 9350 10980 6332 7665 12838 107102
合计(∑)
相关系数
2 （∑ X ） 2 ∑ LXX= （X-X）= ∑X2- ——— n 14562 = 153584－——— = 2160 14 （∑Y） 2 LYY= ∑ （Y-Y）= ∑Y2- ——— n 10122 = 74956－——— = 1803 14 （∑X） （∑Y） （Y-Y） LXY= ∑ （X-X） = ∑XY - —————— n 1456×1012 = 107102－————— = 1854 14 LXY 1854 r = —————— = —————— = 0.94 LXX LYY 2160 1808
110名7岁男童身高（cm）资料如下
112.4 118.9 114.8 119.7 128.0 120.2 124.1 116.0 125.8 120.7 119.4 120.7 119.3 127.4 117.2 118.1 119.6 120.7 121.3 120.8 117.2 120.4 121.0 117.4 122.8 116.3 125.0 120.3 122.7 123.5 113.2 120.7 126.1 126.6 119.0 112.3 115.4 112.4 120.7 125.1 111.5 120.6 123.0 118.3 120.0 114.3 117.7 120.0 117.0 114.9 121.2 118.6 117.1 120.3 116.2 132.5 113.0 120.3 119.7 122.0 124.5 130.5 114.9 124.4 117.9 113.0 126.2 114.2 125.5 116.3 110.8 116.2 116.8 117.4 129.0 120.0 129.1 112.2 120.2 120.0 122.0 123.5 123.3 130.8 118.2 108.2 114.7 119.7 119.8 122.5 119.8 122.9 121.8 112.7 121.5 114.3 118.2 113.2 125.2 116.3 118.0 122.8 114.8 123.8 125.3 118.0 122.4 110.3 119.5 120.5
3）代入上式计算，得 X25% = 116.8 (cm) X75% = 123.2 (cm)
频数fp 15 18 14 3
前累计频数A 22 37 76 104
X50% = 120.0 (cm) X95% = 128.7 (cm)
百分位数
百分位数的应用
估计正常值范围。此方法可用于任何分布的资料 95%的正常值范围：Ｘ2.5％～Ｘ97.5％ 99%的正常值范围：Ｘ0.5％～Ｘ99.5％ Ｘ2.5％ ～Ｘ97.5％ = 111.8～130.3（cm）
集中趋势：（算术）均数、中位数、众数等 分布特征 离散趋势：极差、四分位间距、方差、标准差等
（算术）均数（X）的计算
1.根据定义计算 X1＋X2＋X3＋…Xn X= ----------------n 112.4＋117.2＋122.7＋…130.8 X= ---------------------------- =119.88（cm）
2
Σ （X –μ）2 —————— ……………………………总体标准差σ N Σ （X –X）2 —————— ……………………………样本标准差s n - 1
个体差异（异质性）与 方差的关系
标准差与方差的关系
标准差
频数表上计算标准差s
2 Σ fX 2 －（Σ fX） /Σ f s = ---------------------Σ f －1
心理测量学
第二讲
心理测验的常模
教 学 内 容
第 二 讲 测 验 的 常 模
第一节 相关的统计学知识 第二节 常模团体 第三节 常模类型 第四节 常模分数表示方法
第一节 相关统计学知识
第 二 讲 测 验 的 常 模
一、正态分布及其特征
二、标准差、标准误及其应用 三、百分位数 四、相关及相关系数
正态分布
计算步骤： 1）在频数表上计算Σ f 、Σ fX 、Σ fX2 2）代入上述公式计算标准差，得
1584990－131942÷110 s = --------------------- = 4.72（cm） 110－1
标准差
标准差的应用
X ±s 为68.3%个数据的散布范围
X±1.96s
X±2.58s
三、常模团体的取样方法
非随机抽样 1.简单随机抽样
个体编号，按照随机数字表顺序选择
随机抽样
2.系统抽样（机械抽样）
个体随机编号，等组距取样
3.分组抽样（整群抽样）
组群编号，随机取样
4.分层抽样---误差最小，最常用
将总体按变量分层，再从各层中随机抽样
第二节 常模团体
第 二 讲 测 验 的 常 模
四、常模分数与常模 （一）常模分数
请问，两个智力测验结果相关程度如何？
相关系数
解：
被试
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
韦氏IQ (X)
93 104 87 117 95 99 98 101 108 110 122 86 105 131 1456
自编IQ (Y)
65 73 58 78 59 68 65 69 69 85 90 62 73 98 1012
对测验的编制者而言，在明确总体特征和结 构的前提下，确保选定的常模团体能够代表该总 体。——代表性 对测验的使用者来说，要考虑的问题是，现 有的常模团体哪一个最合适？被试者的分数应该 与哪一个常模做比较？ ——适用性
第二节 常模团体
第 二 讲 测 验 的 常 模
二、确定常模团体的注意事项
明确总体的特征
相关系数
两个变量的相关关系
Y
X Y X
－1≤R≤＋1
相关系数
相关系数r 的计算
2 （∑ X ） 2 LXX= ∑ （X-X）= ∑X2- ——— n
（X变量离均差平方和）
（∑Y） 2 LYY= ∑ （Y-Y）= ∑Y2- ——— n
2
（Y变量离均差平方和）
（∑X） （∑Y）（X与Y离均 （Y-Y） LXY= ∑ （X-X） = ∑XY - —————— 差积和） n
标准差
110名7岁男童身高实际分布与理论分布比较
X±ns
X ±s X±1.96s X±2.58s 理论分布 （% ） 68.3 95.0 99.0 身高范围 （cm） 115.23 ～124.67 110.70 ～129.20 107.77～132.13 实际 实际分布 人数 （% ） 75 104 109 68.18 94.55 99.10
原始分数：被试的反应与标准答案相比较而获得 的测验分数 常模分数：常模团体测试后，将其原始分数（粗 分）按一定规则转换出来的导wenku.baidu.com分数。
n
2.根据频数表计算 Σ fX 13194 X= ------ = ------ = 119.95（cm） 110 Σ f 3.根据正态分布的特征计算
X= X50% = Md = 120.0（cm）
标准差
（样本）标准差（s, SD）的计算
Σ （X－X） ------------n －1
2
s =
( 定义公式 )
X2
8649 10816 7569 13689 9025 9801 9604 10201 11664 12100 14884 7396 11025 17161 153584
Y2
4225 5329 3364 6084 3481 4624 4225 4761 4761 7225 8100 3844 5329 9604 74956
正态分布
身高组段
根据资料编制频数表
频数（f） 累计频数（G） f*X f*X2
组中值（X）
108～ 110～ 112～ 114～ 116～ 118～ 120～ 122～ 124～ 126～ 128～ 130～ 132～134 合计（Σ ）
109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133