第三章离散时间信号的傅里叶变换

第三章

离散时间信号的傅里叶变换

课程：数字信号处理

目录

第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)

教学目标 (3)

3.1引言 (3)

3.2傅里叶级数CFS (4)

3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)

3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)

3.3傅里叶变换CFT (7)

3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)

3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)

3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)

3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)

3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)

3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)

3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)

3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)

3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)

3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)

3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)

3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)

3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)

3.9实验 (30)

本章小结 (32)

习题 (33)

参考文献： (36)

第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标

本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。

3.1引言

一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出，一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜，信号即是那束白光。

傅里叶的两个最主要的贡献：

1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和；

2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。

根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数（Fourier Series）表示：如果输入信号为周期连续时间信号，则有连续时间傅里叶级数（continuous-time Fourier series, CTFS），如果输入信号为周期离散时间信号，则有离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier series，DTFS）。非周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶变换（Fourier transform）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuous-time Fourier transform, CTFT），离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）。

基础知识 一、周期函数

先从周期函数开始讨论。设一个函数f (t )是周期性的，周期为T ，如果有一个T >0，

f (t )=f (t +nT ),n =0,±1,±2,……

(1)

使等式成立，则称T =

2πω0

，T 为的最小正周期。

二、三角函数

时间周期的经典例子是谐振荡器，先从该系统的状态是由一个单一的正弦波的形式说起：

x a (t )=Asin(2πft +φ)

(2)

在这个表达式中，参数A 是振幅，频率是f ，相位是φ。 如果将上式采样，即：

x (n )=x a (nT s )=Asin (2πfT s n +φ)=Asin (ΩT s n +φ)

(3)

f 为模拟频率，单位Hz ，T s 为采样周期，单位秒s ，Ω=2πf ，为模拟角频率。关系表达式如下：

ω=2πfT s =2πf/f s =ΩT s =Ω/f s

(4)

三、复指数函数

欧拉公式，因为：

e j =cosx +jsinx

(5)

所以正弦信号的复数形式数学定义如下：

x (t )=e jkω0t =cos⁡(kω0t)+jsin(kω0t)

(6)

3.2 傅里叶级数CFS

3.2.1傅里叶级数CFS 定义

傅里叶的思想是，所有的周期函数都可以表示为正弦信号的加权和[8]，即：

x (t )=a 0+∑a n cos (kω0t )+b n sin(kω0t)∞k=0

(7)

a 0是常量，通常叫做直流分量（DC ）。 上式用复指数的形式可表示为：

x (t )=∑X k ∞k=−∞e

jkω0t

(8)

两边同时乘以e −jn ω0t ，并从0到T 积分，得到[8]

∫x (t )e −jnω0t dt =T

0∫∑X k ∞k=−∞e j(k−n)ω0t

T

0dt =∑X k ∞k=−∞∫e j(k−n)ω0t dt T

(9)

再看：

∫e −j(n−k)ω0t dt =∫[cos (n −k )ω0t −jsin (n −k )ω0t ]dt T

0T

(10)

这是一个周期为|T n−k |的函数[9]，当n=k 时，结果为1,，因此式（10）可以写成：