数学物理方法13 格林函数法PPT课件

(1) (Q 点电势 ) (2) ( R 点电势 )
a r0 2 a x
x a 2 ar0
a r0
x
r0
又由 (1)知
1 ＝q a r0 0 x
q
0x a r0
0 a r0
a2
ar0 r0
a r0
0
综上 ,
x
a2
ar0 r0
,
q
a r0
0
故可推测，等效点电荷的电量为 a
: M1P : r r1
球面上任意点 P 处的总电势为
1 4 r r0
a 1 r0 4
1 r r1
1 4
r
1
r1
r r
r1 r0
a r0
满足边界条件 G 球面 0 . 球内任一点的总电势为
1 4
r
1
r1
a r0
a r0
0
G ( r ; r0 )
4
1 r
r0
a 1 r0 4
(vu uv)dV vf (r )dV u (r r0)dV
T
T
T
运用格林公式得
T
(vu
uv)dV＝
(v
u n
u
v n
)dS
又
u (r r0)dV u(r0)
T
综上，得
u(r0
)
T
v(r ;
r0
)
f
(r )dV
v(r;
r0
)
u(r )
n
u(r )
v(r; r0
n
)
dS
泊松方程的基本积分公式
iii) 第二边值问题
G ( r r0 )
G
n
0
GdV ( r r0 ) dV
T
T
左边
GdV
T
G n
dS
0
左边 右边，无解 .
右边
( r r0 ) dV
1
T
物理解释：有源
边界绝热
矛盾
改造 :
G
(r
r0 )
1 VT
1
1
r : 矢径
r0
r
与
r0
r 2 2 rr 0 cos 之间的夹角，根据球面
球外，其位移向量为r1，
r0
0，处于OM
的延长线上，在
0
r1
r1
a
x
a2 r0
现考虑点电荷与等效点电荷在球面上任一点处的总电势，如图所
示，考虑P点电势.
OPM0与OM1P具有公共角POM0，且r0 : a a : r1
OP M0与OM1P相似
即
OM
0
: OP r0 : a
P
M0
r r0
r)
G(r ;
r)G(r ;
r)
dV
T
G(r;
r)
(r
r)
G(r ;
r)
(r
r)
dV
T
右边G(r;r)(rr)G(r;r)(rr)dVG(r;r)G(r;r) 左边TG(r;r)G(r;r)G(r;r)G(r;r)dV
TG(r;r)G(r;r)G(r;r)G(r;r)dS
0
G(r;r)G(r;r)0
T
T
u vdV u vdV
第一格林公式
T
T
又有
v u d S v udV v udV
T
T
(u v v u ) d S (u v v u ) dV ( u v v u ) dV
T
T
(u
v n
v u )dS n
T
(u v v u )dV
0， 0 第二类边界条件
0， 0 第三类边界条件
泊松方程 第一类边界条件
泊松方程第一边值问题
泊松方程 第二类边界条件
泊松方程第二边值问题
泊松方程 第三类边界条件
泊松方程第三边值问题
或狄里希利问题 或诺依曼问题
格林函数：点源影响数函，代表点源在一定边的界条件与初始
条件下所产生的场，道知了点源的场，就可利以用叠加的方法计算
d dr
r 2
du dr
0
(r 0)
令无穷远点处
u
C1 r
C2
u 0，则 C 2 0，故
u C1 . r
u
(r )
udV (r)dV
T
T
即
udV 1
T
而
u
T
udV
u
dS
r
dS
2 C1 r2 sindd 0 0 r r
2
0
0 C1 sindd 4C1
1 r r1
1 a 1
1
4 r r0
r0 4
r
a2 r0 2
r0
解:球的第一边值问林题函的数格为
u(r)
G(r;r0)
4
1 r r0
a r0
1
4
G(r;r0)f (r0)dV0 (r0)
T
(r0)G(nr0;r0)dS0
1 r r1 G(r;r0)
n0
dS0
(1) (2)
G(r;r)G(r;r)
五、用电像法求格林函数
P.22
P.18
假设等效点电荷电量为
q， QM
1
x， M
处电量为
0
的点电荷
0
与
M
处电量为
1
q 的等效点电荷在球面上
R ， Q 点总电势为 0，故有
4
1 (a
1
r0 )
q 4
0x
q
0
0
4 ( a r0 ) 4 0 ( 2 a x )
G
0
n
四、格林函数的对称性
以第一边值问题为例,引进G(r; r)，
又引进G(r;
GG(r(;rr;r)) r)，有
(r
0
r)
(1) (2)
(1)
G(r ;
r)
(3)
G(GrG(;rr(;r)r，;r)然 ) 后0两(r 边 r在) 区域T内积((34分)) 得
G(r;
r)G(r ;
4C1 1
C1
1
4
u 1
4r
若点源在任意点 r0，则
u(r,
r0
)
4
1 r
r0
类似，可求得二维泊方松程的点
1 r r0
三、泊松方程格林函数法
泊松方程
: u
f (r )
(r T )
第一二三类边界条件
:
u n
u
(M
)
0， 0 第一类边界条件
出任意源产生的.场
v(r;
rv0)(应 r;r满 0)表足示位于r0点的 单位强 度 的正点在源r点产生的场，即
v(r;r0) (r r0)
(1)
u f (r)
(2)
u n
u
(M)
(3)
下面的过程: 推导泊松方程u解的积分表示式，v以 及边界条件表u达.
(2)
v(r ;
r0
)
(1)
u,
再在区域T中求积分得
第十三章 格林函数法
§13.1 泊松方程的格林函数法 一、 格林公式
高斯定理 : R d S R dV
区域 T ，边界
，
u
(
r
)，
v
(
T r
) 在边界
上有连续一阶导数，在
T 中具有
连续二阶导数，则
u v d S (u v )dV
T
u vdV u vdV
第二格林公式
二、泊松方程点源场
u 0
稳定场
u f (r )
有源场
u (r r0 ) 假设点源处于坐标原点 ，即
点源场
r0
0，则有
u (r )
选取球坐标 (r , , )，显然点源产生的场与 方向无关，故 u只能是
r 的函数，即有
0，
0，方程
u
(r
)变成常微分方程
1 r2