数学建模---第四章-运输问题
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
运筹学运输问题解析
2. 典型的运输问题：
cij
a1 a2 …
am
A1
A2 … Am
B1
b1
B2
…
b2 … bn
Bn
求最小运费的运输方案
销地 产地 A1
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
Bn
c1n c2n
产量
a1
A2
… Am
a2
…
cm1 b1 b2
cm2 …
cmn bn
am
销量
销地 产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
ij
j =1, 2, …,n
xij 0
产销平衡问题为等式约束。 产销平衡问题中各产地产量之和与各销 售地点的销量之和相等。
二、运输问题数学模型的特点： 1. 运输问题一定有最优解；
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 +x12+x13 x11
x12
xij 0
x21+x22+x23 + x21 +x22 x13 +x23
min Z cij xij
i 1 j 1
2
3
x
j 1
2
3
ij
ai
bj
i=1,2
x
i 1
ij
j =1, 2, 3
xij 0
典型运输问题的数学模型
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
x
x
i 1
n
j 1 m
ij
ai
bj
i=1,2,…,m
全国大学生数学建模竞赛——运输问题(参考答案)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
数学建模--运输问题
运输问题摘要本文主要研究的是货物运输的最短路径问题，利用图论中的Floyd算法、Kruskal算法，以及整数规划的方法建立相关问题的模型，通过matlab，lingo 编程求解出最终结果。
关于问题一，是一个两客户间最短路程的问题，因此本文利用Floyd算法对其进行分析。
考虑到计算的方便性，首先，我们将两客户之间的距离输入到网络权矩阵中；然后，逐步分析出两客户间的最短距离；最后，利用Matlab软件对其进行编程求解，运行得到结果：2-3-8-9-10总路程为85公里。
关于问题二，运输公司分别要对10个客户供货，必须访问每个客户，实际上是一个旅行商问题。
首先，不考虑送货员返回提货点的情形，本文利用最小生成树问题中的Kruskal算法，结合题中所给的邻接矩阵，很快可以得到回路的最短路线：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2；然后利用问题一的Floyd算法编程，能求得从客户2到客户1（提货点）的最短路线是：2-1，路程为50公里。
即最短路线为：1-5-7-6-3-4-8-9-10-2-1。
但考虑到最小生成树法局限于顶点数较少的情形，不宜进一步推广，因此本文建立以路程最短为目标函数的整数规划模型；最后，利用LINGO软件对其进行编程求解，求解出的回路与Kruskal算法求出的回路一致。
关于问题三，是在每个客户所需固定货物量的情况下，使得行程之和最短。
这样只要找出两条尽可能短的回路，并保证每条线路客户总需求量在50个单位以内即可。
因此我们在问题二模型的基础上进行改进，以货车容量为限定条件，建立相应的规划模型并设计一个简单的寻路算法，对于模型求解出来的结果，本文利用Kruskal算法结合题中所给的邻接矩阵进行优化。
得到优化结果为：第一辆车：1-5-2-3-4-8-9-1，第二辆车：1-7-6-9-10-1，总路程为280公里。
关于问题四，在问题一的基础上我们首先用Matlab软件编程确定提货点到每个客户点间的最短路线，然后结合一些限定条件建立一个目标模型，设计一个较好的解决方案进行求解可得到一种很理想的运输方案。
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
怎样掌握运输问题的数学模型.pptx
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了 一厂一商，则需在同行或同列中填写一 个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。
OR2
8
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
B1 B2 B3 A1 8 7 3 A2 4 7 5 A3 2 4 9 销量 3 2 4
4季度正常生产 M M M 11.1 0 28
4季度加班生产 M M M 14.1 0 8
需求量
25 30 15 45 11 126
126
OR2
37
例四 结果：
生产 交货
. 生产
1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产
需求量
闲置 产量
1 2 3 4 能力
B4 产量 21
/5 9 4
64
5
OR2
9
例1初始方案（续1）
圈定C31
B1 B2 B3 B4 产量 A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5 /5 9 4 A3 /3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2
10
例1初始方案（续2）
圈定C13
B1 B2 A1 8 7
A2 4 7
A3 /3 4
OR2
21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui A1 6 3 0 3 A2 0 1 0 0 A3 0 0 6 7 vj
数学建模_线性规划_运输问题lingo程序
X15 20.00000 0.000000
X16 0.000000 5.000000
X21 0.000000 7.000000
X22 0.000000 2.000000
X23 0.000000 17.00000
X24 0.000000 6.000000
X25 10.00000 0.000000
2 0.000000 -2.000000
3 0.000000 -6.000000
4 0.000000 -5.000000
5 0.000000 -1.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 -6.000000
8 0.000000 -4.000000
9 0.000000 -7.000000
MinZ=20x11+15x12+16x13+5x14+4x15+7x16+17x21+15x22+33x23+12x24+8x25+6x26+9x31+12x32+18x33+16x34+30x35+13x36+12x41+8x42+11x43+27x44+19x45+14x46+7x52+10x53+21x54+10x55+32x56+6x64+11x65+13x66
运输点1接收点1运输点23020接收点2运输点33040接收点3运输点41020接收点4运输点520接收点540运输点6接收点6这样的方案费用最小为1620
管理运筹学04运输问题
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
9
销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
运输问题数学建模
该系数矩阵中每列只有两个元素为1，其余的都为零。
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含有一个平衡关系 式 ） ai bj 所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量为m+n-1个。
二、 表上作业法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线性规划 法中的单纯形法来解决。但是：
1. 运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表太大；
例3.1
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量不等于总
销量，这样的运输问题的数学模型
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：
m in z cij x ij
教学要求：
1 ．掌握运输问题的数学模型、系数矩阵特殊形 式 2 ．掌握用西北角法、最小元素法求初始基可行 解 3 ．掌握回路、位势法求解过程和表上作业法求 解运输问题过程
一、 运输问题及其数学模型
问题的提出:
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全国都有若干 生产基地，分别将这些物资调到各消费基地去，应如 何制定调运方案，使总的运输费用最少？
A2
数学建模运输规划问题
T3
4 --- 2 3 1
21 8 2 4
T4
32321 2
1 --- 2 6
B1
31724 1 1
142
B2
11 9 4 8 5 8 --- 1
21
B3
3 2 10 4 2 2 2 4 2
3
B4
10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
2021/10/10
2868
解：把此转运问题转化为一般运输问题： 1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和 销地；
0
100
5’
M M M M 14.0 14.3
0
40
6
M M M M M 13.5.5
0
销2量021/10/10104 75 115 160 103 150
36
80 40
------------------------3
例3 仪器公司在大连和广州有两个分厂生产同一种仪器，大连分厂 每月生产450台,广州分厂每月生产600台。公司在上海和天津有两 个销售公司负责对南京、济南、南昌、青岛四个城市的仪器供应。 因为大连距离青岛较近，公司同意大连分厂向青岛直接供货，运输 费用如下图。应该如何调运仪器，可使总运输费用最低？
0
50
2’
M 15 15.3 15.5 15.7 15.9
0
10
3
M M 13.5 13.8 14.0 14.2
0
90
3’
M M 14.5 14.8 15.0 15.2
0
20
4
M M M 13.0 13.3 13.5
0
100
4’
M M M 14.0 14.3 14.5
数学建模模版之运输问题资料
ui
vj
cij , (i,
j
)
J
，并将其填于格
N
子(i,j)的左下角(基变量格子不填)
最优判别： 如表中各非基格子(i,j)左下角全小于等于零， 则当前解为最优。
例. 由最小元素法求得的可行调运方案为：
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1
7 -8
A2
5 0
10 8 6 4 0
-7 -7
20 20
2.(TP)的特征
k
记 ek (0,,0,1, 0,,0)T Enm , (TP)的系数矩阵：
A (Pij ) E(nm)nm
① Pij=ei+em+j,rank(A)=m+n-1,从而A不是行满秩的，且A的任 何m+n-1行线性无关，故(TP)的基解中有n+m-1个基变量；
② (TP)恒有可行解和最优解
作业：2.14 ①用最小元素法产生初始调运方案
②用伏格尔法产生初始调运方案
2.6.3 产销不平衡TP问题的平衡转换
m
n
1. 供过于求： ai bj
i 1
j 1
①原始数学模型：
mn
min z
cij xij
i1 j 1
n
s.t. xij ai ,i 1,2,, m j 1
m
xij bj , j 1,2,, n
6
6
4
(2) 用伏格尔法产生初始调运方案
|
|
B1 B2 B3 产量 行差额
|
A1
5★ 1★ 8 2 10
12 2 4 4√ 5√
A2
2★ 4 3
0★
14 11
数学建模大赛-货物运输问题
数学建模大赛-货物运输问题问题重述：某港口需要将三种原材料A、B、C分别运往8个公司，运输车有三种型号：4吨、6吨、8吨。
每辆车有固定成本，每次出车也有固定成本。
运输车平均速度为60公里／小时，每日工作不超过8小时。
设计一个方案，使得耗时最少、费用最省。
方案设计：针对问题一，我们首先考虑最小化运输次数，然后根据卸载顺序和载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型。
我们采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案，并将方案分为两步：第一步是使每个车次满载并运往同一个公司；第二步是采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时为40.5007小时，费用为4685.6元的方案。
针对问题二，我们加上两个定理及其推论，设计的数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采用与问题一相同的算法，得出耗时为26.063小时，费用为4374.4元的方案。
针对问题三的第一小问，我们排除了4吨货车的使用，并仍旧采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，分为三步：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。
最后得出耗时为19.6844小时，费用为4403.2元的方案。
建立模型时，需要注意以下几个问题：目标层：在建立模型时，如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，会导致模型中变量过多，不易求解。
因此，可以将目标转化为两个阶段的求解过程。
第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。
约束层：1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，需要考虑不同方向时的载重用；(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；(4)满足各公司当日需求。
数学建模中优化模型之运输问题
A B C
d
e f 需量
70 40 80 × 40 × × 0 60 30 90 90 30 -20 -15 -65 25 0 50 20 100 60 50 × -50 × 60 50 0 20 20 70 20 × × -15 30 20 20 0 15 × 60 30 × × 90 100 20 15 0 × 90 × × × 90 90 120 120 120 运费——5550
14
4
5
2
5
7
7 9
6
8
9
13
10
6 6
u2=-2
-11
v1=10 v2=6
13
v4=0
u3=6
v3=4
单位费用变化：5－(10＋6)＝－11
对偶变量法(13)
1 6 1 8 2 5 3 7 2 5 3 3 4 u1=-4
14
4
5
2
5
7
7 9
6
8
9
13
10
6 6
v3=4
u2=-2
-11
v1=10
-3
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v3=c23
u2=－2
对偶变量法(5)
1 6 1 8 2 5 3 v1 v2=6 7 2 5 3 3 u1 4 2 7 4
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v2=c22
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11 AA11
11 LL
11 OO
11 11
11 11
11 LL
11 OO
11 OO
OO 11
11 11
11 LL
11 OO
a1
a2
M
11am
bb12
11bMn
m n
定理 4 的证明 Proof : 设 x 是 Ax = b 的任一基可行解， 其基变量为
解有目标函数值 z 0 ，对于求极小化问题，目标函数
值有下界，则必有最优解.
§1 运输问题及其数学模型
Go back
Note :
平衡运输问题有 m个变n量，
个mR 约(A 束)n m n 1
条件，规模很大。
x 1 1 x 1 2 L x 1 n x 2 1 x 2 2 L x 2 n L x m 1 x m 2 L x m n
第四章 运输问题
二、运输问 平衡运输问题必有可行解，也必有最优解. 证明
定理 2 平衡运输问题的约束方程系数矩阵 A 和增广矩 阵 A 的秩相等，且等于 m+n-1 . 即 R (A )R (A )m n 1 定理 3 平衡运输问题的约束方程系数定基矩理 可阵2行说A解明的包：含所有 note 各阶子式只取 0，1 或 -1 三个值. m+n-1个基变量.
定理 4 如果平衡运输问题中的所有产量 ai 和销量 bj 都是整数，那么，它的任一基可行解都是整数解. 证明
Go on
定理 1 的证明
Proof : 则取
m
n
设 ai bj d
i1
j1
x ij a d ib j (i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n ) 显然有 xij 0 ，
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一 种比单纯形法更简便的计算方法 —— 表上作业法， 用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计 算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法
§1 运输问题及其数学模型
§1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
x,x,L ,x i1 j1 i2 j2
im n 1 jm n 1
B 为对应的基矩阵，则
x i tj t d d e e t tB B t ( t 1 ,2 ,L ,m n 1 )
其中 Bt 是用 b 中对应的 m+n-1元素替换 B 的第t 列 元素得到的矩阵.
显然，由定理 3 及 ai 、 bj都是整数知，det Bt 是个
am
j1,2,L,n 销量 b1 b2 … bn
x ij 0 i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n
§1 运输问题及其数学模型
2、产销不平衡问题
m
n
当 ai bj
i1
j 1
m
n
当 ai bj
i1
j 1
mn
min z
cijxij
i1 j1
n
s.t.
xij ai
j1
i1,2,L,m
a i 0 , b j 0 , c i j 0 ( i 1 , 2 , L , m ; j 1 , 2 , L , n )
第四章 运输问题
设 xij 表示产地 Ai 运往销地 Bj (i=N1o,2te,…: c,ijm在;运左下输角表
j=1,2,…,n) 的运量.
m
n
xij 在右上角
1、产销平衡问题 即 ai bj
整数， det B= 1 ，因此，x i tj t ( t 1 ,2 ,L ,m n 1 )
都是整数.
b a 1a 2L a m b 1b 2L b n T
第四章 运输问题
定义闭回1 路的凡几是何能特排征列：成 x i 1 j 1 ,x i 1 j 2 ,x i 2 j 2 ,x i 2 j 3 , L ,x i s j s ,x i s j 1 （其21、、中每每i一 一1,i行 个2,L（ 顶互或 点,不is列格相）子同若都，有是闭90j回1°,互路j转2不,的L角相顶,点j同点s；），则有两个
设某种物资共有 m 个产地 A1，A2，…，Am，各 产地的产量分别是a1，a2 ，…，am；有n 个销地 B1， B2，…，Bn ，各销地的销量分别为b1，b2，…，bn .
假定从产地Ai（i =1，2，…，m）向销地Bj（j =1， 2，…，n）运输单位物资的运价是cij，问怎样调运才能 使总运费最小？
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第四章 运输问题
第四章 运输问题
运输问题（Transportation Problem，简记为TP） 是一类常见而且极其特殊的线性规划问题.它最早是从 物资调运工作中提出来的，是物流优化管理的重要的 内容之一 。 加速物资流转 降低流通费用
形顶式点的；变量集合，称为一个闭回路，其中诸变量称为 这3个、闭每回两路个的顶顶点点格.子的连线都是水平的或垂直的；
如4：、闭变回量路集中合顶点x 1 的1 ,个x 1 2 数,x 必2 2 ,为x 2 偶4 ,数x 3 4 .,x 3 1
m
xij b j
i 1
j1,2,L,n
mn
min z
cijxij
i1 j1
n
s.t.
xij ai
j1
i1,2,L,m
m
xij b j
i 1
j1,2,L,n
x ij 0 i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n x ij 0 i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n
mn
min z
cijxij
i1 j1
i1
j 1
销地 产地
B1
B2
…
Bn 产量
n
s.t.
xij ai
A1
x11
… x12
c11
c2112
x1n c1n
a1
j1
A2
i1,2,L,m
x21
… x22
c21
c22
x2n c2n
a2
m
ミミ ミ
ミ
ミ
xij b j
i 1
Am
xm1 cm1
xm2 cm2
…
xmn cmn
又
jn 1x ij jn 1a d ib j a d i jn 1 b j a i(i 1 ,2 ,L ,m )
im 1x ij im 1a d ib j b d jim 1 a i b j(j 1 ,2 ,L ,n )
所以 xij 0 ，是问题的一个可行解.
又因为 c i j 0 ( i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n )，对于任一可行