(完整版)第六讲立体几何模型化思想.ppt

(2)连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为△AOC 的重心， 得 M 为 AC 中点． 由 Q 为 PA 中点，得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM∥BC. 因为 QM∩MO＝M，QM 平面 QMO， MO 平面 QMO，BC∩PC＝C， BC 平面 PBC，PC 平面 PBC， 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO， 所以 QG∥平面 PBC.
例题一．客观题 1.（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4， 则下列结论一定正确的是（ ） A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
解：在正方体中，若 AB 所在的直线为 l2，CD 所在的直线为 l3，AE 所在的直线为 l1， 若 GD 所在的直线为 l4，此时 l1∥l4， 若 BD 所在的直线为 l4，此时 l1⊥l4， 故 l1 与 l4 的位置关系不确定， 故选：D
三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相等（即为等腰四面体），所以把它扩展为长方
体，它也外接于球，设三棱锥 A-BCD 三条棱为
，长方体的棱长为
，
则 ，
，且此长方体的面对角线的长分别为:2， ， 体对角线的长为球的直径， 2
答案为②④⑤
变式训练 1.已知正三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别是 AC,PC 的中点,
在三棱锥
中，
，且
.
①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形；
②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心；
③体积
V=
；
④外接球半径
R=
；
四、正四面体
正四面体的性质：设正四面体的棱长为 ，
① 表面积
S 表=
；
②体积
V 1 3 a2 6 a =
；
34
3
③对棱互相垂直且对棱的距离 d=
5.如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点． (1)求证：BC⊥平面 PAC；
(2)设 Q 为 PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG∥平面 PBC
证明：(1)由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PA⊥BC. 又 PA∩AC＝A，PA 平面 PAC，AC 平面 PAC， 所以 BC⊥平面 PAC.
①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；
②四面体 ABCD 每个面的面积相等；
③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小 于 180°；
④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤三棱锥 A-BCD 中，AB=2，AD＝ 球的表面积为 8π
，AC＝
则四面体 ABCD 的外接
2．（2014•新课标 I）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画 出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度 为（ ）
A．6
B．6 C．4
D．4
3.（2012·安徽文改编）若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB ＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．
所以 PA= 6 ,∴2R=PA= 6 (R 为外接球的半径) ,
∴三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 S=4πR2=4π=6π.
变式训练 2.（2014•模拟）三棱锥 P﹣ABC 中， 底面△ABC 是边长为 2 的正三角形， PA⊥底面 ABC，且 PA=2，知中底面△ABC 是边长为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC， 可得此三棱锥外接球， 即为以△ABC 为底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球 ∵△ABC 是边长为 2 的正三角形，
∴△ABC 的外接圆半径 r=
，
球心到△ABC 的外接圆圆心的距离 d=1
故球的半径 R= 故选 D
==
例题二.解答题
若 EF⊥BF,AB=2,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为
.
E,F 分别是 AC,PC 的中点,∴EF∥PA, ∵三棱锥 P-ABC 为正棱锥,∴PA⊥BC(对棱互相垂直),∴EF⊥BC, 又∵EF⊥BF,而 BF∩BC=B,∴EF⊥平面 PBC,∴PA⊥平面 PBC, ∴∠APB=∠APC=90°,结合△APB≌△BPC 可知∠BPC=90°. 以 PA,PB,PC 为从同一顶点 P 出发的正方体三条棱, 将 此三 棱锥 补成 正方 体 ,则 它们 有相 同的 外接球 , 正方体的体对角线就是外接球的直径.因为 AB=2,
④外接球半径
R=
；
⑤内切球半径
r=
.
⑥正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)
五、双垂四面体（三节棍模型）
三条棱 AB、BC、CD 两两互相垂直的四面体 ABCD， 这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，
①它的四个面都是直角三角形； ②CD⊥平面 ABC，AB⊥平面 BCD； ③相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一 节所在平面的垂线（即 BE⊥面 ACD，CF⊥面 ABC）， 此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们也把它称为“三节棍” 模型。
第六讲 立体几何模型化思想
一、长方体模型 1.长方体
中
是长方体的对角线，它有几个结论：
①体对角线长是： ②若体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为
，则
③若体的对角线与一个端点的三个面所成的角分别为
，则
④考虑四面体 即
是对棱长分别相等的四面体， ，对棱长分别是
二．正方体 ①正方体的体对角线垂直于异面的面对角线 ②11 种展开图
第一类：有四个面在一条线上，有 6 种情形，如下所示：
第二类：恰好最多有三个面在一条线上，有四种情形，如下所示： 第三类：最多有两个面在一条直线上，只有一种情形，如图 11 所示．
③.用 一 个 平 面 截 正 方 体 。 可得到三角形、矩形、正方形、五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。
三、直角四面体（“墙角”模型）
解析：如图，把四面体 ABCD 放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的 两条面对角线不一定相互垂直可知①错误；由长方体中△ABC≌△ ABD≌△ DCB≌△DCA，可知四面体 ABCD 每个面的面积相等，同时四面体 ABCD 中过 同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为 180°，故②正确， ③错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故④ 正确；