交通流理论与方法---排队论

n 1
（4）系统中顾客数的方差
1 2


（6.3）
（6.4）
（5）平均排队长度
2 q . n n 1
（6.5）
（6）非零平均排队长度
qw

1 1
d

（6.6）
1 n
（7）排队系统中的平均消耗时间
6.2.3 排队系统的主要数量指标
排队系统最重要的数量指标有三个，分别为等待时间、忙 期和队长。 1．等待时间 从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。 2．忙期 服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台助工作强度。 3．队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提 供的服务水平的一种衡量。
6.2排队理论的基本概念
• 6.2.1 “排队”与“排队系统”
“排队”单指等待服务的顾客（车辆或行人），不包括正在被服 务的顾客；而“排队系统”既包括了等待服务的顾客，又包括了正在 被服务的顾客。
• 6.2.2 排队系统的组成部分
1．输入过程 就是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。常见的有如下几种服务 过程： （1）定长输入——顾客等时距到达。 （2）泊松输入——顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指 数分布过程，这种分布最容易处理，因而应用最广泛。 （3）爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
2.M/D/1排队系统 M/D/1系统是M/G/1系统的一种特殊情形，表示泊松输入、定 长服务时间以及系统容量和顾客源均无限制的单服务台排队系 统。这里的服务时间μΞE(μ),D(μ)=0,由P-K公式可得
若记E(μ)=1/μ,则有
均为标准的M/M/1系统相应运行指标的一半，可见系统内部越 有规律越省时间 。
M/M/N系统根据顾客排队方式的不同，又可分为： 1. 单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况， 排队中头一顾客可视哪个通道有空就到那里去接服务。 系统中没有顾客的概率为
p ( 0) 1
k N k! N!1 / N k 0
N 1
（6.9）
系统中有k个顾客的概率为
图6.6 假设的到达 和离去时间定义说明图
直线部分CD和EF平行于AB两线延长 分别与PQ相交于X和Y，所以长度XY 就是第一辆汽车的延滞，同样 X Y 和 X Y 分别为后面两辆汽车的延滞， X X 和 分别为到达车辆的车头 XX 时距。
1、定时信号的连续型模型
梅(May)提出了一个连续型模型的表达式，列于图6.7。垂直轴表示到达 的累积车辆qt,水平轴表示时间t。 情况Ⅰ表示绿灯间隔内的通行能力超出绿灯+红灯时间到达数的情况。 情况Ⅱ是关于在绿灯期内驶出的车辆等于绿灯加红灯期内到达车辆的情况。 在图6.5中垂直距离ca。表示自从信号进入红灯相位后积累的车辆数目，水 平距离ab表示任何指定的车辆从到达到离去的总时间。 对于以上两种情况的公式可以从简单的几何关系推导出： t （1）显然对于任何给定周期，在绿灯开始 时间后，到达车辆等于离去车 q r t0 st0 辆： （6.44）
3．服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时 间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一 次就装载大批乘客 服务时间的分布主要有以下几种： （1）定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。 （2）负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 负指数分布。 （3）爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的 爱尔朗分布。 • 引入下列记号：令M代表泊松输入或负指数分布服务，D代表定长输入 或定长服务， EK 代表爱尔朗输入或服务。G代表任意服务时间。于是， 泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系统可以定成M/M/N。 如果不附其说明，则这种记号一般都指先到先服务、独个顾客服务的 等待制系统。
6.3.3 一般服务时间的M/G/1排队模型
1.M/G/1/排队系统 假设服务时间μ的期望E(μ)和D(μ)存在，服务强度ρ=E(μ)<1， 可以用布拉切克—辛钦（P-K）公式及里特公式求出系统运行指标： （6.15） （6.16） （6.17）
（6.18） 其中，Ls的计算公式称做P-K公式，只要知道服务时间μ的期望和方差， 不管μ是服从什么分布，都可以求出系统的运行指标。
以上情况都是假设服务机构服务率是固定的，在现实中服务机构 的服务率也可能随着车辆的排队长度而变化，可以使动态的，排队车 辆较多时服务率也就适当提高。下面将介绍这累服务率可变的单通道 车辆排队模型。
假定有单通道的随机服务模型，到达系统的车辆流是参数为λ的 泊松流，服务时间服从负指数分布，而服务率随系统的队长K变化， 记作μk ,μk可按实际取不同的值。设系统在时刻t有n辆车，我们就 称系统的状态为n，同时记系统在时刻t状态为n的概率为Pn(t)，它决 定了系统运行的特征。

系统中平均消耗的时间为
d


q


1


n

（6.13）
排队中的平均等待时间为
w


q
（6.14）
2. 多路排队多通道服务
每个通道各排一个队，只为其相应的一队顾客服务，顾客不能随 意换队，这种情况相当于有N个M/M/1系统组成的系统。其计算公 式亦由M/M/1系统的计算公式确定。 由P120的例题，可以看出M/M/N系统比N个M/M/I有优越性，因为 M/M/N系统较为灵活，排在第一位的车辆可视哪个服务台有空就 到哪个服务台，避免了各服务台忙闲不均的情形，充分发挥了他 们的服务能力，因而显得优越。
第六章排队理论及应用
组员 ：曹光辉 刁含楼 张磊
•6.1 概述
•6.2 排队论的基本概念 •6.3 排队过程分析 •6.4 交叉口延误模型 •6.5 道路的排队模型
6.1 概述
排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系统 因“需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合理 协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，亦称 “随机服务系统理论”。它将交叉口看成一个服务台， 将车流看成是受服务的对象，车辆服从先到先服务原 则。
6.3 排队过程分析
6.3.1 M/M/1系统
M/M/1系统为服从泊松输入、负指数分布服务，单个服务台的排队 系统。 由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单 通道服务”系统，见图6.1。
图6.1 单通道服务系统示意图
设顾客平均达到率为 ，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通 道接受服务后通过的平均服务率为 ，则平均服务时间为1/ 。比 率 叫做服务强度或交通强度或利用系数，可确定各种状 态的性质。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。如果 <1，并 且时间充分，每个状态都按一定的非零概率反复出现。 1时，任 何状态都是不稳定的，而排队的长度将会变得越来越长。因此，要 保持稳定状态即确保单通道排队能够消散的条件是 <1 。 （1）在系统中没有顾客的概率 p 0 1 （6.1） （2）在系统中有M个顾客的概率 P n= n 1 （6.2） （3）系统中的平均顾客数
0
令y=q/s
t0 yr / 1 y
(6.45)
（2)周期和排队之比,等于排队时间／周期长
pq r t0 / c 度： （6.46） (3)停止车辆的百分数等于停歇的车辆／每个周期的总车辆数： p q r t / q r g t / yc （6.47）
3.M/Ek/1排队系统
本系统的服务时间μ服从k阶爱尔郎分布。其实际背景是服务 机构由k个串联的服务台组成，顾客为接受服务必须经过全部k个 服务台。每个服务台的服务时间μi 均服从参数为kμ的负指数分 布，则总共服务时间 便服从爱尔朗分布，且 ，由P-K公式有
6.3.4 服务率可变的单通道车辆排队模型
③ 车辆在系统中停滞时间
（6.26）
④ 车辆在系统中排队时间 （6.27） P127对例题计算的表中的比较可以看出，该理论与M/M/1系统相 比，系统中的排队车辆数、车辆平均等待时间都降低了，大大提 高了收费站的服务水平。
6.4交叉口的延误模型
• 交叉口的问题处理分两个组成部分： • ①管制形式（停车标志，让路标志，定时信 号或动车信号） • ②控制成分（车辆或行人）
（1）系统中参数指标 ① 排队系统的平均服务强度 。由于服务率是变化的所以1/μk 也是可变的，先求平均服务时间 于是
（6.19） ② 系统中车辆的平均数 （6.20）
③ 系统中排队等待的车辆数
④ 车辆在系统中平均停滞的时间 ⑤ 车辆在系统中排队等待的时间
（6.21）
（6.22） （6.23）
（2）一种特殊的可变服务率车辆排队系统 这个排队系统的特殊在于当排队长度超过某个数(n)时，用快 速服务率μ2，反之用普通服务率μ1 。这种系统的参数指标如下 ① 系统中车辆的数Ls （6.24） ② 系统中排队等待的车辆数 （6.25）
2．排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。常见的有以下几种排队规 则： （1）损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就 自动消失，永不再来。 （2）等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排 成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情 形）和优先服务（如急救车、消防车等）等多种规则。 （3）混合制——顾客到达时，若队长小于某一定值L，就排入队 伍等候；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。
有效绿灯时间：周期中等候在入口的车 辆，假定以当量小客车为单位，以恒速通过信 号的时间。格林希尔兹等人，在研 究一队n辆停着的汽车，通过交通信号的总时 间，提出如下计算公式： 当n≥5，总时间＝14.2+2.1 (n-5)秒 要是所有车辆在饱和率s(1／2.1)时离去，前五 辆汽车须要有10.5秒，即有效绿灯时间是绿灯 信号时间减去3.7秒，虽然有效绿灯时间可以调 整适应于车辆具体运行条件，但是在大多数研 究中均假设排队等候的车辆可以利用黄灯的净 时隙。在入口上，一辆小客车到达时间和离去 时间的意义，可以参考图6.6来说明。 图中画了四辆汽车每辆的距离一时间曲线。AB 表示车辆通过没有延滞，PQ线表示停车线，有 排队时第一辆车停在那里等候。CDEF表示第一辆车 由于信号延滞的的轨迹。
（6.7）
（8）排队中的平均等待时间
1 w d
（6.8）
例题P117
6.3.2 M/M/N系统
在M/M/N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通道 服务”系统。 设 为进人多通道服务系统顾客的平均到达率，排队行列 从每个服务台接受服务后的平均输出率为 ，则每个服务的平 均服务时间为1/ 。仍记 = / ， /N则称为M/M/N 系统的服务强度或交通强度或利用系数，亦可称为饱和度。和 M／M／1相仿，当 /N<1时，系统是稳定的； /N 1时， 系统的任何状态都是不稳定的，排队长度将趋向于无穷大。
6.4.1 信号交叉口延滞模型
在估计交叉口的延滞时，交通量均可看成是由当量的若干小客车所组成。
阿尔索普（Allsop,R.E)提出应用下列符号：
c=周期时间（s）;g=有效绿灯时间（s）;r=有效红灯时（s） q=入口通道上车辆平均到达率（小客车/s） I=在一个信号周期内以当量小客车单位计的到达数方差／在一个信号周期以内以当量小客车单 位计的到达数的平均值 s=入口通道上饱和交通流量（当量小客车，veh/s）;d-入口通道上当量小客车平均延滞（s） Q0 =溢流交通量（pcu/s)；λ=g/c（即有效绿灯占周期的百分比）； y＝q/s（即，平均到达串和饱和交通量之比）； x＝qc／gs（即，每周期平均到达数与每周期最大离去数之比）。 这样 r g c和 x y ,比值x称为入口饱和度和y称为入口流率。
k . p (0), k N k! P(k ) k . p (0), k N N !N k N
（6.10）
来自百度文库
系统中的平均顾客数为
平均排队长度有
N 1 P(0) n . N! N (1 / N ) 2
q n

（6.11）
（6.12）