构造法在导数中应用2

“构造法”在导数中的应用

【新课标要求】能运用导数研究函数的单调性，通过具体的实例感受构造法在其中的应用。

【学习目标】

1. 理解导数与函数单调性之间的关系；

2. 灵活运用导数研究函数的单调性，体会构造法的应用。

【明标自学】

完成下面的激活思维的4道小题，体会构造法的特点，建构新知；

【激活思维】

1.（2019年天津模拟）设)(),(x g x f 在[]b a ,上可导，且)(')('x g x f >，则当b x a <<时，有( )

A. )()(x g x f >

B. )()(x g x f <

C.)()()()(a f x g a g x f +>+

D. )()()()(b f x g b g x f +>+

2. 若定义在R 上函数)(x f 满足,3)(,4)1('<=x f f ，则不等式13)(+>x x f 的解集为 .

3. 已知函数)(x f y =定义域为R ，且0)1(=f ，)()('x xf x f >，则不等式0)(>x xf 的解集为 .

4. 已知)(x f 为定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f >，对任意正实数a ，则下列式子成立的是( )

A.)0()(f e a f a <

B.)0()(f e a f a >

C. a e f a f )0()(<

D.a e

f a f )0()(> 探究：

1. 通过上面激活思维的4道小题，你能发现它们构造的函数依据是什么？

2. 你能根据自己的想法建构这类题的解法吗？

【数学建构】

构造法在导数中的应用

（一）函数和与差的导数逆用

1. 若知)(-)('

'x g x f 的符号，构造函数 ; 若知)0(-)('≠a a x f 的符号，构造函数 ;

（二）函数乘积的导函数逆用

2. 若知)()('x f x xf +的符号，则构造函数 ;

3. 若知)()('x f x f +的符号，则构造函数 ;

（三）函数的商的导函数逆用

4. 若知)(-)('x f x xf 的符号，则构造函数 ;

5. 若知)(-)('x f x f 的符号，则构造函数 ;

（四）观察模型建构确定函数

【合作探究】

题型一 函数的和差积商的导数逆用

例 1 （自我检测2延申）若定义在R 上函数)(x f 满足,3)(,4)1('<=x f f ，则不等式1ln 3)(ln +>x x f 的解集为 .

（自我检测3延申） 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且0)1(=f ，当0>x 时，有)()('x xf x f >恒成立，则不等式0)(>x xf 的解集为 .

（自我检测4延申1）已知)(x f 为定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f >，且1)(+x f 为奇函数，则不等式0)(<+x e x f 的解集为 .

（自我检测4延申2）已知)(x f 为定义在R 上的可导函数，且)()('x f x f >，则不等式)12()(1-<-x f x f e x 的解集为__________．

题型二 确定函数的构造

例2 已知5

15ln ,3)3ln(,2+===c e b e a ，则（ ） A. c b a >> B. a b c >> C. b c a >> D. c a b >>

变式1 若对于任意的a x x <<<210，都有

1ln ln 212112>--x x x x x x ，则a 的最大值为（ ） A. 2e

B. e

C. 1

D. 12

变式 2 对于任意实数,,21x x 当e x x <<<210时，有121221ln ln ax ax x x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围为 。

【达标查学】

1. 设)(x f 是定义在R 上的函数，其导函数为)('x f ，若1)(')(>+x f x f ，2020)0(=f ，则不等式2019)(+>x x e x f e (其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.

2.已知定义在R 上的函数)(x f y =，满足)()('x f x f <且1)0(=f ，则不等式x e x f <)(的解集为 .

3.已知定义在R 上的函数)(x f y =，满足)()('x f x f <且)2(+x f 为偶函数，1)4(=f ，则不等式x e x f <)(的解集为 .

4.（多选）若定义域为）

，（∞+0的函数)(x f 的导函数)('x f 满足01)('>+x xf ，且,1)1(=f 则下列结论成立的是（ ）

A. 0)(>e f

B.2)1

(

f

C. 0)(),,1(>∈∀x f e x

D.02)1()(),,1(<+-∈∃x f x f e x

5. （多选）设函数,)()(,ln )(x

x f x g x x x f ==给定下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 不等式0)(>x g 的解集为）（+∞,1

e

； B. 函数)(x g 在（0，e ）单调递增，在）（+∞,e 单调递减；

C. 若,1≥m 则当021>>x x 时，有

)()()(2

212221x f x f x x m ->-； D. 若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数)21,0(∈a .

【课后探究】

1. 一般地，若知)()('x nf x xf +的符号，则构造函数 ;

2. 一般地，若知)()('x nf x f +的符号，则构造函数 ;

3. 一般地，若知)(-)('x nf x xf 的符号，则构造函数 ;

4. 一般地，若知)(-)('x nf x f 的符号，则构造函数 ;