资本资产定价模型

资本资产定价模型
Andre´ F. Perold
金融领域的一个重要问题是投资风险如何影响期望收益。

资本资产定价模型（CAMP）为这个问题提供了第一个连贯的框架。

在20世纪60年代早期，CAMP理论被William Sharpe (1964), Jack Treynor(1962), John Lintner (1965a, b) 和Jan Mossin (1966)发明。

CAMP认为不是所有的风险都可能影响资产价格。

在事实上，一种风险在一个投资组合中与其他类型的投资组合时被消除，也就不成为风险了。

CAMP理论让我们知道哪种风险会影响回报。

这篇文章列出了资本资产定价模型的关键思想，陈述这些思想的逐渐演变，并讨论它们的具体应用以及在金融领域的持久重要性。

历史背景
回溯过去，可以惊讶地发现：我们在19世纪60年代以前对风险的了解无论是在理论还是实证上都知之甚少。

毕竟，股票和期权市场是在1602年东印度公司的股份在阿姆斯特丹交易时才产生的，有组织的保险市场在1700年以后才开始正常发展。

在1960年以前，保险经济在数百年内都是依靠多样化来分散风险的。

尽管实际的风险承担以及风险分散在组织良好的金融市场内已经有了比较长的历史，但是资金资产仍然是在不稳定下的决策基础相对较新、在资金市场关于风险以及回报的实证结果不太明朗的时期内发展。

关于投资者风险偏好以及不确定决策的严密理论在20世纪40到50年代才开始兴起，尤其是在von Neumann和Morgenstern (1944) 、Savage (1954)的研究之下。

投资组合理论说明了投资者如何创造投资组合来完美权衡风险与回报，该理论在20世纪50年代早期被Harry Markowitz(1952, 1959)和Roy (1952)发展。

同样值得注意的是，风险和回报的实证计量在20世纪60年代仍然是不成熟的，当有效的计算手段实现时，研究者可以收集、储存、得到市场数据来进行科学的研究。

六月证券交易所引起了Fisher和Lorie (1964)的注意，他们写道：在这里对普通股票的投资高回报率没有得到有效明确的计量。

在本研究内，Fisher和Lorie报告了自1926年以来的股票市场平均回报，但记录的并不是这些回报的标准偏差。

他们也没有记录任何特定的股权风险溢价，也就是超过无风险投资的数量——虽然，他们确实标注普通股票的回报率“大大高于具有有效数据的、更安全的替代内容”。

测量的广阔股票市场内的标准偏差在Fisher and Lorie (1968)之前没有出现在任何的学术文献中。

精心构造的股权风险溢价估计直到Ibbotson 和Sinquefield(1976)对长期回报率有了发现后才完成。

他们发现：在1926年到1974年。

在标准普尔500指数中，每年的算术平均回报是10.9%，超额回报超过美国，每年的国债回报率为8.8%。

第一个对英国股票夫人股权风险溢价的认真研究出现在Dimson和Brealey (1978)的文献中，他们估计的回报率在1919到1977年为每年9.2%。

在20世纪40年代到50年代，相较于之间的资本资产定价模型，估计预期收益的卫冕范式预先假定投资者需要的资产（或者资金成本）的回报主要取决于资产融资方式。

（比如说Bierman和Smidt, 1966）这里存在股权资金以及债务资本成本，基于债务以及股权相对数量这两者的平均权重代表了这项资产的资金成本。

债务以及股权资金的成本由这些资料的长期收益率来推断。

债务资金的成本基本被假定为所借债务的利率，股权资金的成本则由投资者希望从当前股票价格中得到的现金流决定。

一个比较流行的用来检验股票成本的估计方法为Gordon和Shapiro (1956)模型，在这个模型中，一个公司的股利在稳定的利率g上一直上升。

在这个模型中，如果一个公司每股股利为D，公司的股票价格为P，那么股票资金的成本r等于股利收益率加上股利增长率；r =D/P+g2。

从现代金融的角度上看，这个据顶资金成本的方式是错误的。

至少在一个无摩擦的世界，一个公司或者资产的价值不仅仅取决于融资的方式，就像Modigliani和Miller (1958)所说的。

这说明了股权资金的成本被资产资金成本所决定，而非其他的原因。

还有，这种从未来股利
增长率来推断股权资金成本是非常主观的。

这里没有能够预测未来现金流增长率的简单的方法，用这种方法来判断高股利增长率的公司，可能会导致股权的高成本。

确实，资金紫宸定价模型说明了资金成本以及未来现金流的增长率没有任何必要联系
在之前的CAMP模型，风险没有直接进入资金成本的计算。

适用的假设是一个债务融资的公司可能是安全的，因此被推断为有较低的资金成本。

当一个公司不能支持巨额的债务时，它是有风险的，也被认为是有高资本风险的。

这些将风险纳入贴现率的经验是完全正确的。

就像Modigliani和Miller (1958)说的：现在对于决定风险大小的因素以及在其他变量变化时的风险调整仍然没有一个合理的解释。

简而言之，在资金资产定价模型之前，回报和风险之间有怎样的关系这个问题被提出，但仍然没有答案。

为什么投资者可能有不同的风险定价
直观地说，投资者应该要求高回报率持有高风险投资。

即高风险资产的价格应该被投标到足够低，这样对资产的未来收益也高（相对于价格）。

由于这个原因，难题出现了，然而，当一项投资的风险取决于以何种方式融资。

为了说明这个问题，我们考虑一个企业家为了建立具有风险的合资公司需要筹集100万美元。

风险投资将有90%的机会失败并毫无收益，而存在10%的机会使得投资的企业在一年里价值4000万美元。

因此，一年内合资企业的预期价值是400万美元，或者说每股4美元（假设该合资企业有一百万流通股）。

案例一：如果一个的风险厌恶的人要投资100万美元，在这里投资将代表个人财富的一个重要部分。

风险投资有一个非常高的预期回报，假如说100%。

为了在100万美元投资上实现100%的预期收益，创业者将不得不向投资者出售百分之50的股权：500000股股票并以每股2元的价格出售。

案例二：如果从一个可以多样化投资的人筹集资金，那么所需的回报可能要低得多。

我们考虑投资者有1亿美元投资于具有相同回报的100家企业，概率都如案例一，但是各个企业的结果都是独立于其他企业。

在这种情况下，投资者损失巨大的百分比利率是很小的。

在这种情况下，所有企业失败的概率微乎其微。

003%（0.9^100）且多元化的投资者可能只满足于收到一定利率的预期回报，比如说，10%。

如果是这样的话企业家将需要出售更少的股份来提高相同数额的金钱，在这里27.5%（110万美元/ 400万美元），并且投资者将支付更高的每股收益3.64美元（100万美元/ 275000股）。

案例一和案例二只有在投资者多元化的程度不同；在两个案例中，单独风险和任何一个风险的预期未来值是相同的。

多元化投资者比单一投资者在每单位投资上面临的风险更少，因此他们愿意接受较低的预期回报（和支付更高的价格）。

为了确定所需的回报，投资的风险必须在其他投资者面临的风险的背景下进行观察。

CAPM是这个核心思想的直接产物。

多元化、相关性和风险
多元化降低风险的概念已有百年历史。

在第十八世纪堂吉诃德的英语翻译、桑丘·潘沙建议他的主人，“这是部分的聪明人…冒险把他所有的鸡蛋放在一个篮子里。

”据Herbison 的（2003）这句谚语“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”，实际上是用到了Torriano（1666）意大利的谚语。

然而，多元化是典型的把财富分散在相互独立的风险投资的思想，并且若持有足够数量的财富，将取消投资之间的风险（就像在新公司的例子中被假定的）。

Harry Markowitz（1952）预见了这个结果，由于经济的广泛影响，资产风险是相关的。

结果，投资者可以通过持有一个多元化投资组合来消除部分而非全部风险。

Markowitz写道：“大数定律应用于证券投资组合的推定，是不能让人接受的。

证券的收益太过相关。

多元化不能消除所有的差异。

”
Markowitz（1952）继续表明分析多样化的好处取决于相关性的机理。

资产收益率之间的相关性衡量二者波动的程度。

相关系数在[-1，1]间波动。

当相关性为1时，两种资产完全
正相关。

他们以固定的比例（加一个常数）在同一方向运动。

在这种情况下，两种资产是相互替代品。

当相关性为-1时，回报是完全负相关的，这意味着当一个资产上升时，另一个资产在一个固定的比例内（加一个常数）下降。

在这种情况下，这两种资产以确保另一个资产为目的进行行为。

当相关性为零时，知道一个资产的回报不能预测另一种资产的回报要说明个人证券收益之间的相关性如何影响投资组合风险，考虑投资两种风险资产的情况，A和B。

假设一种资产是由其回报的标准差来衡量，这对资产A和资产B来说分别是σA 和σB。

让ρ表示资产收益A、B的相关性；让x表示投资资产A的分数和y（=1-x）是投资于资产B的部分。

当资产组合中的资产回报率是完全正相关的（ρ= 1），投资组合的风险是资产的风险加权平投资组合。

投资组合的风险可以表示为
σP=xσA+yσB
更有趣的是当资产不完全相关（ρ＜1）时，投资组合风险与风险之间存在非线性关系基础资产。

在这种情况下，至少有一部分资产的风险将其他资产被抵消，所以投资组合的标准差σP总是小于σA和σB加权平均数。

因此，投资组合的风险小于基础资产的平均风险。

此外，多元化的好处将随着相关性ρ远离1 而不断增大。

这是Harry Markowitz的重要见解：1）多元化不依靠不相关的个体风险，只在不完全相关是成立；2）多元化带来的风险降低被单个的资产收益相关性所限制。

如果Markowitz重申Sancho Panza的的观点，他可能会说：在不完全相关的篮子里传播你的鸡蛋会比在完全相关的篮子中传播更安全。

表1说明了国际股票市场多样化的好处。

该表列出了世界上最大的股票市场2003年12月31日的市值，我们将把世界股票市场的组合称为表1组合，标记在表格种的WEMP。

世界证券市场投资组合的资本约30兆美元，超过95%的所有公开交易的股票——代表着美国迄今最大的比例。

表1中记录每个国家每月总回报率的标准差，日期是到2003年12月31日为止结束的十年期间，按年度数据计算表达。

假设历史标准偏差和回报的相关性是对未来的标准偏差和相关性良好的估计，我们可以使用这个数据计算出收益标准差化的WEMP回报。

假如资本权重以2003十二月为准，即每年15.3%。

如果国家的回报完全相互关联，那么WEMP的标准偏差为加权平均的资本权重，即每年19.9%。

4.6%每年的差异代表了多元化的利益，由于世界不完全相关的股票市场导致风险减少。

也如表1所示如果国家的回报是互不相关的，那么对WEMP的标准差每年只有8.4%。

减少的数量低于实际标准偏差的15.3%，这个数据是对世界股票市场份额的影响程度的衡量标准。

投资组合理论，无风险借贷和资金分离
为了得到CAPM模型，我们需要研究资产收益之间不完全的相关性如何影响投资者风险和收益之间的权衡。

而风险非线性整合（因为多样化的效果），预期收益率线性整合。

也就是说，投资组合的预期回报率只是要素资产预期收益的加权平均值。

想象一下两种资产具有相同的预期收益和相同的回报标准差。

通过将这两种资产组合在一个投资组合中，我们可以获得一个预期收益率和原先一样的投资组合，但这个投资组合的标准偏差比二者单个的标准差都要低。

多元化从而在没有牺牲预期收益的情况下，减少了风险预期回报。

一般情况下，有许多组合的资产具有相同的投资组合预期收益，但具有不同的投资组合风险；也有许多组合具有相同投资组合风险但不同投资组合的预期收益。

使用优化技术，我们可以计算出这个Markowitz 得出的“高效前沿”对于每一水平的预期回报，我们可以得出资产组合的最低风险。

或为每一个层次的风险，我们可以得出具有最高预期收益的资产组合。

效率前沿由这些最优投资组合的集合组成，每个投资者可以选择最适合自己的风险承受能力
的一种组合方式。

投资组合理论的初步发展中假定所有的资产都是有风险的。

James Tobin（1958）表明，投资者可以无风险地借到或者借出贷款，而有效前沿简化了一个重要过程。

（一个“无风险”仪器支付一个固定的真实回报，且使用免费。

美国通过通货膨胀调整的国债被称为财政部通货膨胀保值工具，或提示，短期美国国债被认为是接近无风险的工具）。

为了观察有无风险借贷如何影响投资者投资决策的选择，我们考虑投资于以下三个工具：风险资产M和H，和无风险资产，而资产预期的收益和风险如表2所示。

假设首先你把所有的财富投资在其中的一个这些资产。

你会选择哪一种？答案取决于你的风险承受能力。

资产H具有最高风险也有最高预期收益。

你会选择
Table2
如果你有高风险的承受能力。

无风险资产没有风险但具有最低预期收益。

如果你有一个非常低的风险承受能力，你会选择以无风险利率贷款。

资产M具有中等风险和预期收益，如果你有适度的风险承受能力，你会选择这一资产
假设下一种情况你可以以无风险利率借入和借出，你希望将你部分的财富投资无风险贷款和借款来获得资产平衡。

如果投资于资产H的比例为x，那么1 –x是投资于无风险资产的比例。

当x<1，则是在无风险贷款率介入贷款；当x > 1，则是在在无风险利率借出贷款。

这个组合的预期收益是(1-x)rf +xEH，等于rf +x(EH-rf)，投资组合的风险是σH.投资组合的风险与资产H的风险成比例，因为资产H是投资组合中的风险唯一来源。

、风险和预期的回报是线性结合起来的，如图1所示。

将无风险资产与资产H的一条线连接起来的每一点表示一种对资产H的无风险借贷平衡的特殊分配（x）。

这条线的斜率被称为夏普比率,即资产的风险溢价除以资产的风险。

Sharpe Ratio=（EH-rf）/σH.
资产H的夏普比率值为0.175（=（12%-5 %）/40%），所有资产H无风险借贷的组合有相同的夏普比率。

如图1所示的风险以及通过无风险借贷资产H组合方式实现的预期回报。

资产M的夏普比率是0.25，高于资产H的比率，任何水平上的风险以及可从投资资产H和无风险借贷中得到的回报是以资产H和无风险借贷的组合为主导的。

例如，对于和资产H具有同一风险的资产，你可以通过投资资产以2:1的杠杆收益获得更高的预期。

如图1所示，2:1杠杆资产M的资产预期收益为15%（即（2×10%）-（1 *5%）），这高于资产H12%的预期收益。

如果你持有一个风险资产，其他投资均为无风险借贷，那么这无疑应该是资产M。

能够无风险借贷的能力大大改变了我们的投资选择。

Figure1
如果你只能选择一种风险资产，那么选择的资产应是夏普比率最高的资产。

鉴于对这种风险资产的选择，你需要做出第二个决定，这就是这种资产在投资组合中占多少。

对后一个问题的回答取决于你的风险承受能力。

图2说明了我们可以在两种风险资产的组合中投资的情况，即资产M和H，投资还包括无风险借贷。

资产M和H的收益率之间的相关性被认为是零。

在图中，连接资产M和H 的曲线代表所有通过资产M和H结合得到的预期回报/标准偏差。

资产M和资产H组合中夏普比率最高的组合是资产M比例为26%，资产H比例为74%（切入点）。

这个组合的预期收益率为10.52%，标准偏差为18.09%。

夏普比率估为0.305，这比单个M或者H资产的夏普要高（分别为0.25和0.175）。

对预期收益和风险具有想通的估计的投资者将投资点定位在连接无风险资产的投资组合前沿的线上。

尤其，他们都持有二者资产的比例为26 ：74。

许多风险资产的最优组合也可以用同样方式可以找到。

图3提供了一个总体的说明。

利
用Markowitz算法得到有效的风险资产组合的前沿。

我们发现有效前沿的投资组合具有最高的夏普比，这是从无风险的点到有效前沿曲线上的切点。

然后，按照你的风险承受能力，在最高的夏普比例组合和无风险贷借款的投资之间分配你的财富。

有效前沿的这一特性被称为“基金分离”，投对预期收益、风险和相关性具有相同信念的投资者将投资于具有最高夏普比率的高风险资产组合或“基金”。

figure2
figure3
但是，在基金和险承受能力为基础的无风险贷款的分配上，他们会有所不同。

特别注意的是，对风险资产的最优投资组合的组成并不依赖于投资者的风险容忍度。

市场确定的预期回报率和独立风险
投资组合理论规定，由于投资者对预期收益和风险的估计，他们会选择有效边界上的投资组合。

在另一方面，资本资产定价模型涉及均衡资产定价。

CAMP理论提出疑问：如果每个人上述这个建议，则对资本资产价格会产生怎样的影响？在均衡中，所有的资产必须由某人持有。

对于市场处于均衡状态，每一种资产的预期收益必须由投资者集体决定持有资产股票的供应量来确定。

资本资产定价模型将告诉我们，投资者如何确定预期收益，从而确定资产价格，即通过一个风险的函数。

在思考预期回报和风险如何相关联时，作为一个规则，我们应当询问投资的预期回报是否是一个独立风险函数（以回报的标准差衡量）。

答案是“不”，我们考虑两个公司的股票具有相同独立风险。

如果一项投资的预期收益完全由其独立风险决定，这些公司的股份将有相同的预期回报，比如说10%。

两家公司的任何投资组合的预期收益率也为10%（因为资产组合的预期收益率为投资组合中资产的预期收益的加权平均值）。

然而，如果企业的股份是不完全相关的，那么组合投资的两公司股票的风险将低于任何一个公司的风险。

因此，如果预期收益是一个单独的风险的函数，那么这个投资组合的预期回报率必须小于10%，而矛盾的是，事实上投资组合的预期回报率是10%。

因此，预期回报不能完全由独立的风险来决定。

因此，任何预期的回报和风险之间的关系必须基于非独立的风险的衡量。

我们很快就会看到，对风险的衡量是由新投资加入投资组合形成的增量风险所造成的。

这在下一节中进行讨论。

提高投资组合的夏普比率
假设你正在考虑是否在你的风险资产投资组合加入一个特定的投资。

如果你能无风险借贷，那么可以在提高组合的夏普比率的前提下增加股票。

这形成了一个简单的规则来引导抉择，规则可以通过下面两个例子来得到：当附加的股票与现有的投资组合是不相关的。

2）当增加的股票是与现有的投资组合完全相关的。

这个规则会形成资本资产定价模型所规定的风险收益关系上的平衡。

下面的论述有助于“超额回报”的研究。

过剩的无风险利率的回报、预期超额收益
被称为风险溢价。

增加一个与现有的投资组合不相关的股票
什么时候一个投资组合应该增加一个不相关的股票？如果股票和现有的投资组合的超额收益是不相关的，那么增加了少量的股票对投资组合的风险几乎没有影响。

4因此，股票是投资于无风险资产的替代品。

如果股票的预期回报率ES超过了无风险利率rf，那么包括股票在内的投资将增加投资组合的夏普比例。

换句话说，如果风险溢价ES –rf是正的，那么额外的股票应该包括在投资组合中。

增加一个与现有资产组合完全相关的股票
如果股票和投资组合超额收益是完全相关的，投资的股票将成为投资组合本身的替代
品。

为了得到结果，考虑完全的相关性意味着股票和投资组合的超额收益以一个固定的比率加一个常数做相同的变化。

固定比率被称为β以β表示，并且常数被称为α，用α表示。

换言之股票的超额收益等于α加β倍的超额投资组合收益。

那么，股票的预期超额收益率等于α加β倍投资组合的预期超额收益，即ES -rf =α+β(EP-rf)。

因此，α等于股票风险溢价以及β倍的投资组合风险溢价的差额。

股票和证券组合以固定的比例变化，β等于股票比例除以投资组合超额收益标准差：即β=σS/σP
比较现在的投资1美元的股票与以下的“模仿”策略：投资资产组合中的β美元，以及在无风险资产中的余额（1 -β），假设β<1。

例如，如果β是0.5，则投资0.50美元的投资组合和0.50美元的无风险资产是一种策略，在策略中投资组合超额收益每得到或失去获得或失去1%，整个投资会得到或失去0.5%的超额回报。

模仿策略的超额收益等于投资组合的超额收益率的β倍。

模仿的策略会以差异α像股票一样变化。

这种模仿策略可以被认为是一个β给定，α=0的“股票”测试。

类似地，如果β>1，那么模仿策略则包括在投资组合中投资$β，其中（β- 1）美元无风险借入。

例如，如果β是3，模仿投资组合包括投资3美元，其中2美元是无风险借入的。

这一战略将在投资组合实现每1%收益或损失时获得或失去3%的超额回报。

再一次，模仿策略以恒定的差异α像股票一样变化。

如果一个股票的回报与投资组合是完全相关的，那么它什么时候应该被添加到投资组合？因为直到到达α，股票对投资组合来说只是一个替代，增加1美元的股票来等到$β的投资组合。

但拥有更多的投资组合本身并没有改变它的夏普比率。

因此，如果股票的预期超额收益超过了模仿策略的投资组合的预期收益，增加股票将增加投资组合的夏普比率。

这发生在α> 0或等价的如果ES-rf >β(EP-rf)的情况下，意味着股票的风险溢必须超过β倍的投资组合风险溢价。

一般情况下：添加一个与现有投资组合不完全相关的股票
假设接下来股票的回报率和投资组合在某种程度上（0＜ρ＜1）是相关的。

在这种情况下，股票的回报可以被分离为与资产组合完全相关的部分以及与资产组合不相关的部分。

由于股票的标准差是σS，那么与投资组合完全相关的部分的股票收益的标准差是ρσS。

因此，与投资组合完全相关的部分的股票收益的β倍等于标准偏差的值：β=ρσS/σP。

正如上面所讨论的，对完全相关于投资组合股票收益组成的部分是一个对组合本身的替代，并且可以通过投资组合中投资β和投资（1-β）在无风险资产来进行模仿。

而
超额收益与投资组合不相关的股票部分可以通过多元化消除，因此对组合风险没有影响
投资组合。

这部分还可以模仿通过投资无风险资产来实现。

因此，我们可以得出结论，如果股票的风险溢价超过了两个模拟组合的风险溢价增加股票的投资组合，夏普比率将上升
也就是说：β（EP -RF）是对于完全相关的部分，对于完全无关的部分为0。

这种研究建立了一个提高投资组合的规则。

加入α为正，那么在投资组合中加入一单位股票将增加投资组合的夏普比率。

即，如果其风险溢价满足
ES-rf >β（EP-rf）.
相反，卖空股票的边际份额将增加投资组合的夏普比率，如果α是负的，ES-rf <β(EP-rf)。

投资组合的夏普比率达到最高，如果对每一个股票均有ES-rf =β(EP-rf)，也就是如果每个股票的风险溢价等于β倍的投资组合风险溢价。

资本资产定价模型
提高投资组合的夏普比率的规则使我们能够以更直观、直观的方式获得资本资产定价模型。

我们从四个假设开始。

首先，投资者是风险厌恶者，并在同一个周期，通过测量期望收益率和标准差的回报率来评估他们的投资组合。

其次，资本市场在几个方面都是完美的：资产都是无限可分的；不存在交易成本，限制卖空或税；信息是为每个人免费提供的，，所有。