模糊理论及应用(1)
模糊集的理论及应用-1
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1.1 经典集合的基本概念
定义
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
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1.2 格与代数系统
偏序集的例子
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模 糊 集 的 理 论 及 应 用
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； 正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< < 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。
子集（⊆）
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
10/26/2018 9:20:19 AM
注意特征函数表示方法：
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
A ( x) 1 A ( x)
c
上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
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1.1 经典集合的基本概念
运算律
模糊集理论及其应用_第一章
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1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
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模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
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数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
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前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊控制理论及工程应用
模糊控制理论及工程应用模糊控制理论是一种能够处理非线性和模糊问题的控制方法。
它通过建立模糊规则和使用模糊推理来实现对系统的控制。
本文将介绍模糊控制理论的基本原理，以及其在工程应用中的重要性。
一、模糊控制理论的基本原理模糊控制理论是由扬·托东（Lotfi Zadeh）于1965年提出的。
其基本原理是通过建立模糊规则，对系统的输入和输出进行模糊化处理，然后利用模糊推理来确定系统的控制策略。
模糊规则是一种类似于“如果...那么...”的表达式，用于描述输入和输出之间的关系。
模糊推理则是模糊控制系统的核心，它通过将模糊规则应用于模糊化的输入和输出，来确定控制的动作。
二、模糊控制理论的工程应用模糊控制理论在工程应用中具有广泛的应用价值。
下面将分别介绍其在机械控制和电力系统控制中的应用。
1. 机械控制模糊控制理论在机械控制领域有着重要的应用。
其优势在于能处理非线性和模糊问题，使得控制系统更加鲁棒和稳定。
例如，在机器人控制中，模糊控制可实现对复杂环境的适应性和灵活性控制，使机器人能够自主感知和决策。
此外，模糊控制还可以应用于精密仪器的控制，通过建立模糊规则和模糊推理，实现对仪器位置和姿态的精确控制。
2. 电力系统控制模糊控制理论在电力系统控制领域也有着重要的应用。
电力系统是一个复杂的非线性系统，模糊控制通过建立模糊规则和模糊推理，可以实现对电力系统的稳定性和性能进行优化。
例如，在电力系统调度中，模糊控制可以根据不同的负荷需求和发电能力，实现对发电机组的出力控制，保持电力系统的稳定运行。
此外，模糊控制还可以应用于电力系统中的故障诊断和故障恢复，通过模糊推理，快速准确地定位和修复故障。
三、总结模糊控制理论是一种处理非线性和模糊问题的有效方法。
其基本原理是通过建立模糊规则和使用模糊推理来实现对系统的控制。
模糊控制理论在机械控制和电力系统控制等工程领域有着广泛的应用。
它能够提高控制系统的鲁棒性和稳定性，并且能够适应复杂的环境和变化，具有良好的控制效果。
模糊控制理论及应用
模糊控制理论及应用模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它能够应对现实世界的不确定性和模糊性。
本文将介绍模糊控制的基本原理、应用领域以及未来的发展趋势。
一、模糊控制的基本原理模糊控制的基本原理是基于模糊逻辑的推理和模糊集合的运算。
在传统的控制理论中，输入和输出之间的关系是通过精确的数学模型描述的，而在模糊控制中，输入和输出之间的关系是通过模糊规则来描述的。
模糊规则由模糊的IF-THEN语句组成，模糊推理通过模糊规则进行，从而得到输出的模糊集合。
最后，通过去模糊化操作将模糊集合转化为具体的输出值。
二、模糊控制的应用领域模糊控制具有广泛的应用领域，包括自动化控制、机器人控制、交通控制、电力系统、工业过程控制等。
1. 自动化控制：模糊控制在自动化控制领域中起到了重要作用。
它可以处理一些非线性和模糊性较强的系统，使系统更加稳定和鲁棒。
2. 机器人控制：在机器人控制领域，模糊控制可以处理环境的不确定性和模糊性。
通过模糊控制，机器人可以对复杂的环境做出智能响应。
3. 交通控制：模糊控制在交通控制领域中有重要的应用。
通过模糊控制，交通信号可以根据实际情况进行动态调整，提高交通的效率和安全性。
4. 电力系统：在电力系统中，模糊控制可以应对电力系统的不确定性和复杂性。
通过模糊控制，电力系统可以实现优化运行，提高供电的可靠性。
5. 工业过程控制：在工业生产中，许多过程具有非线性和不确定性特点。
模糊控制可以应对这些问题，提高生产过程的稳定性和质量。
三、模糊控制的发展趋势随着人工智能技术的发展，模糊控制也在不断演进和创新。
未来的发展趋势主要体现在以下几个方面：1. 混合控制：将模糊控制与其他控制方法相结合，形成混合控制方法。
通过混合控制，可以充分发挥各种控制方法的优势，提高系统的性能。
2. 智能化：利用人工智能技术，使模糊控制系统更加智能化。
例如，引入神经网络等技术，提高模糊控制系统的学习和适应能力。
3. 自适应控制：模糊控制可以根据系统的变化自适应地调整模糊规则和参数。
模糊系统理论
模糊系统理论一、主要内容(1)模糊数学，它用模糊集合取代经典集合从而扩展了经典数学中的概念；(2)模糊逻辑与人工智能，它引入了经典逻辑学中的近似推理，且在模糊信息和近似推理的基础上开发了专家系统；(3)模糊系统，它包含了信号处理和通信中的模糊控制和模糊方法；(4)不确定性和信息，它用于分析各种不确定性；(5)模糊决策，它用软约束来考虑优化问题。
当然，这五个分支并不是完全独立的，他们之间有紧密的联系。
例如，模糊控制就会用到模糊数学和模糊逻辑中的概念。
从实际应用的观点来看，模糊理论的应用大部分集中在模糊系统上，尤其集中在模糊控制上。
也有一些模糊专家系统应用于医疗诊断和决策支持。
由于模糊理论从理论和实践的角度看仍然是新生事物，所以我们期望，随着模糊领域的成熟，将会出现更多可靠的实际应用。
早在20世纪20年代，就有学者开始思考和研究如何描述客观世界中普遍存在的模糊现象。
1923年，著名的哲学家和数学家B．Russell在其有关“含模糊性”的论文中就认为所有的自然语言均是模糊的，如“年轻的”和“年老的”都不是很清晰的或准确的概念。
它们没有明确的内涵和外延，实际上是模糊的概念。
然而，在一个特定的环境中，人们用这些概念来描述某个具体对象时却又能让人们心领神会，很少引起误解和歧义。
与B．Russell同时代的逻辑学家和哲学家人Kasiewicz发现经典的：值逻辑只是理想世界的模型，而不是现实世界的模型，因为它在对待诸如“某人个子比较高”这一客观命题时不知所措。
他在1920年创立了多值逻辑，为建立正式的模糊模型走出了关键的第一步。
但是，多值逻辑本质不仍是精确逻辑，它只是二值逻辑的简单推广[9]。
1966年，P．N．Marinos发表了有关模糊逻辑的研究报告。
这一报告真正标志着模糊逻辑的诞生。
模糊逻辑和经典的二值逻辑的不同之处在于：模糊逻辑是一种连续逻辑。
一个模糊命题是一个可以确定隶属度的句子，它的真值可取[o，U区间中的任何数。
人工智能中的模糊理论与模糊推理
人工智能中的模糊理论与模糊推理人工智能（Artificial Intelligence，AI）是计算机科学的一个重要分支，旨在让机器能够模仿和模拟人类的智能行为。
在AI的发展过程中，模糊理论（Fuzzy Theory）和模糊推理（Fuzzy Reasoning）是扮演着重要角色的两个概念。
模糊理论和模糊推理可以帮助我们解决那些具有不确定性和模糊性的问题，并且在模拟人类的智能过程中起到了关键作用。
本文将详细介绍，并讨论其应用领域。
1. 模糊理论模糊理论是由扎德（Lotfi A. Zadeh）于1965年提出的，它是一种能够处理现实世界中不确定性和模糊性问题的数学工具。
与传统的逻辑学不同，模糊理论引入了“模糊集合”的概念，用来表示不同程度的隶属度。
在传统的二值逻辑中，一个元素只能属于集合或者不属于集合，而在模糊集合中，一个元素可以同时属于多个集合同时也可以部分属于某个集合。
模糊集合的定义通常采用隶属度函数（membership function）来表示，这个函数将每个元素在0到1之间的值来表示其属于程度。
这种思想可以很好地应用到处理模糊性问题的场景中。
例如，当我们描述一个人的高矮时，可以定义一个“高”的模糊集合，然后通过隶属度函数来表示每个人对于“高”的隶属度。
2. 模糊推理模糊推理是一种基于模糊逻辑的推理方法，它是基于模糊集合的运算来实现推理的过程。
模糊推理通过模糊集合之间的关系来表示模糊规则，从而得到推理的结果。
通常，模糊推理过程包括模糊化、模糊规则的匹配、推理方法的选择以及解模糊化等步骤。
在模糊化的过程中，将输入转化为模糊集合，并通过隶属度函数给出每个输入值的隶属度。
在模糊规则的匹配阶段，将输入的模糊集合与模糊规则进行匹配，根据匹配程度得到相应的隶属度。
然后，根据推理方法的选择，确定输出值的隶属度。
最后，通过解模糊化的过程，将模糊输出转化为确定的输出。
模糊推理的一个重要特点是能够处理模糊和不确定性的信息。
模糊集理论及应用
求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
模糊关系
模糊关系 相像关系：两者间的“相像”幵非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度
上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。
λ水平截集
解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μ A (u)在R上连续，且具有如下性 质：
直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
R
V
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
相等：A = B aij = bij； 包含：A B a ≤b ；
ij ij
幵：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n。
0.1 0.3 0.2 例 设A , B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 A B , A B 0.3 0.2 0.2 0.1 ，则 0.2 0.1 c 0.9 0.7 , A 0.1 0.8 0.9
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊理论总结
模糊理论总结简介模糊理论（Fuzzy Theory）是一种用于处理不确定性问题的数学方法，其背后的思想是模糊集合论。
模糊理论从模糊集合的角度对问题进行描述和处理，可以克服传统二值逻辑的限制，更符合人类思维的特点。
模糊理论主要应用于控制系统、人工智能、数据挖掘和模式识别等领域。
通过引入模糊概念，模糊理论能够有效处理模糊、不确定或不完全信息的问题，使得决策和系统设计更加灵活和适应实际应用。
模糊概念在模糊理论中，模糊概念是一个介于完全成员和完全非成员之间的概念。
与传统的二值逻辑相比，模糊概念允许元素有一定程度的隶属度。
模糊集合是由一系列隶属度在[0,1]范围内的元素组成的。
模糊概念的隶属函数描述了元素与模糊集合的关系。
常见的隶属函数包括三角函数、高斯函数和sigmoid函数等。
通过对隶属度的计算和操作，可以对元素进行模糊化处理，从而更好地表达和处理不确定性问题。
模糊推理模糊推理是模糊理论的核心。
与传统的逻辑推理相比，模糊推理能够处理模糊或不确定的条件和结论。
模糊推理根据输入的模糊规则和模糊事实，通过模糊逻辑运算得出模糊结论。
模糊推理的过程包括模糊化、模糊规则匹配和模糊合成三个步骤。
模糊化将输入的模糊事实转换为模糊集合，模糊规则匹配对输入的模糊事实和模糊规则进行匹配，模糊合成根据匹配结果和隶属度计算得出最终模糊结论。
模糊推理可以应用于各种决策问题，如模糊控制系统中的规则推理、模糊分类和模糊聚类等。
模糊控制模糊控制是模糊理论的一种重要应用，用于处理带有模糊或不确定性信息的控制问题。
传统的控制方法通常基于精确的模型和确定性的输入，而模糊控制则能够应对系统模型不确定或难以建立的情况。
模糊控制系统由模糊控制器和模糊规则库组成。
模糊控制器负责对输入模糊事实进行模糊推理，得出模糊控制命令。
模糊规则库包含了一系列模糊规则，用于将输入模糊事实映射到输出模糊命令。
模糊控制系统的设计包括确定模糊集合、编写模糊规则和确定隶属函数等步骤。
模糊算法的基本原理与应用
模糊算法的基本原理与应用模糊算法是20世纪60年代提出的一种新的数学分析方法，具有广泛的应用领域，如控制理论、人工智能、模式识别、决策分析等。
本文将介绍模糊算法的基本原理以及在实际应用中的一些案例。
一、模糊算法的基本原理模糊算法的核心思想是将不确定性和模糊性考虑进来，将数据分为模糊集合，不再是传统意义上的精确集合。
模糊集合是指一个元素可能属于这个集合的程度，它用隶属度函数来表示。
举个例子，一个人的身高不可能绝对的是1米80，可能是1米78或者1米82，那么身高就可以看成一个模糊集合，每个身高值对应一个隶属度。
隶属度函数一般用μ(x)表示，μ(x)的取值范围是[0,1]，它表示元素x属于该模糊集合的程度。
为了使模糊算法具有可操作性，需要建立一套模糊集合运算规则。
常用的包括交运算和并运算。
1. 交运算：模糊集合A和B的交集，定义为：A ∩B = { (x, min(μA(x), μB(x))) | x∈X }其中X是数据集合。
这个公式的意思是，对于集合A和B中都出现的元素x，它们的隶属度的最小值就是A∩B中x的隶属度。
2. 并运算：模糊集合A和B的并集，定义为：A ∪B = { (x, max(μA(x), μB(x))) | x∈X }其中X是数据集合。
这个公式的意思是，对于集合A和B中出现的元素x，它们的隶属度的最大值就是A∪B中x的隶属度。
二、模糊算法在实际应用中的案例1. 模糊控制系统模糊控制系统是模糊算法应用最广泛的领域之一。
传统的控制系统需要建立数学模型，对系统进行分析和设计。
而模糊控制系统则是基于经验的，采用模糊集合来描述系统状态，从而规划控制策略。
比如在家电产品中，智能洗衣机的控制系统就采用了模糊控制算法，根据衣物的不同湿度、污渍程度、质地等因素，自动调整洗涤方案，达到最佳的洗涤效果。
2. 模糊识别系统模糊识别系统是指通过对事物进行模糊描述和抽象，进行模式匹配和分类的一类智能系统。
它可以处理各种类型的信息，比如图像、声音、文本等等。
模糊规划的理论方法及应用
模糊规划的理论方法及应用模糊规划是一种将模糊数学方法应用于决策问题的数学工具。
相比于传统的决策方法，模糊规划考虑到了决策者在面对不确定性和模糊性时的主观认知和感知能力，并利用模糊集合理论来解决这些问题。
本文将介绍模糊规划的理论方法及其在实际应用中的例子。
一、模糊规划的基本概念与原理1. 模糊集合理论模糊集合理论是模糊规划的理论基础，它是Lotfi Zadeh于1965年提出的。
在传统的集合论中，一个元素只能属于集合A或者不属于集合A，而在模糊集合论中，每个元素都有属于集合A的程度或者隶属度。
通过定义隶属函数来刻画元素对一个集合的隶属程度，该函数的取值范围通常是[0,1]。
2. 模糊规划的基本步骤模糊规划的基本步骤包括问题定义、模糊关系构建、决策矩阵建立、权重确定、模糊规则制定、规则评价、推理运算及解的评价等。
其中，模糊关系的建立和模糊规则的制定是模糊规划的核心。
通过对问题的抽象和建模，将模糊的问题转化为可计算和可处理的数学模型，从而能够得出合理的决策结果。
二、模糊规划的实际应用1. 市场营销决策在市场营销中，决策者往往需要面对很多模糊的信息，例如消费者的购买意愿、市场竞争环境等。
模糊规划可以帮助决策者进行市场细分、产品定价、促销策略等决策，从而提高市场的竞争力。
比如，通过模糊规划的方法，可以根据消费者的购买意愿和价格敏感度，确定合适的产品定价，并通过促销策略来满足不同消费者群体的需求。
2. 资源调度问题在资源调度问题中，决策者需要考虑多个因素，例如人力资源、物资配送等。
这些因素往往存在模糊性和随机性，传统的数学模型很难对其进行准确建模和求解。
而模糊规划可以通过考虑不确定性因素，使决策结果更加稳健和鲁棒。
比如，在人力资源调度中，通过模糊规划可以考虑员工的技能水平、工作经验等因素，使得调度结果更加符合实际情况。
3. 供应链管理问题供应链管理中涉及到多个环节和参与方，存在着各种不确定性和模糊性。
模糊规划可以帮助决策者在不确定的环境下进行供应链规划、库存管理、物流优化等决策，从而提高供应链的运作效率和灵活性。
风险管理中的模糊数学理论及应用
风险管理中的模糊数学理论及应用风险管理是企业管理中的一项重要内容。
随着市场的变化和发展，企业面临的风险越来越多。
如何对这些风险进行科学地评估和管理，则成为企业成功的关键所在。
传统的风险管理方法主要采用统计学和概率论的方法，这些方法对于风险的评估和管理需要有绝对的数据支撑，而现实中的数据往往存在着不确定性和模糊性，难以用传统方法进行科学评估。
因此，模糊数学理论的应用成为了风险管理中研究的热点问题。
1. 模糊数学概述模糊数学起源于上世纪六十年代，是针对人类处理来自客观世界不确定性信息的需要而发展起来的学科。
它是由美国数学家霍普福德（L.A. Zadeh）提出的，是在传统的集合论、概率论和逻辑理论的基础上发展起来的。
模糊数学是一种用于研究模糊现象的数学方法，它可以有效地处理带有不确定度或模糊性的信息。
模糊数学的研究包括模糊集合论、模糊关系、模糊逻辑、模糊控制等。
2. 风险管理中的模糊数学应用（1）模糊数学在风险评估中的应用风险评估是从各个角度全面评价风险和风险影响的过程，传统的风险评估方法主要采用概率论和统计学方法。
但这些方法在处理不确定性、模糊性和主观性问题时受到很大限制。
模糊数学可以用于处理带有不确定性和模糊性的数据，因此可以在风险评估中发挥一定的作用。
例如，研究者可以使用层次分析法或模糊综合评价法等方法将多个因素的不确定性信息转化为具有一定可信度的评估结果。
（2）模糊数学在风险控制中的应用风险控制是指通过合理的管理控制手段，达到减少风险和降低损失的目的。
传统的风险控制方法主要采用保险和金融衍生品等金融工具来处理风险。
虽然这些工具可以有效地减轻风险，但是它们的使用也存在着许多限制和约束。
模糊数学可以用于模糊控制，它可以通过构建模糊控制模型，实现对风险的控制。
例如，研究者可以根据企业的经营状况，利用模糊控制模型对企业的风险进行识别和控制。
（3）模糊数学在风险预测中的应用风险预测可以帮助企业预先识别和评估未来可能发生的风险，从而及时制定相应的应对措施。
模糊集(fuzzy set)相关理论知识简介
2、模糊度计算公式 （1）海明(haming)模糊度 海明(haming)模糊度
其中， 是论域U中元素的个数， 其中，n是论域U中元素的个数， 1 µA (ui)≥0.5 )≥0 µA 0.5(ui)= 0 µA (ui)＜0.5
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（2）欧几里德(Euclid)模糊度 欧几里德(Euclid)模糊度
模糊理论（1 模糊理论（1）
1
一、集合与特征函数
1、论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题 的论域。 的论域。
2
2、集合 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。
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3、特征函数 设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令 是论域U上的一个集合，对任何u 1 当u∈A CA(u)= 0 当u A 则称C (u)为集合A的特征函数。 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有： A={ u | CA(u)=1 } (u)=1
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三、模糊集表示法
1、扎德表示法1 扎德表示法1 设论域U 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={µ 模糊集为：A={µA(u1), µA(u2), … , µA(un) } 则可将A 则可将A表示为：
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A=µA(u1)/ u1+µA(u2)/ u2+ … +µA(un)/ un 或 A={ µA(u1)/ u1，µA(u2)/ u2，… ，µA(un)/ un } 或 A= n µA(ui)/ ui ∑ 或 i =1 A= µA(u)/ u u∈U
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模糊理论（2 模糊理论（2）
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一、模糊集的λ水平截集 模糊集的λ
模糊数学及其应用第一章绪论
模糊数学―――用数学方法研究和处理“模糊性”现象的数学。
1957年起，他在美国哥伦比亚大学任教授。
1959年起，他在加利福尼亚大学电机工程系任教授。
在1965年以前，扎德的工作集中在系统理论和决策分析方面。
从1965年开始，他的主要的研究兴趣转移到发展模糊集理论和将其应用于人工智能、语言、逻辑、决策分析和人类系统的分析方法。
自从《信息与控制》杂志发表了他的开创性论文“模糊集合”后，扎德被世界公认为是对系统理论及其应用这一领域最有贡献的人之一。
被人们称为“模糊集之父”。
二、模糊数学是继经典数学、统计数学之后数学的一个新分支统计数学将数学应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域。
模糊数学则把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的领域。
模糊数学是用数学方法研究和处理“模糊性”现象的数学。
随机性的不确定性，也就是概率的不确定性，主要与事件的发生有关。
例如，“<a name=baidusnap0></a>明天</B>有雨”，“掷一粒骰子出现6点”等，它们的发生是一种偶然现象，具有不确定性。
在这里事件本身（“有雨”，“出现6点”)是确定的，而事件发生与否不确定。
只要时间过去了，到了明天</B>，“明天</B>有雨”这个事件是否发生就变成确定的了；只要做一次实验，“6点”是否出现就变成确定的了。
而模糊性的不确定性则不相同！如“青年人”，“高个子”的不确定性，即使到了明天</B>，或者做一次实验，它们仍是不确定的。
这主要是事件本身（“青年人”、“高个子”)是不确定的，具有模糊性，它是由概念、语言的模糊性产生的。
当代科技发展的趋势之一，就是各个学科领域都要求定量化、数学化。
当然也迫切要求将模糊概念(现象)定量化、数学化，这就促使人们去寻求一种研究和处理模糊概念(现象)的数学方法。
§2 模糊数学与精确数学的辩证关系众所周知，传统的经典数学是以精确性为特征的。
深入探讨模糊算法的原理和应用领域
深入探讨模糊算法的原理和应用领域模糊算法原理与应用领域探析模糊算法，也被称为模糊逻辑或模糊系统，是基于模糊集合的数学理论来处理模糊信息和不确定性问题的一种人工智能技术。
模糊算法已在各个领域被广泛应用，如自动化控制、数据挖掘、计算机视觉、模式识别等。
本文将深入探讨模糊算法的原理和应用领域。
一、模糊算法原理1. 模糊集合模糊集合是指元素在集合中的归属不是非黑即白的，而是具有一定的隶属度。
假设U为一个全集，x为U中的元素，则x的隶属函数为μ(x)，用来描述x在模糊集合A中的隶属度。
μ(x)的取值范围为[0,1]，0表示x不属于集合A，1表示x完全属于集合A，中间的值表示x在A中的部分隶属度。
例如，在表示人身高的模糊集合中，某人的身高为170cm，那么他在“高个子”模糊集合中的隶属度可能是0.7。
2. 模糊逻辑模糊逻辑是对传统逻辑的一种扩展，可以处理基于模糊集合的问题。
在传统逻辑中，命题的真假只有两种可能，而在模糊逻辑中，命题真假之间存在一定程度的模糊性。
因此，模糊逻辑中的推理是基于程度而不是绝对的。
例如，“天气很好”这个命题的真实程度是多少？传统逻辑无法回答，但是在模糊逻辑中可以使用隶属度来描述这个问题。
3. 模糊推理模糊推理是指从已知的前提条件出发，推导出对结论的模糊度量。
在模糊推理中，需要使用一定形式的规则来描述逻辑关系。
例如，“如果A，则B”这样的规则可以表示为：“Ａ→Ｂ”，其中“→”表示逻辑蕴含。
当给定一个前提条件A时，根据“Ａ→Ｂ”的规则可以推出对结论B的隶属度。
二、模糊算法应用领域1. 自动化控制自动化控制是模糊算法最早应用的领域之一。
模糊控制可以通过对模糊集合的描述和模糊推理的运算来实现对控制系统的模糊控制。
例如，在汽车控制中，通过对车速和车距等信息的模糊描述，可以实现基于模糊逻辑的车辆自适应巡航控制系统。
2. 数据挖掘数据挖掘是指从大量数据中发现有用的信息和规律。
在数据挖掘中，如果数据存在一定的不确定性和模糊性，传统的数据处理方法可能会失效。
模糊数学
模糊数学理论及其应用一、模糊数学的产生与发展（一）模糊数学的产生1965年,美国控制论专家扎德(Zadeh)教授在《信息与控制》(Information and Control)杂志上发表了论文“模糊集合”(fuzzy sets )。
从此, 模糊数学宣告诞生。
模糊集合是客观存在的模糊概念的必然反映.所谓模糊概念就是边界不清晰、处延不明确的概念。
比如: “高个子”便是一个模糊概念, 因为究竟多高才能算作高个子是无法说清楚的。
显然, 这样的概念俯拾即是。
比如, 对年龄的描述就有襁褓婴儿、婴儿、幼儿、童年、少年、青年、中年、老年及暮年等等。
正是为了从数学上把模糊概念说清楚, 扎德才引入了模糊集合。
粗略地说, 在一个模糊集合中, 某些元素是否属于这个模糊集合并不是非此即彼的, 说得更明确些就是: 既不能认为这些元素完全属于这个集合, 也不能认为它们完全不属于这个集合, 而是处于一种亦此亦彼、模棱两可的状态。
例如, 张三身高1.70 m ,即不能说他绝对是个“高个子”。
也不能说他绝对不是个“高个子”。
那么,怎样确定一个元素对某个模糊集合的隶属关系呢?方法很简单, 就是用单位闭区间[0,1]中的某个数字来界定该元素隶属这个模糊集合的一种程度, 称之为隶属度。
如上文的张三属于“高个子”这个模糊集的隶属度可根据常识与经验确定为0. 7。
我们知道, 集合是现代数学的基础, 现在既然有了模糊集合, 那么以模糊集合代替原来的分明集合, 把经典数学模糊化, 便产生了以模糊集合为基础的崭新的数学—模糊数学。
（二）模糊数学的发展模糊数学目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。
理论研究主要是经典数学概念的模糊化。
由于模糊集自身的层次结构, 使得这种理论研究更加复杂, 当然也因而更具吸引力。
目前已形成了模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊测度及模糊计算机等模糊数学分支。
应用研究主要是对模糊性之内在规律的探讨, 对模糊逻辑及模糊信息处理技术的研究。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，又称模糊逻辑或模糊理论，是一种用于处理模糊和不确定性问题的数学方法。
它与传统的二值逻辑不同，二值逻辑中的命题只能有“是”和“否”两种取值，而模糊数学允许命题
取任意模糊程度的值，介于完全是和完全否之间。
模糊数学的基本原理是模糊集合论。
在模糊集合中，每个元素都有一个属于该集合的隶属度，代表了该元素与集合之间的模糊关系。
隶属度的取值范围通常是0到1之间，其中0表示不
属于该集合，1表示完全属于。
模糊集合的隶属函数则用来描
述每个元素的隶属度大小。
模糊数学的应用广泛。
在工程领域中，它常用于模糊控制系统的设计与分析。
传统的控制系统中，输入和输出之间的关系是通过确定性的数学模型来描述的，而模糊控制则允许系统中存在不确定性和模糊性，并通过模糊推理来实现系统的控制。
在人工智能领域中，模糊数学也有着重要的应用。
模糊逻辑可以用来处理自然语言的模糊性和歧义性，对于机器翻译、信息检索和智能对话系统等任务具有重要意义。
此外，模糊数学还可以应用于风险评估、决策分析、模式识别、数据挖掘等领域。
通过将模糊数学方法应用于这些问题，可以更好地处理不确定性和模糊性信息，并得到更准确的结果。
总而言之，模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，通过模糊集合论和模糊推理来建模和分析。
它在各个领域
都有广泛的应用，可以帮助人们更好地处理现实世界中的复杂问题。
人工智能(模糊算法)(一)
人工智能(模糊算法)（一）引言概述：人工智能是指通过模拟人类智能的方法，使机器能够进行学习、推理、计划和解决问题的技术。
在人工智能领域，模糊算法是一种重要的技术，它可以处理不确定性和模糊性信息，实现对模糊概念的建模和推理。
本文将详细介绍人工智能中的模糊算法，并从五个大点进行阐述。
正文：一、基础概念与原理1. 模糊集合理论2. 模糊逻辑3. 模糊推理4. 模糊控制5. 模糊集合与模糊逻辑的关系二、模糊算法的应用领域1. 模糊分类算法在图像识别中的应用2. 模糊聚类算法在数据挖掘中的应用3. 模糊推理算法在专家系统中的应用4. 模糊控制算法在自动驾驶中的应用5. 模糊神经网络算法在预测分析中的应用三、模糊算法的特点与优势1. 不确定性和模糊性处理能力2. 可解释性和逻辑性3. 对异常和噪声的鲁棒性4. 高扩展性与灵活性5. 结合经验和知识的能力四、模糊算法的发展与挑战1. 模糊算法的发展历程2. 模糊算法在实际应用中的挑战3. 模糊算法与其他人工智能算法的比较4. 模糊算法在未来的发展方向5. 模糊算法的未来应用前景五、结论与展望1. 总结模糊算法的重要性和应用领域2. 展望模糊算法在人工智能领域的发展前景3. 提出进一步深入研究与应用模糊算法的建议总结：通过对人工智能中的模糊算法进行介绍和分析，可以看出模糊算法具有处理不确定性和模糊性信息的能力，广泛应用于图像识别、数据挖掘、专家系统、自动驾驶和预测分析等领域。
模糊算法具有不确定性处理能力、可解释性、鲁棒性和灵活性等特点，但在实际应用中也面临着挑战。
未来，模糊算法的发展方向包括改进算法效率、提高算法准确性，并结合其他人工智能算法进行深入研究和应用。
可以预见，模糊算法在人工智能领域将有更广阔的应用前景。
模糊理论
模糊理论(Fuzzy Logic)目录●模糊的基本概念●模糊理论的发展●模糊理论的基本精神●模糊理论至今的应用1、模糊的基本概念概念是思维的基本形式之一，它反映了客观事物的本质特征。
人类在认识过程中，把感觉到的事物的共同特点抽象出来加以概括，这就形成了概念。
比如从白雪、白马、白纸等事物中抽象出“白”的概念。
一个概念有它的内涵和外延，内涵是指该概念所反映的事物本质属性的总和，也就是概念的内容。
外延是指一个概念所确指的对象的范围。
例如“人”这个概念的内涵是指能制造工具，并使用工具进行劳动的动物，外延是指古今中外一切的人。
所谓模糊概念是指这个概念的外延具有不确定性，或者说它的外延是不清晰的，是模糊的。
例如“青年”这个概念，它的内涵我们是清楚的，但是它的外延，即什么样的年龄阶段内的人是青年，恐怕就很难说情楚，因为在“年轻”和“不年轻”之间没有一个确定的边界，这就是一个模糊概念。
需要注意的几点：首先，人们在认识模糊性时，是允许有主观性的，也就是说每个人对模糊事物的界限不完全一样，承认一定的主观性是认识模糊性的一个特点。
例如，我们让100个人说出“年轻人”的年龄范围，那么我们将得到100个不同的答案。
尽管如此，当我们用模糊统计的方法进行分析时，年轻人的年龄界限分布又具有一定的规律性；其次，模糊性是精确性的对立面，但不能消极地理解模糊性代表的是落后的生产力，恰恰相反，我们在处理客观事物时，经常借助于模糊性。
例如，在一个有许多人的房间里，找一位“年老的高个子男人”，这是不难办到的。
这里所说的“年老”、“高个子”都是模糊概念，然而我们只要将这些模糊概念经过头脑的分析判断，很快就可以在人群中找到此人。
如果我们要求用计算机查询，那么就要把所有人的年龄，身高的具体数据输入计算机，然后我们才可以从人群中找这样的人。
最后，人们对模糊性的认识往往同随机性混淆起来，其实它们之间有着根本的区别。
随机性是其本身具有明确的含义，只是由于发生的条件不充分，而使得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系，从而事件的出现与否表现出一种不确定性。
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几种常用关系
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特征函数
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集合A的特征函数表示：
A = {x ∈ X | µ A ( x) = 1}
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集合的运算与特征函数的运算有下列关系：
(1 ) A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ X , µ (2) A = B ⇔ µ (3 ) µ (4)µ (5 ) µ (6 )µ (7 ) µ
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
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4．在论域E中,由所有属于A而不属于B的所有元素组 在论域E 由所有属于A而不属于B 成的集合S,称为A S,称为 的差集，记为A Ｂ，亦 成的集合S,称为A与B的差集，记为A-B或A\Ｂ，亦 称为A 称为A与B的相对补 S=Ａ－Ｂ＝ Ｂ＝｛x| Ａ－Ｂ＝A A但 B｝ S=Ａ－Ｂ＝A\Ｂ＝｛x| x ∈ A但x ∉ B｝ ５．对称差：由仅属于集合Ａ与仅属于集合Ｂ的所有 对称差：由仅属于集合Ａ与仅属于集合Ｂ Θ 元素组成的集合Ｓ称为Ａ 的对称差，记为ＡＢ 元素组成的集合Ｓ称为Ａ与Ｂ的对称差，记为ＡＢ Ｂ＝（Ａ－Ｂ）∪ Ｓ＝Ａ ΘＢ＝（Ａ－Ｂ）∪（Ｂ－Ａ）
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一一映射
一一映射：如果f既是单射又是满射，则称f 为双射，也称为一一映射。
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关系
关系：表示集合中元素与元素之间的关系，元素 关系 可以是同一集合中的元素，也可以是不同集合的 元素。 定义：对于给定集合A、B的直积A×B的一个子 集R，称为A到B的二元关系，简称为关系。对于 A×B的元素(x，y)，若有<x，y>∈ R，则称x 与y相关，记为xRy；否则<x，y> R，记为 x R y。 设f:A→B，若x∈A,y∈ B,显然有{<x， y>|y=f(x)} ⊆ A×B，可见映射f是关系的特例。 N元关系： 若集合A中的全体元素均为有序的n元 组序偶，则称A为N元关系。
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９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
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集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
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集合的运算性质
Ｅ，其并 其并、 补运算具有以下性质： 设Ａ、Ｂ、Ｃ ⊆ Ｅ，其并、交、补运算具有以下性质： Ａ＝A 1．幂等律 Ａ∩Ａ＝Ａ Ａ∪Ａ＝A A∩Ｂ＝Ｂ Ｂ＝Ｂ∩ Ｂ＝Ｂ∪ 2．交换律 A∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ )∩Ｃ＝Ａ （Ｂ∩ Ｃ＝Ａ∩ 3．结合律 (Ａ∩Ｂ)∩Ｃ＝Ａ∩（Ｂ∩Ｃ） （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ＝Ａ∪（Ｂ∪ （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ＝Ａ∪（Ｂ∪Ｃ） （Ｂ∪ ）＝(A∩ )∪（Ａ (A∩Ｂ （Ａ∩ 4．分配律 Ａ∩（Ｂ∪C）＝(A∩Ｂ)∪（Ａ∩Ｃ) （Ｂ∩ ）＝(A∪ (A∪Ｂ ∩（Ａ （Ａ∪ Ａ∪（Ｂ∩C）＝(A∪Ｂ) ∩（Ａ∪Ｃ) ∪Ｂ ∪(Ａ 5．吸收律 A∩(A ∪Ｂ)＝A A ∪(Ａ∩Ｂ)＝A 同一律（两极律） 6．同一律（两极律） Ａ∪Ｅ＝Ｅ Ａ∪Φ＝Ａ Ａ∩E＝Ａ Ａ ∩Φ＝Φ 7．复原律 （ＡＣ）Ｃ＝Ａ 8．互补律 Ａ∪ＡＣ＝Ｅ Ａ∩ＡＣ＝Φ
第一部分 模糊理论及其运用
內容
前言 经典集合理论回顾 Fuzzy Fuzzy 集理论 Fuzzy 隶属函数
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前言
模糊理论(fuzzy theory)最早于美国加洲 模糊理论(fuzzy theory)最早于美国加洲 大学L.A Zadeh教授在1965年所发表的 教授在1965 大学L.A Zadeh教授在1965年所发表的 Control」期刊论文中。 「Information and Control」期刊论文中。 它是一种用以数学模型来描述语意式的模糊 信息的方法。 信息的方法。 不论是消费电子产品、工业控制器、 不论是消费电子产品、工业控制器、语音辨 影像处理、机器人、决策分析、 识、影像处理、机器人、决策分析、数据探 勘、数学规划以及软件工程上都可以看见到 模糊理论的踪迹。 模糊理论的踪迹。
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模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
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映射与关系
若有一对应法则f存在， 1．定义： 设有集合A和B．若有一对应法则f存在， 定义： 设有集合A 使得对于集合A中任意元素x 中唯一的元素y 使得对于集合A中任意元素x，有B中唯一的元素y与 之对应，则称此对应法则f为从A 的映射， 之对应，则称此对应法则f为从A到B的映射，记为 f: A→B A称为映射f的定义域，B称为f的值域，y称为x在f作 称为映射f的定义域， 称为f的值域， 称为x 用下的象，记为：y=f(x)， 用下的象，记为：y=f(x)， 并用符号表示： 并用符号表示： f : x|→y 称为y x称为y的一个原象 说明：由定义可知，集合A中的所有元素在B中都有象， 说明：由定义可知，集合A中的所有元素在B中都有象， 的有的元素可以没有原象。 而B的有的元素可以没有原象。且A中可以有多个元 素对应B中的一个元素。且不允许一对多。 素对应B中的一个元素。且不允许一对多。
例1：设A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，A 到B的二元关系R={〈a,b〉|a>b}，求关系矩 阵MR
解：R={〈a,b〉|a>b}={<4,1>,<4,2>,<4,3>,<3,1>,<3,2>,<2,1>} B 123A
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方法2： 方法 ：关系图
A上关系R的关系图是一个有向图（A，R），其中： （1）用小圆圈表示ai ∈A，i=1,2,3,…,n。 （2）如有〈ai,aj〉 R，则用弧线或直线把xi,xj联结， ∈ 并标上由ai指向aj的箭号 ∈ （3）如〈ai,ai〉R，则在xi的小圈处画上一条自封闭 的弧线。 图上表示xi的小圈称为结点（顶点），有向弧线 称为有向边，自封闭弧线称为闭路（自回路），与任 何结点无联系的单独结点称为孤立点。
14
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几种常见映射的定义----单射 单射
单射：映射f: A→B，若有 单射 ∀ x,y ∈ A, x≠y→f(x) ≠f(y) 则称f 为单射 （A的不同元素不允许有相同的象）
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满射
满射：映射f: A→B，若 有 满射 ∀ y∈ B， 都存在 x ∈A 使y=f(x) , 则称f为满 射（B的所有的元素都有原象）
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经典集合理论回顾
经典集合论(Set Theory)是德国著名数学 经典集合论(Set Theory)是德国著名数学 CANTOR在总结前人和基础上创立的 在总结前人和基础上创立的， 家CANTOR在总结前人和基础上创立的，它 为整个经典数学的各分支提供了共同的理 论基础。 论基础。 另一个德国数学家蔡梅罗（ZERMELO） 另一个德国数学家蔡梅罗（ZERMELO）于 1908年建立了集合论的公理系统 年建立了集合论的公理系统， 1908年建立了集合论的公理系统，由这个 公理系统， 公理系统，他推出了所有数学上的重要结 这样， 果，这样，集合这个概念能作为数学的一 个基本概念得到了证明。 个基本概念得到了证明。
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集合的表示
集合用{ }表示 表示， 集合用{ }表示，对于有限集合可以用列 举法来表示： 举法来表示： 例如：X={1， 例如：X={1，2，3，…，N} ， 对于元素不能列举的集合可以使用描述 法： P={x|x具有属性 具有属性M} P={x|x具有属性M}
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集合的运算
1．交集(Intersection)：若集合S是由同时属于集 交集(Intersection)：若集合S (Intersection) 和集合B的元素组成，则称S 的交集， 合A和集合B的元素组成，则称S为A和B的交集， 表示为： 表示为： A且 S=A∩B={x|x ∈A且x ∈ B} 并集(Union) 若集合S是由所有属于集合A (Union)： 2．并集(Union)：若集合S是由所有属于集合A和集 的元素组成，则称S 的并集，表示为： 合B的元素组成，则称S为A和B的并集，表示为： A或 S=A∪B={x|x ∈A或x∈ B} 补集(Supplement) 在论域E (Supplement)： 3．补集(Supplement)：在论域E中由所有不属于集 的元素组成的集合称为集合A 合A的元素组成的集合称为集合A的补集 =EA)且 E） AC=E-A={x|(x ∉ A)且（x ∈ E）}
∉
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关系的表示
方法一： 方法一：关系矩阵
定义：设集合A={a1,a2,…,am}, B={b1,b2,…,bn}，则R：A→B可以用矩阵 R=[rij] 来表示，其中