模糊理论及应用(1)

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几种常用关系
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特征函数
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集合A的特征函数表示：
A = {x ∈ X | µ A ( x) = 1}
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集合的运算与特征函数的运算有下列关系：
(1 ) A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ X , µ (2) A = B ⇔ µ (3 ) µ (4)µ (5 ) µ (6 )µ (7 ) µ
t∈ T
t∈T
{µ {µ
} ( x )}
(x)
其中， 表示上确界， 是 表示下确界， 其中，SUP是superior表示上确界，inf是inferior表示下确界，在有限的 是 表示上确界 表示下确界 情形下， 有时上、下确界分别用内插符∨ 情形下， SUP=max,inf=min, 有时上、下确界分别用内插符∨、∧来 表示， 有时还可以简化为： 表示，即∨=sup, ∧=inf,有时还可以简化为：∨=+， ∧=· 有时还可以简化为 ，
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4．在论域E中,由所有属于A而不属于B的所有元素组 在论域E 由所有属于A而不属于B 成的集合S,称为A S,称为 的差集，记为A Ｂ，亦 成的集合S,称为A与B的差集，记为A-B或A\Ｂ，亦 称为A 称为A与B的相对补 S=Ａ－Ｂ＝ Ｂ＝｛x| Ａ－Ｂ＝A A但 B｝ S=Ａ－Ｂ＝A\Ｂ＝｛x| x ∈ A但x ∉ B｝ ５．对称差：由仅属于集合Ａ与仅属于集合Ｂ的所有 对称差：由仅属于集合Ａ与仅属于集合Ｂ Θ 元素组成的集合Ｓ称为Ａ 的对称差，记为ＡＢ 元素组成的集合Ｓ称为Ａ与Ｂ的对称差，记为ＡＢ Ｂ＝（Ａ－Ｂ）∪ Ｓ＝Ａ ΘＢ＝（Ａ－Ｂ）∪（Ｂ－Ａ）
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一一映射
一一映射：如果f既是单射又是满射，则称f 为双射，也称为一一映射。
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关系
关系：表示集合中元素与元素之间的关系，元素 关系 可以是同一集合中的元素，也可以是不同集合的 元素。 定义：对于给定集合A、B的直积A×B的一个子 集R，称为A到B的二元关系，简称为关系。对于 A×B的元素(x，y)，若有<x，y>∈ R，则称x 与y相关，记为xRy；否则<x，y> R，记为 x R y。 设f:A→B，若x∈A,y∈ B,显然有{<x， y>|y=f(x)} ⊆ A×B，可见映射f是关系的特例。 N元关系： 若集合A中的全体元素均为有序的n元 组序偶，则称A为N元关系。
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９．对偶律（对偶律也称德摩根定律） 对偶律（对偶律也称德摩根定律）
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集合的直积（笛卡尔积） 集合的直积（笛卡尔积）
１．序偶：是由两个具有固定的客体组成，序偶中 元素的顺序是不允许改变的。 〈x,y> 三元组序偶〈〈x,y>,z>简写为〈x,y,z> 2. 笛卡尔积:任意给定两个集合Ａ和Ｂ，如果序偶 的第一个元素取自集合Ａ，而第二个元素取自集 合Ｂ，则所有这样的序偶组成的集合被定义为集 合Ａ和Ｂ的直积或笛卡尔积或叉积，记为： Ａ×Ｂ＝｛〈x,y>｜（x∈A）且(y∈B)｝
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集合的运算性质
Ｅ，其并 其并、 补运算具有以下性质： 设Ａ、Ｂ、Ｃ ⊆ Ｅ，其并、交、补运算具有以下性质： Ａ＝A 1．幂等律 Ａ∩Ａ＝Ａ Ａ∪Ａ＝A A∩Ｂ＝Ｂ Ｂ＝Ｂ∩ Ｂ＝Ｂ∪ 2．交换律 A∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ )∩Ｃ＝Ａ （Ｂ∩ Ｃ＝Ａ∩ 3．结合律 (Ａ∩Ｂ)∩Ｃ＝Ａ∩（Ｂ∩Ｃ） （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ＝Ａ∪（Ｂ∪ （Ａ∪Ｂ）∪Ｃ＝Ａ∪（Ｂ∪Ｃ） （Ｂ∪ ）＝(A∩ )∪（Ａ (A∩Ｂ （Ａ∩ 4．分配律 Ａ∩（Ｂ∪C）＝(A∩Ｂ)∪（Ａ∩Ｃ) （Ｂ∩ ）＝(A∪ (A∪Ｂ ∩（Ａ （Ａ∪ Ａ∪（Ｂ∩C）＝(A∪Ｂ) ∩（Ａ∪Ｃ) ∪Ｂ ∪(Ａ 5．吸收律 A∩(A ∪Ｂ)＝A A ∪(Ａ∩Ｂ)＝A 同一律（两极律） 6．同一律（两极律） Ａ∪Ｅ＝Ｅ Ａ∪Φ＝Ａ Ａ∩E＝Ａ Ａ ∩Φ＝Φ 7．复原律 （ＡＣ）Ｃ＝Ａ 8．互补律 Ａ∪ＡＣ＝Ｅ Ａ∩ＡＣ＝Φ
第一部分 模糊理论及其运用
內容
前言 经典集合理论回顾 Fuzzy Fuzzy 集理论 Fuzzy 隶属函数
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前言
模糊理论(fuzzy theory)最早于美国加洲 模糊理论(fuzzy theory)最早于美国加洲 大学L.A Zadeh教授在1965年所发表的 教授在1965 大学L.A Zadeh教授在1965年所发表的 Control」期刊论文中。 「Information and Control」期刊论文中。 它是一种用以数学模型来描述语意式的模糊 信息的方法。 信息的方法。 不论是消费电子产品、工业控制器、 不论是消费电子产品、工业控制器、语音辨 影像处理、机器人、决策分析、 识、影像处理、机器人、决策分析、数据探 勘、数学规划以及软件工程上都可以看见到 模糊理论的踪迹。 模糊理论的踪迹。
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模糊集合论(Fuzzy 模糊集合论(Fuzzy set)
Fuzzy set
经典集合理论 传统集合理论，通常是以二值化0 表示， 传统集合理论，通常是以二值化0或1表示， 所谓「 不是」两种的决择方式。 所谓「是」与「不是」两种的决择方式。 是一种明确的集合论 例如: 例如:男生和女生的性别 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5 1~5的 例如:明确集合{1,2,3,4,5}, 定义是1~5的 五个正整数，请问集合中有没有3 五个正整数，请问集合中有没有3，答案 是有;而集合中有没有6 答案是没有。 是有;而集合中有没有6，答案是没有。可 以很明确的分辨「 还是「 以很明确的分辨「有」还是「无」。
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映射与关系
若有一对应法则f存在， 1．定义： 设有集合A和B．若有一对应法则f存在， 定义： 设有集合A 使得对于集合A中任意元素x 中唯一的元素y 使得对于集合A中任意元素x，有B中唯一的元素y与 之对应，则称此对应法则f为从A 的映射， 之对应，则称此对应法则f为从A到B的映射，记为 f: A→B A称为映射f的定义域，B称为f的值域，y称为x在f作 称为映射f的定义域， 称为f的值域， 称为x 用下的象，记为：y=f(x)， 用下的象，记为：y=f(x)， 并用符号表示： 并用符号表示： f : x|→y 称为y x称为y的一个原象 说明：由定义可知，集合A中的所有元素在B中都有象， 说明：由定义可知，集合A中的所有元素在B中都有象， 的有的元素可以没有原象。 而B的有的元素可以没有原象。且A中可以有多个元 素对应B中的一个元素。且不允许一对多。 素对应B中的一个元素。且不允许一对多。
例1：设A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，A 到B的二元关系R={〈a,b〉|a>b}，求关系矩 阵MR
解：R={〈a,b〉|a>b}={<4,1>,<4,2>,<4,3>,<3,1>,<3,2>,<2,1>} B 123A
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方法2： 方法 ：关系图
A上关系R的关系图是一个有向图（A，R），其中： （1）用小圆圈表示ai ∈A，i=1,2,3,…,n。 （2）如有〈ai,aj〉 R，则用弧线或直线把xi,xj联结， ∈ 并标上由ai指向aj的箭号 ∈ （3）如〈ai,ai〉R，则在xi的小圈处画上一条自封闭 的弧线。 图上表示xi的小圈称为结点（顶点），有向弧线 称为有向边，自封闭弧线称为闭路（自回路），与任 何结点无联系的单独结点称为孤立点。
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几种常见映射的定义----单射 单射
单射：映射f: A→B，若有 单射 ∀ x,y ∈ A, x≠y→f(x) ≠f(y) 则称f 为单射 （A的不同元素不允许有相同的象）
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满射
满射：映射f: A→B，若 有 满射 ∀ y∈ B， 都存在 x ∈A 使y=f(x) , 则称f为满 射（B的所有的元素都有原象）
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经典集合理论回顾
经典集合论(Set Theory)是德国著名数学 经典集合论(Set Theory)是德国著名数学 CANTOR在总结前人和基础上创立的 在总结前人和基础上创立的， 家CANTOR在总结前人和基础上创立的，它 为整个经典数学的各分支提供了共同的理 论基础。 论基础。 另一个德国数学家蔡梅罗（ZERMELO） 另一个德国数学家蔡梅罗（ZERMELO）于 1908年建立了集合论的公理系统 年建立了集合论的公理系统， 1908年建立了集合论的公理系统，由这个 公理系统， 公理系统，他推出了所有数学上的重要结 这样， 果，这样，集合这个概念能作为数学的一 个基本概念得到了证明。 个基本概念得到了证明。
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集合的表示
集合用{ }表示 表示， 集合用{ }表示，对于有限集合可以用列 举法来表示： 举法来表示： 例如：X={1， 例如：X={1，2，3，…，N} ， 对于元素不能列举的集合可以使用描述 法： P={x|x具有属性 具有属性M} P={x|x具有属性M}
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集合的运算
1．交集(Intersection)：若集合S是由同时属于集 交集(Intersection)：若集合S (Intersection) 和集合B的元素组成，则称S 的交集， 合A和集合B的元素组成，则称S为A和B的交集， 表示为： 表示为： A且 S=A∩B={x|x ∈A且x ∈ B} 并集(Union) 若集合S是由所有属于集合A (Union)： 2．并集(Union)：若集合S是由所有属于集合A和集 的元素组成，则称S 的并集，表示为： 合B的元素组成，则称S为A和B的并集，表示为： A或 S=A∪B={x|x ∈A或x∈ B} 补集(Supplement) 在论域E (Supplement)： 3．补集(Supplement)：在论域E中由所有不属于集 的元素组成的集合称为集合A 合A的元素组成的集合称为集合A的补集 =EA)且 E） AC=E-A={x|(x ∉ A)且（x ∈ E）}
∉
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关系的表示
方法一： 方法一：关系矩阵
定义：设集合A={a1,a2,…,am}, B={b1,b2,…,bn}，则R：A→B可以用矩阵 R=[rij] 来表示，其中
1 xi Ry i − rij = 0 xi R y i
矩阵R称为关系矩阵，关系矩阵是布尔矩阵。
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关系矩阵举例
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B且 A， 6．相等：设A，B是集合，若A ⊆ B且B ⊆A，则 相等： 是集合， 相等，记为A=B 说A与B相等，记为A=B 全集与空集： 7．全集与空集：由论域中所有元素组成的 集合，称为全集， 集合，称为全集，用E或U表示 不包含任何元素的集合，称为空集， 不包含任何元素的集合，称为空集，用 Φ表示. 表示. 幂集（ set）：若给定集合X ）：若给定集合 8．幂集（power set）：若给定集合X，则 的所有子集组成的集合称为X的幂集。 由X的所有子集组成的集合称为X的幂集。 记为： 记为：ψ（X）={A|A⊆X}
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经典集合运算和性质
几个基本概念
论域：所讨论的数学对象的全体。 1. 论域：所讨论的数学对象的全体。又称全域或空间 集合（SET）：具有同一本质属性的全体对象的总和， ）：具有同一本质属性的全体对象的总和 2．集合（SET）：具有同一本质属性的全体对象的总和，集 合常用大写字母表示。 合常用大写字母表示。 集合的元素：是指属于该集合的任何客体。 3．集合的元素：是指属于该集合的任何客体。一般用小写 字母表示。 字母表示。 集合和元素的关系：属于∈ 4．集合和元素的关系：属于∈或不属于 子集（SUBSET）： ）：设 是论域， 的子集， 5．子集（SUBSET）：设X是论域，A是X的子集，即A的所有 元素均是X的元素，或者说A 中的某些元素组成的集合。 元素均是X的元素，或者说A是X中的某些元素组成的集合。 A ⊆ X 包含于X，或X包含A）。若 A ⊆且A≠ 包含A）。若 记为 （A包含于X ， X ⊂ Ｘ，则称 则称Ａ 的真子集，记为Ａ Ｘ（A真包含于X Ｘ，则称Ａ为Ｘ的真子集，记为Ａ Ｘ（A真包含于X， 真包含A 或X真包含A）
A∪ B A∩ B
−
A B
(x) ≤ µ (x)
B
() = min
A
{µ A ( x ), µ B ( x ) } {µ A ( x ), µ B ( x ) }
At At
A
(x) = 1 − µ
∪
(x)
t∈T At t∈ T At
∩
( x ) = sup ( x ) = inf