概率论全概率公式
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念，它系统地表达了事件发生的
几率，它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。
全概率公式由它
的发明者布朗定理提出，它以下简称为B-公式，它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来，具体地说，就是：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
其中：P(A)是A发生的概率，P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率；P(A，B1)~P(A，Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率，
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中，A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率，再相加，而本质上
它是一个分母的二项式展开。
贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念，它描述了在已知其中一种情
况的概率后，观察到其中一种事件后，该情况发生的可能性，它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断，它有一下公式发挥着作用：P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)
其中：P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率；P(A，B)是事件B发生后A发生的条件概率；P(B，A)是事件A发生后B发
生的条件概率。
概率问题基本公式
概率问题基本公式
概率问题基本公式有以下几种：
1. 总体概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A包含的样本点数，n(S)表示样本空间中的总样本点数。
2. 条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
3. 乘法法则：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4. 加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少发生一个的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
5. 全概率公式：P(A) = ∑[P(A|Bi) * P(Bi)]，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，∑表示对所有可能的Bi进行求和。
这些公式是概率论中的基本公式，常用于求解概率问题。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
全概率公式和贝叶斯公式(先验概率和后验概率)
全概率公式和贝叶斯公式（先验概率和后验概率）全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是统计学中重要的概率公式，用于计算给定一些条件下的概率。
这两个公式是概率论和统计学中常用的工具，可以解决很多实际问题，从机器学习到社会科学中的调查研究。
P(A)=Σ[P(A，Bi)*P(Bi)]其中，P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在给定事件Bi的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
贝叶斯公式是在给定一些观察或证据的情况下，计算一个事件的概率的公式。
它基于条件概率的概念，将因果关系转化为条件概率的形式，并用于根据已知的先验概率更新为后验概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(A，B)=[P(B，A)*P(A)]/P(B)其中，P(A，B)表示在观察到事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的先验概率。
全概率公式和贝叶斯公式经常一起使用，特别在机器学习和数据分析中被广泛应用。
通过使用全概率公式，可以将复杂问题分解为多个简单的条件概率问题，然后再使用贝叶斯公式根据已知的先验概率和条件概率计算后验概率。
这样可以更好地理解问题，并得到更准确的结果。
举个例子来说明这两个公式的应用：假设有两个工厂A和B，它们负责生产其中一种产品。
已知A工厂的产品次品率为20%，而B工厂的产品次品率为10%。
现在我们收到一批产品，但不知道是哪个工厂生产的。
一些产品是次品的概率是10%。
问这个产品是来自A工厂的概率是多少？首先，我们可以用全概率公式来计算得到：P(A)=0.5（因为两个工厂的概率相等）P(A，B)=[P(B，A)*P(A)]/P(B)P(B，A)是在A工厂生产的条件下产品是次品的概率P(A)已经计算得到为0.5P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，¬A)*P(¬A)=0.02*0.5+0.1*0.5=0.03将这些值代入贝叶斯公式，可以得到：P(A，B)=(0.02*0.5)/0.03≈0.33因此，基于给定的证据，这个产品是来自A工厂的概率约为33%。
概率的三大公式
概率的三大公式一、加法定理加法定理是概率论中最基本的公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∪B)，其中∪表示并集。
加法定理的公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
举个例子来说明加法定理的应用。
假设有一个袋子里有红球和蓝球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在我们从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据加法定理，我们可以计算出P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 1。
因此，抽到红球或者蓝球的概率为1。
二、乘法定理乘法定理是概率论中另一个重要的公式，用于计算两个事件同时发生的概率。
假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)，其中∩表示交集。
乘法定理的公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
举个例子来说明乘法定理的应用。
假设有一个扑克牌的牌组，牌组中有52张牌。
现在我们从牌组中依次抽取两张牌，求第一张牌是红心的概率，且第二张牌是黑桃的概率。
根据乘法定理，我们可以计算出P(第一张牌是红心∩第二张牌是黑桃) = P(第一张牌是红心) × P(第二张牌是黑桃|第一张牌是红心) = 1/4 × 13/51 = 1/12。
因此，第一张牌是红心且第二张牌是黑桃的概率为1/12。
三、全概率公式全概率公式是概率论中用于计算复合事件概率的重要公式。
假设B1、B2、B3...是一组互不相容的事件，并且它们的并集构成了样本空间。
那么对于任意一个事件A，全概率公式的公式如下：P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + P(A|B3) × P(B3) + ...其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。
P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)我们可以将事件A表示为：A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。
接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式：P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi)这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。
将上式代入前面的公式中，我们得到：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的证明过程。
总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。
概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式
概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式
一、概率论
概率论是数学的一个分支，是研究随机事件发生的可能性的一门学科。
它用来研究不确定环境中的随机性事件，推断它们未来发生的概率及其不
确定性。
它的本质是研究未来发生其中一种随机事件可能性的推断，归结
为在各种情况下出现其中一种事件的概率。
概率值的范围是[0,1]，其中
0表示绝对不可能，1表示绝对可能。
二、条件概率
条件概率是概率的一种，它指的是基于已有的概率模型，利用已知信
息去估算当概率模型的变量条件发生时，其他变量出现的概率。
它有两个
定义：
1）条件概率定义：当事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记
为P(B，A)；
2）条件概率公式：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
三、全概率公式
全概率公式是概率中最重要的一条公式，它表示的是其中一随机事件
发生的概率与另一个或更多的条件相关，它描述的是事件B的概率，即：
P(B)=ΣP(B，Ai)P(Ai)，其中P(B，Ai)表示在Ai的条件下B发生的概率，P(Ai)表示Ai的概率。
贝叶斯公式是一种概率的计算方法，其定义为：
P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)
其中P(A，B)表示B条件下A的概率。
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率论公式1.概率的基本性质：-非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0；-规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；-可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,...），有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。
2.条件概率：-事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；-乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。
3.全概率公式：-事件A的概率：P(A)=ΣP(A，Bi)*P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分。
4.贝叶斯公式：-事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率：P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，Bj)*P(Bj)，其中Bj为样本空间的一个划分。
5.独立性：-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布：-离散型随机变量的概率分布函数：P(X=x)；-连续型随机变量的概率密度函数：f(x)。
2.数理统计的基本概念：-样本均值：X̄=ΣXi/n；-样本方差：s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1)；-样本标准差：s=√s^2；- 样本协方差：sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。
3.大数定律：-样本均值的大数定律：当样本容量n趋向于无穷大时，样本均值X̄趋向于总体均值μ。
4.中心极限定理：-样本均值的中心极限定理：当样本容量n足够大时，样本均值X̄服从近似正态分布。
5.参数估计：-点估计：用样本统计量对总体参数进行估计；-置信区间估计：用样本统计量构造一个区间，以估计总体参数的范围。
6.假设检验：-假设检验的基本步骤：提出原假设H0和备择假设H1，选择适当的检验统计量，计算拒绝域，进行假设检验。
以上只是概率论与数理统计中的一些重要公式和定理，还有很多其他的公式和定理没有一一列举。
掌握这些公式和定理，可以帮助我们更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。
全概率公式经典例题大题
全概率公式经典例题大题全概率公式是概率论中的一个重要概念，在解决很多实际问题时都能发挥大作用。
咱们今天就通过几道经典例题，来好好聊聊这个全概率公式。
先来说说啥是全概率公式。
简单来讲，就是如果事件 B 可以被一系列互斥且完备的事件 A1、A2、A3……An 所划分，那么事件 B 发生的概率，就等于这些事件 A 分别发生时导致事件 B 发生的概率的加权和。
公式表达就是：P(B) = P(A1)×P(B|A1) + P(A2)×P(B|A2) + …… +P(An)×P(B|An) 。
咱们来看一道经典例题：假设某工厂有三个车间生产同一种产品，产量分别占总产量的 25%、35%和 40%。
三个车间产品的次品率分别为 5%、4%和 2%。
现在从全厂的产品中随机抽取一件，求抽到次品的概率。
这道题就是全概率公式的典型应用。
咱们设事件 A1 表示抽到的产品来自第一个车间，事件 A2 表示抽到的产品来自第二个车间，事件A3 表示抽到的产品来自第三个车间，事件 B 表示抽到次品。
那么 P(A1) = 0.25，P(A2) = 0.35，P(A3) = 0.4，P(B|A1) = 0.05，P(B|A2) = 0.04，P(B|A3) = 0.02 。
根据全概率公式，P(B) = 0.25×0.05 + 0.35×0.04 + 0.4×0.02 = 0.0345 。
咱们再来看一个生活中的例子。
比如说，在一个城市里，有晴天、多云和雨天三种天气情况，分别占比 40%、30%和 30%。
在晴天时，交通拥堵的概率是 20%；在多云时，交通拥堵的概率是 30%；在雨天时，交通拥堵的概率是 50%。
那么随机选择一天，这天交通拥堵的概率是多少？这也是全概率公式能轻松解决的问题。
设事件 A1 表示这一天是晴天，事件 A2 表示这一天是多云，事件 A3 表示这一天是雨天，事件 B表示交通拥堵。
概率论的公式大全
概率论的公式大全一、基本概率公式：1.定义概率公式：对于任意事件A，概率P(A)的范围是[0,1]。
2.互补事件概率公式：对于任意事件A，概率P(A')=1-P(A)。
3.空集概率公式：对于空集Φ，概率P(Φ)=0。
二、条件概率公式：4.定义条件概率公式：对于事件A和B，当P(B)>0时，条件概率P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
5.乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B)=P(A，B)·P(B)。
三、独立事件公式：6.独立事件公式：对于事件A和B，当P(A)>0且P(B)>0，事件A和事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)·P(B)。
7.乘法公式（多个独立事件）：对于事件A1，A2，...，An，P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)。
四、加法公式：8.加法公式（两个互不相容事件）：对于事件A和B，当A和B互不相容（即A∩B=Φ）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
9.加法公式（两个一般事件）：对于事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
五、全概率公式：10.全概率公式：对于任意一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(A，Bi)·P(Bi)]，其中Σ表示求和。
六、贝叶斯公式：11.贝叶斯公式：对于事件A和一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)·P(Bi)/[Σ[P(A，Bj)·P(Bj)]]，其中Σ表示求和。
七、期望与方差公式：12.期望公式：对于随机变量X的概率分布函数P(x)，它的期望E(X)定义为E(X)=Σ[x·P(x)]，其中Σ表示求和。
广义全概率公式
广义全概率公式
全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
内容：如果事件B₁、B₂、B₃…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。
或者：p(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。
全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
全概率公式的意义：将一个复杂的事件 [公式] 拆分为较简单的事件 [公式] ，然后在结合加法公式和乘法公式计算出 [公式] 的概率。
内容：如果事件B₁、B₂、B₃…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。
或者：p(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。
1。
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式在概率论中，全概率公式和贝叶斯公式是两个十分重要且常用的公式。
它们可以帮助我们在面对不确定性情况下做出准确的推断和决策。
本文将详细介绍全概率公式和贝叶斯公式的概念、用法以及实际应用。
一、全概率公式全概率公式（Law of Total Probability）是一种计算复合事件概率的方法。
当我们面对多个事件并且这些事件能够划分全集时，可以利用全概率公式来计算某个事件的概率。
假设有事件A1、A2、A3...An，且它们构成了一个完备事件组，即这些事件能够覆盖所有可能发生的情况，并且两两互斥（即任意两个事件的交集为空集）。
此时，对于任意事件B，可以使用如下公式计算其概率：P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) + ... +P(B|An)P(An)其中，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率，P(Ai)表示事件Ai的概率。
举个例子来说明全概率公式的用法。
假设有两个工厂A和B生产同一种产品，分别占总生产量的60%和40%。
其中，A工厂的产品合格率为80%，而B工厂的合格率为90%。
现在我们要计算选择一个合格产品的概率。
定义事件G表示选择一个合格产品，事件A表示选择A工厂的产品。
根据全概率公式，可以得到：P(G) = P(G|A)P(A) + P(G|B)P(B) = 0.8 * 0.6 + 0.9 * 0.4 = 0.84因此，选择一个合格产品的概率为0.84。
二、贝叶斯公式贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是概率论中的另一个重要公式，它用于在已知一些先验信息的情况下，根据新的观测结果来更新我们对事件的概率估计。
假设有事件A和B，我们已经知道事件B发生的条件下事件A发生的概率P(A|B)，以及事件A发生的概率P(A)，我们希望计算在已经观测到事件B的情况下，事件A发生的概率P(A|B)。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
概率论与数理统计_全概率公式
P(B) 0.95 , P(B) 0.05 ,
所求的概率为P(B A) . 由贝叶斯公式
P( A B)P(B) P(B A)
P(AB)P(B) P(AB)98 0.95 0.55 0.05
0.97 .
这就是说, 当生产出的第一件产品是合格品时, 此
时机器调整良好的概率为0.97.
先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,
叫做先验概率.
而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.
小结
1. 全概率公式的实质： 当事件 A 的发生受到多个因素的影响时，我们通过 分析 A发生的原因(公式中的事件Bi )以及这些原因对事 件 A的影响程度(公式中的概率P(A Bi ))来计算 A发生的 概率.
在全概率公式中，通常把事件Bi 的概率P(Bi )
(i 1,2,, n) 叫做试验前的假设概率. [先验概率]
如果试验时 A确实发生了，则应重新估计事件 Bi
的概率，即计算条件概率P(Bi A)(i 1,2,,n), 称为
试验后的假设概率.
[后验概率]
由乘法定理，P( A)P(Bi A) P(Bi )P( A Bi ).
解： 设 A {从乙袋中取到的是白球 ｝, B1 {从甲袋中取出放入乙袋的是白球｝, B2 {从甲袋中取出放入乙袋的是红球｝,
由全概率公式得
P( A) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
5 7 3 6 53 0.7361. 8 9 8 9 72
[贝叶斯公式]
P(Bi
A)
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中，A表示我们要计算的事件，B1、B2、…、Bn表示不同的条件，P(B1)、P(B2)、…、P(Bn)表示这些条件发生的概率，P(A|B1)、P(A|B2)、…、P(A|Bn)表示在不同条件下事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和条件B1、B2、…、Bn构成一个完备事件组，即这些事件互不重叠且覆盖了所有可能的情况。
那么，我们可以将事件A 的概率表示为：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)其中，A∩B1表示事件A和条件B1同时发生的概率，以此类推。
根据条件概率的定义，我们可以将上式中的每一项表示为：P(A∩B1) = P(B1)P(A|B1)其中，P(A|B1)表示在条件B1下事件A发生的概率。
同理，我们可以得到：P(A∩B2) = P(B2)P(A|B2)…P(A∩Bn) = P(Bn)P(A|Bn)将上述式子代入P(A)的表达式中，得到：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的表达式。
通过上述证明过程，我们可以看出，全概率公式的核心思想是将一个事件的概率分解为在不同条件下的概率之和。
这个公式在实际应用中非常有用，可以帮助我们计算复杂事件的概率，从而更好地理解和应用概率论。
大学概率论必背公式
数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。
五、样本及抽样分布
1、常用统计量 （1）样本均值（样本平均数）
（2）样本方差
（3）k 阶样本矩
2、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 （1） 2—分 布
性质： A. 可加性 若1 ~ 2(n1)，2~ 2(n2 )，1， 2 独立，则1 + 2 ~ 2(n1+n2 )。 B. 期望与方差 若 ~ 2(n)，则 E()= n，D()=2n。 （2）t—分布 若 ~ N(0, 1), ~ 2(n), 与独立，则
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
称 X 服从参数为 p 的几何分布。 （3）二项分布 ( B(n, p) ) 以 X 记 n 重贝努里试验中 A 发生的次数，则其分布率为：
P( X k) C k p k (1 p)nk , (k 0,1, , n) n 称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 X~B(n，p)
（4）泊松(Poisson)分布 ( P() ) 若随机变量 X 的所有取值为一切非负整数，且其分布律为：
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
概率论全概率公式
概率论全概率公式全概率公式是概率论中一条重要的公式，它用于计算一个事件的概率，当该事件可以通过多种不同的方式发生时，可以通过全概率公式来计算出最终的概率。
全概率公式的数学表达如下：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，A表示要计算的事件，B1、B2、..、Bn表示一系列互不相容的事件，也称为样本空间的一个划分。
P(A，Bi)表示事件A在给定事件Bi的条件下发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概率公式的理论基础是条件概率公式，即：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)根据条件概率公式，可以推导全概率公式。
假设事件A可以通过事件B1、B2、..、Bn发生，那么事件A的概率可以表示为：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)又根据条件概率公式，可以将上式中的交集表示为：P(A∩Bi)=P(A，Bi)*P(Bi)将上式代入全概率公式中，得到：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)这样就得到了全概率公式。
全概率公式的应用非常广泛。
通常情况下，我们可以将一个事件的发生看作是其他一些事件的组合。
例如，一个班级的学生参加数学考试，我们可以将该事件看作是三种不同的情况：优秀、及格和不及格。
根据这三种情况的可能性和对应的概率，可以使用全概率公式来计算整个班级的平均分数。
另一个经典的例子是生存分析。
在医学研究中，我们经常需要计算一个人在一些时间段内生存下来的概率。
然而，由于种种原因，我们可能无法直接获得该概率。
这时，可以通过观察与生存情况相关的一些因素，例如患者的年龄、性别、疾病严重程度等，然后根据这些因素的分布和相关性，使用全概率公式来计算生存的概率。
除了上述应用，全概率公式还可以用于统计学、工程学和经济学等领域的概率模型中。
在实际问题中，我们经常会遇到一些复杂的概率事件，这时使用全概率公式可以将问题化简为计算一系列简单的条件概率，从而更容易得到最终的概率结果。
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率和全概率公式是概率论中的两个重要概念，也是解决实际问题时常用的工具。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；全概率公式则是用来计算某一事件发生的总概率，其中考虑了所有可能的情况。
条件概率的计算方法是根据贝叶斯定理得出的，公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A
发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表
示事件B发生的概率。
全概率公式的计算方法是将一个事件分解为若干个互不相交的
子事件，然后分别计算这些子事件的概率，再将它们相加得到总概率。
全概率公式的表达式为：P(A) = ∑[P(A|B_i)×P(B_i)]，其中B_i
表示事件A的所有可能的子事件，P(A|B_i)表示在B_i发生的条件下，事件A发生的概率，P(B_i)表示B_i发生的概率。
条件概率和全概率公式在实际应用中经常用于解决复杂问题，如在医学诊断中，通过已知的临床表现和检验结果，利用条件概率计算某种疾病的概率；在市场调查中，通过对各种因素的分析，利用全概率公式计算某产品销售的总概率等。
熟练掌握条件概率和全概率公式，对于解决实际问题具有重要的意义。
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n
Ω
n
证 P( B) P(B) P(( Ai )B) P( Ai B)
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
i 1
i 1
n
P(Ai)
n
n
i 1
i 1
A1 Ai … An
P(B/Ai)
注意：解题时先画因果关系图(多因一果)。 例1.17 (P10：矿工逃生问题)。 B
8
例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张， 求两张牌点数相同的概率。
解用Ai 表示第一次抽到的点数为i, i 1, 2, B表示两张点数相同 P(Ai )=4/52,i=1,2 ,13.
,13.
P( B / Ai ) 3 / 51
4 3 3 P( B) P( Ai ) P( B / Ai ) 13 52 51 51 i 1
4
例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在 30 年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪 水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪 水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？
解 记A={30年内无特大洪水}， B={未来10年内有特 大洪水}，则 A B ={40年内无特大洪水}
13
9
例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张， 求第二张牌点数大于第一张的概率。
解用Ai 表示第一次抽到的点数为i, i 1, 2, B表示第二张点数大于第一张点数。 P(Ai )=4/52,i=1,2 ,13.
,13.
P( B / Ai ) (13-i) 4 / 51
5
P( AB) P( A) P( B / A)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )P( An / A1 A2 An1 )
例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个 白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后 再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。 若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人 获奖的概率是多少？
P( BA) P( A AB ) P( A) P( A) P( A) P AB 0.2 0.15 0.25 P( A) 0.2 二、乘法公式 P( B / A)
P( AB) P( A / B) P( B)
P( AB) P( B) P( A / B)
P( B) 0 P( A) 0
P AM A1 A2 AM 1 M M M 1 M 1 M 2 M 2 1 1 ( )( )( ) ( ) M M 1 M M 1 M M 1 M M6 1
例3 袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次 任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai 为第i次取到红球，求概率P(A2)。
7
三、全概率公式 设A1 , A2 , …,An 是对 的一个划分：
(1) Ai Aj , i j (2)
BA BAn BA 2 i... 1 BA A1 A2 … … An
n
A
i 1 i
B
则对任何事件B有
P( B) P( Ai ) P( B / Ai )
i 1
问题：A3由哪几个原因引起？
P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )
概率论与数理统计
作业交两面内容全学的页码
1
一个教授都容易回答错误的概率问题
1990年，美国《Parade展示》杂志“Ask Marilyn” 专栏的主持人玛莉莲· 莎凡收到了一名读者的提问：
假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门
中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面 则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道 门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假 设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？
2
§1.4 条件概率与事件的独立性 一、条件概率
1．问题 E~产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。
M Ai = {第 i 次抽到次品}, i = 1, 2，P(Ai) N M P ( A ) P ( A / A ) ? 放回抽样时， 2 2 1 N M 1 M 不放回抽样时，P( A2 / A1 ) P(A2) < N N 1 M M > P(A2) P( A2 / A1 ) N N 1
3
2．定义
设A、B为两随机事件，且P(B) > 0，则称
P( AB) P( A / B) P( B)
为在 B 发生的条件下， A发生的条件概率。
B
Hale Waihona Puke AB AΩ注1．P(A/B) 是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB
后计算概率， P(A/B)本质上是一个无条件概率；
注2．条件概率满足三条公理及概率的其它性质。
解 P( A2 ) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
3 6 2 3 3 P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) 5 8 5 8 5
P( A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A1 ) P( A2 / A1 )
经过M次交换后， A中恰有M个白球 解 设 A Ak {在第k次交换中，A 中黑球与B中白球交换}
k 1,2,, M . 则A A1 A2 AM .由概率的乘法公式有
2 M ! P A P A1 A2 AM M M M M 1 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2