2021届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题Word版含解析
2021-2022年高三上学期第一次月考数学试题 含答案
2021-2022年高三上学期第一次月考数学试题 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合，则M∩N=（ ） A ． {y|y≥1} B ． {y|y ＞1}C ． {y|y ＞0}D ． {y|y≥0}2．下列命题中，真命题是（ ）A ．B ．的充分不必要条件C ．D ．22sin 3(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ 3. 已知命题：，则是（ ） A ．B ．C ．D ．4. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在上为增函数”的充要条件 B. 命题“使得 ”的否定是：“” C. “”是“”的必要不充分条件D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则p 是真命题5. 函数的图象( )A. 关于原点对称B. 关于直线y=x 对称C. 关于x 轴对称D. 关于y 轴对称6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]7．“a ＞b ＞0”是“ab ＜”的 （ ） A ．充分条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f [f (5)]＝( )A ．－5B ．－15 C.15D ．59．已知函数1,0()1,0x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．C ．D ．10. 已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－22<m <2＋2 2B ．m <2C ．m <2＋2 2D ．m ≥2＋2211.函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )．12. 已知函数满足，且是偶函数，当时， ，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13. 已知函数的图象经过点A (1,1)，则不等式的解集为______.14.已知函数，若为奇函数，则_____ ___。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.下列命题正确的是()A. 若ac>bc，则a>bB. 若a>b，c>d，则ac>bdC. 若a>b，则1a <1bD. 若ac2>bc2，则a>b2.已知函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一条对称轴是()A. x=π8B. x=π4C. x=π2D. x=3π43.函数f(x)=lg(x−2)+1x−3的定义域是()A. (2,3)B. (3,+∞)C. [2,3)∪(3,+∞)D. (2,3)∪(3,+∞)4.下列命题中的真命题是()A. 互余的两个角不相等B. 相等的两个角是同位角C. 若a2=b2，则|a|=|b|D. 三角形的一个外角等于和它不相等的一个内角二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集集合则．6.已知点A(2,−1)在角α的终边上，则sinα=______．7.函数f(x)=lgx−sinx在定义域(0,+∞)上的零点有个．8.(1−x2)8的二项展开式中含x2项的系数是______ ．9.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=−5，a n+1=a n+2，n∈N∗，那么S1，S2，S3，S4中最小的为______．10.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2sinAcosC=sinB，则ac的值为______ ．11.定义新运算为：，例如，则函数的值域为12.若a>0，b>0，且2a+b=1，则ba2+1b2的最小值为______13. 已知sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，且α、β均为锐角，则cos(α−β)= ______ ．14. 已知偶函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈(0,1)时，f(x)=2x ，则f(−52)= ______ ．15. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 10=______．16. 已知定义在R 上的函数f(x)周期为2，且∀x ∈R ，f(x)−f(−x)=0恒成立，当x ∈[−1,0]时，f(x)=x 2，若g(x)=f(x)−log 2020x 在(0,m]上恰有2019个零点，则整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA =1，PD =√2．(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的体积．18. 设函数f(x)=3⋅log 2(4x)，14≤x ≤4；(1)若t =log 2x ，求t 取值范围；(2)求f(x)的最值，并给出最值时对应的x 的值．19. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c ，a+b cosA+cosB =ccosC ．(1)求证：角A 、C 、B 成等差数列；(2)若角A 是△的最大内角，求cos(B +C)+√3sinA 的范围(3)若△ABC 的面积S △ABC =√3，求△ABC 周长的最小值．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n ．(1)求数列的通项a n；(n∈N+)，求数列的前n项和为T n．(1)令b n=1a n2+4n−121. 设函数f(x)=4x+a，ℎ(x)=2f(x)−ax−b．2x+1(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)若f(x)为奇函数，且ℎ(x)在[−1,1]有零点，求实数b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于A，若ac>bc，c≤0，则a>b不成立，不正确；对于B，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，不正确；对于C，若a>b>0，则1a <1b，不正确；对于D，若ac2>bc2，则a>b，正确．故选D．利用不等式的性质，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：解：函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则：π=2π2ω．所以：ω=1．故f(x)=cos2x．令：2x=kπ(k∈Z)，解得：x=kπ2(k∈Z)，当k=1时，x=π2．故选：C．直接利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．3.答案：D解析：解：要使函数有意义，需满足{x−2>0x−3≠0解得x>2且x≠3故选D令对数的真数x−2大于0；分母x−3非0，列出不等式组，求出函数的定义域．求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示．4.答案：C解析：解：A.互余的两角可相等，比如都为45°，故A错；B.相等的两个角可以是对顶角，故B错；C.若a2=b2，则a2−b2=0，(a+b)(a−b)=0，即a=b或a=−b，则不管a，b是实数还是复数，均有|a|=|b|，故C正确；D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，故D错．故选：C．由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等来判断B；运用平方差公式，得到a=b或a=−b，从而|a|=|b|可判断C；运用三角形的外角的性质即可判断D．本题以命题的真假判断为载体，考查三角形的外角与内角的关系，两角互余的概念，同位角的概念以及复数范围内模与平方的关系，是一道基础题．5.答案：解析：本题主要考查集合的应用，熟悉交并补的运算法则是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意得，∴，故答案为．6.答案：−√55解析：解：设O为坐标原点，因为A(2,−1)．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5，∴sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可．本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题．7.答案：3解析：。
上海市2021高三数学上学期9月月考试题(含解析)
高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.方程4260x x --=的解为______． 【答案】2log 3x = 【解析】 【分析】换元20x t =>，可得出260t t --=，解此方程，求出正数t 的值，即可得出x 的值. 【详解】令20x t =>，由4260x x --=，可得260t t --=，解得3t =或2t =-（舍去）. 即23x =，解得2log 3x =. 故答案为：2log 3x =.【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2.设复数11z i =+，()22z xi x =+∈R ，若12z z ⋅∈R ，则x 的值等于______． 【答案】2- 【解析】 【分析】利用复数的乘法将复数12z z ⋅表示为一般形式，结合题意得出其虚部为零，由此可解出实数x 的值. 【详解】11z i =+，()22z xi x =+∈R ，()()()()121222z z i xi x x i ∴⋅=++=-++，12z z R ⋅∈，20x ∴+=，解得2x =-，因此，2x =-.故答案为：2-.【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.函数()2f x =______． 【答案】[)0,1 【解析】【分析】根据被开方数非负、分母不为零、真数大于零列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得()10lg 310lg1310x x x ->⎧⎪+≥=⎨⎪+>⎩，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<.因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1. 故答案为：[)0,1.【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列出关于自变量的不等式组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 4.已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为______．【答案】36x y =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据增广矩阵得出二元一次方程组，解出即可.【详解】由题意可知，线性方程组为320x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=-⎩.因此，该线性方程组的解为36x y =⎧⎨=-⎩.故答案为：36x y =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查线性方程组的求解，同时也考查了增广矩阵定义的应用，根据增广矩阵得出线性方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5.在二项式252()x x-展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答）【答案】80- 【解析】试题分析：二项式的通项251031552()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为335(2)80C -=-.考点：二项式定理.6.已知双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2，那么________.【答案】【解析】【详解】由题意双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2,可得该渐近线的斜率为12-,由于该双曲线的渐近线方程为y kx =±, 故12k =, 故答案为12. 7.圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】【解析】试题分析：那么圆锥的母线，所以侧面积为考点：圆锥的侧面积8.设无穷等比数列{}n a 的公比12q =-，11a =，则()2462lim n n a a a a →∞++++=______．【答案】23- 【解析】 【分析】求出2a 的值，然后利用等比数列的求和公式求出2462n a a a a ++++，由此可计算出所求极限值.【详解】由等比数列的定义可知2112a a q ==-， 222214n n a q a +==，所以，数列{}2n a 是以212a =-为首项，以14为公比的等比数列，24621112124113414n n n a a a a ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴++++==-- ⎪⎝⎭-.因此，()2462212lim lim 1343n n n n a a a a →∞→∞⎡⎤⎛⎫++++=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：23-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等比数列求和，解题时要熟悉几种常见的数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK =，则AFK △的面积为__________．【答案】8 【解析】抛物线C ：28y x =的焦点为()2,0F ,准线与x 轴的交点为()2,0K -设A 点坐标为28y y ，⎛⎫⎪⎝⎭，则有22222222288y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++=⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得216y = AFK ∴的面积为14482⨯⨯=10.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______． 【答案】710【解析】 【分析】先求出这10个数的值，找出其中小于8的数的个数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意知，这10个数分别为1、2-、4、8-、16、32-、64、128-、256、512-，其中小于8的数为1、2-、4、8-、32-、128-、512-，共7个，因此，从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是710. 故答案为：710. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率的计算，同时也考查了等比数列定义的应用，解题的关键就是求出题中所涉及的数，考查计算能力，属于中等题.11.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 【答案】－10 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，所以31()()22f f =-，且(1)(1)f f -=，故11()()22f f =-，从而121211212b a +=-++，322a b +=-①.由(1)(1)f f -=，得212b a +-+=，故2b a =-. ② 由①②得2a =，4b =-，从而310a b +=-.点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12.定义函数348122(){1()222x x f x x f x --≤≤=>，则函数()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为 . 【答案】【解析】当时，，，可知当时，；当时，，则，，当时，；当时，，则，，当时，；所以()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为.考点：函数的零点. 二、选择题13.“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解方程tan 1x =-，得出x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件关系.【详解】解方程tan 1x =-，得()4x k k Z ππ=-+∈，因此，“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.14.函数1(0)y x =<的反函数是 （ ）A. 0)y x =<B. 0)y x =<C. 2)y x =>D. 2)y x =>【答案】D 【解析】【详解】因为1(0)y x =<，所以2y >，可得2)x y =>，,x y互换可得函数1(0)y x <的反函数是2)y x =>，故选：D.15.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A. 12-B.2C. D.12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则53 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质。
2021年高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2021年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知==．（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ）的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．xx学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，根据f（x）的图象过点（，），求得α的值，可得函数f （x）的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=[0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域，和值域，然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0，解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=[﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2，∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=[0，3]，∴A∩B=[﹣4，2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为：[0，2]．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图：当直线y=﹣2x+z经过C（a，a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1，解得a=；故答案为：．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1，1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1，1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为：．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x）在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f（x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=，故答案为：．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为{x|x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x）]﹣e x，∵[f（x）+f′（x）]＞1，∴对于任意x∈R，e x[f（x）+f′（x）]＞e x，∴h'（x）=e x[f（x）+f'（x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0，∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x）＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos（α+β）cos（α﹣β）），==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域，即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|∴|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|∵x∈R∴|f（x）﹣g（x）|∈[0，]故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a ﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，则x+2y=2，2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2）根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β），利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴， 又，故，∴，∴sin α=sin [（α+β）﹣β]=sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知==．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB 面积S （θ）的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B ，再由角的范围可得A +B=，从而求得C ；（2）把三角形ABC 的三边用R 表示，再由S （θ）=S △ABC +S △APC ，代入三角形面积公式化简，然后由θ∈（）求得四边形APCB 面积S （θ）的最大值．【解答】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B ，∵2A ，2B ∈（0，2π），∴2A=2B ，或2A +2B=π，即A=B 或A +B=，∵，∴A=B 舍去，从而C=；（2）由条件得：c=2R ，a=R ，b=R ，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（），S （θ）=S △ABC +S △APC =====，θ∈（）， ∵∈（），∴当时，．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y，∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是（1，）．=3kx，（2）M=kOB=ky，N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t，则t∈（，1），则N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时，有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2）设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，可得函数f（x）的单调性；设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：y'=e x，设切点（x0，y0），则，解得x0=0，因此y'|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，当x＞﹣2时，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在（﹣2，+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），则g'（x）=f'（x）+f'（﹣4﹣x）=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x）），当x＞﹣2时，g'（x）＞0，g（x）在在（﹣2，+∞）单调递增，所以g（x）＞g（﹣2）=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f（﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2，即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．【解答】解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件，设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），从而，，，设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2），此时cos＜，＞==﹣，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．xx年1月5日25453 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2021-2022学年上海市进才中学高一年级上册学期10月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．己知a 、b 、R c ∈，那么下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >，则a b > D ．若22a b >，则a b >C【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.【详解】对于A ，若ac bc >，0c <，则a b <，故A 错误； 对于B ，若a bc c>，0c <，则a b <，故B 错误； 对于C ，若()()()2233223+024b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，此时223+024b b a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴a b >，故C 正确；对于D ，若22a b >取3a =-，2b =-，则a b <，故D 错误． 故选：C ．2．用反证法证明：“a 、b 、c 、R d ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则a 、b 、c 、d 中至少有一个负数”时的假设为（ ）A ．a 、b 、c 、d 中至少有一个正数B ．a 、b 、c 、d 全为正数C ．a 、b 、c 、d 中至多有一个负数D ．a 、b 、c 、d 全都大于或等于0D【分析】利用反证法的定义即可得出答案.【详解】反证法的假设为结论的否定，即应假设“a 、b 、c 、d 全都大于或等于0”. 故选：D ．3．设a 、b 、c 是非零实数，式子ab bc acab bc ac++所有可能取的值组成的集合记为P ；满足{}{}2|10|3210x mx x x x -=⊆+-=的实数m 所有可能取的值组成的集合记为Q ；己知:x P α∈，:x Q β∈，则α是β的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件D【分析】讨论a 、b 、c 的符号可求集合P ，根据子集的概念可求集合Q ，再根据充分、必要条件理解判断.【详解】对于集合P ，则有：当a ，b ，c 全正时，3ab bc ac ab bc ac++=， 当a ，b ，c 两正一负时，1ab bc ac ab bc ac ++=-， 当a ，b ，c 一正两负时，1ab bc ac ab bc ac ++=-， 当a ，b ，c 全负时，3ab bc acab bc ac++=-，所以{}3,1,3P =--， 对集合Q ，则有：因为{}{}21|10|32101,3x mx x x x ⎧⎫-=⊆+-==-⎨⎬⎩⎭，当Q =∅，则0a =当{}1Q =-，则10m --=，即1m =- 当13Q ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则1103m -=，即3m =所以{}0,1,3Q =-∵3,3P Q -∈-∉，且0,0Q P ∈∉ 则α是β的非充分非必要条件， 故选：D ．4．设数集M 同时满足条件：①M 中不含元素1-，0，1，②若a M ∈，则11aM a+∈-．则下列结论正确的是（ ） A ．集合M 中至多有2个元素； B ．集合M 中至多有3个元素； C ．集合M 中至少有4个元素； D ．集合M 中有无穷多个元素．C【分析】根据条件分别进行推理即可得到结论 【详解】由a x M =∈，则11xM x+∈-， 所以1111111xx M x x x++-=-∈+--，所以111111x x M x x--=∈++， 所以111111x x x M x x -++=∈--+， 若11xx x+=-，则21x =-无解， 因为1,0,1x ≠-，所以111,,11x x x x x x ++---，互不相等，此时集合M 中含4个元素， 所以集合M 中至少有4个元素， 故选：C二、填空题5．用描述法表示被3除余2的整数集为__________．{}|32,Z x x n n =+∈【分析】由描述法的格式写出集合：集合中元素即为3的整数倍再加2． 【详解】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为{}|32,Z x x n n =+∈．故{}|32,Z x x n n =+∈．6．若全集{}{}|3,13U x x A x x =<=<<，则UA =__________．{}|1x x ≤【分析】根据集合的补集运算求解. 【详解】∵{}{}|3,13U x x A x x =<=<< ∴{}U|1A x x =≤故答案为.{}|1x x ≤7．用列举法表示方程组24x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集 ___．(){}3,1【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合．【详解】解方程组24x y x y -=⎧⎨+=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，故方程组解的集合为：(){}3,1．故(){}3,18．设a 、R b ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b =__________．1【分析】根据A B =列方程组，由此求得b 的值.【详解】因为a 、b ∈R ，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，A B =，0a ≠，所以01a b b +=⎧⎨=⎩，解得1a =-，1b =．故19．关于x 的不等式组231x x a ≥⎧⎨≤+⎩的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意得231a >+，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：231a >+，所以13a <．故答案为.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．已知a ，b 为常数，若0ax b -<的解集是(),2-∞，则0bx a +>的解集是__________． 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】由不等式的解集可得0a >且2b a =，代入不等式0bx a +>中求解即可. 【详解】由题意，不等式ax b <解得2x <，∴0a >，2ba=，即20b a =>， 则0bx a +>即210x +>，解得12x >-，所以解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．集合(){}21330A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a __________．1或14【分析】根据集合有且仅有两个子集确定集合元素个数，分类讨论求得a 的值.【详解】集合(){}21330A x a x x =-+-=中有且仅有一个元素，即方程()21330a x x -+-=有且仅有一个根．当1a =时，方程有一根1x =符合要求；当1a ≠时，()()234130a ∆=-⨯-⨯-=，解得14a =， 故满足要求的a 的值为1或14． 故1或1412．已知全集{}10,N U x x x =≤∈，集合A ，B 满足{}2,4,6A B =，{}5,7,9A B =，{}1,10A B =，则集合A =__________．{}2,3,4,6,8【分析】根据集合间的关系及运算结合题意即可求解集合,A B . 【详解】已知{}10,U x x x =≤∈N ，{}2,4,6A B ⋂=， 所以集合A 中至少有2，4，6，集合B 中没有2，4，6， 因为{}5,7,9A B =，{}1,10A B ⋂=，所以集合A 中没有5，7，9，集合B 中有5，7，9， 集合A 、B 中没有0，1，10，综上，集合A 中没有5，7，9，1，10，集合B 中没有2，4，6，1，10， 所以{}2,3,4,6,8A =． 故答案为.{}2,3,4,6,813．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（N x ∈且0x >），调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为__________人．75【分析】根据题干列不等式，解不等式即可.【详解】由题意得()()()10014%1000x x a a a -+≥>⎡⎤⎣⎦， 解得075x ≤≤， 又N x ∈且0x >，所以调整后的技术人员的人数最多75人， 故答案为.7514．己知R a ∈，设集合2{|10}=--≥A x ax ax 不为空集，则a 的取值范围为__________．(](),40,-∞-⋃+∞【分析】对参数分类讨论不等式的解集问题. 【详解】当0a =时，10-≥，舍去；当0a >时，由210ax ax --≥，对应方程的240a a ∆=+>，满足题意，当0a <时，若集合2{|10}=--≥A x ax ax 不为空集,240a a ∆=+≥，所以4a ≤-，或0a ≥（舍去）综上，a 的取值范围为(](),40,-∞-⋃+∞． 故答案为.(](),40,-∞-⋃+∞15．对于集合{}22,Z,Z M a a x y x y ==-∈∈，给出如下结论，其中正确的结论的序号是__________．（1）如果{}21,N B b b n n ==+∈，那么B M ∈ （2）如果{}2,N C c c n n ==∈，那么c M ∈ （3）如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈ （4）如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈ （3）【分析】根据集合M 满足的条件，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于（1），21b n =+，Z n ∈，恒有()22211n n n +=+-， 所以21n M +∈，所以B M ⊂，故（1）错误；对于（2），2c n =，Z n ∈，若2n M ∈，则存在x 、y Z ∈使得222x y n -=， 所以()()2n x y x y =+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而2n 是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而2n 不一定能被4整除， 所以2n M ∉，即c M ∉，故（2）错误；对于（3），1a M ∈，2a M ∈，设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则()()()()()()2222222212112212121221a a x y x y x x y y x y x y =--=+--()()2212121221x x y y x y x y M =+-+∈，那么12a a M ∈，故（3）正确；对于（4），1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则()()()()222222221211221212a a x y x y x x y y M +=-+-=+-+∉，故（4）错误．故正确的是（3）． 故（3）．16．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，集合B A ⊆，且B 中有四个元素，则元素和能被3整除的集合B 的个数为__________． 42【分析】根据题意结合子集的概念分析求解.【详解】把集合A 中按元素除以3的余数分成三个集合{}1,4,7C =，{}2,5,8D =，{}3,6,9E =，则集合B 有如下可能：由C 中的所有元素和E 一个元素组成，则有3个； 由D 中的所有元素和E 一个元素组成，则有3个； 由C 中的两个元素和D 中的两个元素组成，C 中的两个元素有三种可能：{}1,4，{}1,7，{}4,7D 中的两个元素有三种可能：{}2,5，{}2,8，{}5,8则有339⨯=个由C 中的一个元素、D 中的一个元素和E 的两个元素组成，E 中的两个元素有三种可能：{}3,6，{}3,9，{}6,9则有33327⨯⨯=个所以集合B 的个数为3392742+++= 故42三、解答题17．已知方程20x ax a -+=的两个实根为1x ，2x . （1）用含a 的代数式表示1211x x +和12x x -； （2）若该方程的两个实数根都大于0，求实数a 的取值范围.（1））12111x x +=，12x x -；（2）4a ≥.【分析】（1）用韦达定理即可求解；（2）结合根的判别式和韦达定理即可解出来. 【详解】（1）121212111x x ax x x x a++===⋅，12x x -= （2）方程的两个实数根都大于0，121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩，2400a a a ⎧-≥⎨>⎩解得4a ≥ 所以实数a 的取值范围是4a ≥18．关于x 的不等式21ax a x +<+的解集为A ． (1)求解集A ；(2)集合{}2560B x x x =--<，若2a >，求A B ⋂．(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）不等式可化为()211a x a -<-，根据a 与1的关系分类讨论得出解集；（2）根据已知条件求出,A B ，然后根据解集端点的大小关系讨论得出结果．【详解】(1)由21ax a x +<+得()211a x a -<-，当1a >时，解集为(),1A a =-∞+； 当1a =时，解集为A =∅； 当1a <时，解集为()1,A a =++∞； (2)若2a >，则(),1A a =-∞+，{}()(){}2560160(1,6)B x x x x x x =--<=+-<=-，当5a ≥时，16a +≥，()1,6A B =-； 当25a <<时，316a <+<，()1,1A B a =-+． 19．（1）实数0a b >>，比较1a b +与1b a+的大小；（2是无理数． （1）11a b b a+<+；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法即可比较大小；（2）利用反证法证明即可 【详解】（1）因为0a b >>，所以()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以11a b b a+<+；（2mn=，其中,m n 是互质的整数，则m =，两边平方得26m n =，所以m 为偶数， 设2,Z m k k =∈，则246k n =即223k n =， 所以n 为偶函数，与“,m n 是互质的整数”矛盾，所以假设不成立.是无理数．20．定义区间(),m n 、[],m n 、(],m n 、[),m n 的长度均为n m -，其中n m >． (1)求不等式2280x x --+>的解集区间的长度；(2)如果数集5,6A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，31,B b b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦都是集合[]0,1的子集，那么集合A B ⋂，A B⋃的长度的最小值和最大值分别是多少(3)已知不等式组223217211150x x x kx k ≤-≤+⎧⎨-+≥⎩的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数k 的范围． (1)6(2)A B ⋂长度的最大值为13，最小值为16；A B ⋃长度的最大值为1，最小值为56；(3)216,5,3⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）解一元二次不等式即可得到答案；（2）由A ，B 得到A ，B 的长度，结合A ，B 都是集合[]0,1的子集即可求解； （3）设22211150x kx k -+≥的解集为C ，由于3217x x ≤-≤+的解集为[]28,，长度为6，结合题意可得[]2,8C ⊆，然后分0k =，0k >和0k <讨论22211150x kx k -+≥的解集情况，列出不等式即可求解【详解】(1)由2280x x --+>得42x -<<，所以2280x x --+>的解集为()4,2-，故解集区间的长度为()246--=；(2)由5,6A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，31,B b b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦可得到A 的长度为56，B 的长度为13，因为A ，B 都是集合[]0,1的子集，所以A B ⋂长度的最大值为13，最小值为5111636+-=；A B ⋃长度的最大值为1，最小值为56；(3)由3217x x ≤-≤+即321217x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩得28x ≤≤，此不等式解集长度为6，又不等式组223217211150x x x kx k ≤-≤+⎧⎨-+≥⎩的解集构成的各区间的长度和等于6， 设22211150x kx k -+≥的解集为C ，则[]2,8C ⊆， 由22211150x kx k -+≥得()()2530x k x k --≥， 当0k =时，C =R ，[]2,8C ⊆显然成立； 当0k >时，[)5,3,2k C k ⎛⎤=-∞+∞ ⎥⎝⎦，由[]2,8C ⊆得582k≤或32k ≤， 所以165k ≥或203k <≤；当0k <时，(]5,3,2k C k ⎡⎫=-∞+∞⎪⎢⎣⎭，由[]2,8C ⊆得522k≤即45≤k ， 所以0k <；综上，实数k 的范围是216,5,3⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．符号[]x 表示不大于x 的最大整数（R x ∈），例如：[]1.31=，[]22=，[]1.22-=-． (1)解下列两个方程：[]3x =，[]23x =-；(2)分别研究当0x >，0x <时，不等式[][]()2221x x x ≤<+是否成立，并说明理由；(3)求方程[]2440510x x -+=的实数解．(1)[)3,4x ∈，3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析 (3)答案见解析【分析】（1）结合题目所给定义解方程即可；（2）由所给定义得到[][]1x x x ≤<+，结合不等式的性质即可求得不等式是否成立； （3）由[][]1x x x ≤<+，将问题转化为关于[]x 的不等式组，解出[]x 代入方程求解即可.【详解】(1)因为[]3x =，所以[)3,4x ∈，因为[]23x =-，所以[)23,2x ∈--，所以3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭． (2)对任意x ，有[][]1x x x ≤<+，当0x >时，[][]()2221x x x ≤<+成立，因为[][]01x x x ≤≤<+故[][]()2221x x x ≤<+ 当0x <时，[][]()2221x x x ≤<+不成立，因为[][]10x x x ≤<+≤故[]()[]2221x x x +<≤ (3)因为[][]1x x x ≤<+，又[]0x <不是解，所以[]()[][][]224140510440510x x x x ⎧+-+>⎪⎨⎪-+≤⎩，所以[]()[]()[]()[]()252110232170x x x x ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩， 解得[][][]5232172x x x ⎧<⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩或[][][]11232172x x x ⎧>⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得[]2x =或[]6x =或7或8， 分别代入方程得24290x -=，解得x =241890x -=，x == 242290x -=，x =242690x -=，x = 经检验，这四个值都是原方程的解．。
2021年高三上学期第一阶段月考数学试卷 Word版含答案
2021年高三上学期第一阶段月考数学试卷 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设a∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为。
2．设集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，若a∈M，b∈N，则a－b N；ab N。
3．a，b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b= 。
4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋2)，当x>1时，f(x)单调递增，如果x1＋x2>2且(x1－1)(x2－1)<0，则f(x1)＋f(x2)与0的大小关系是5．定义在实数集上的函数f（x），对一切实数x都有f（x＋1）＝f（2－x）成立，若f（x）＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为。
6．设f（x）定义在正整数集上，且f（1）=1，f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋xy．f（x）= 。
7．已知函数f(x)＝－x＋log21－x1＋x，则．8．函数的值域为。
9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A B，则实数a的取值范围是．10．设函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是。
11．已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(xx)＝________.12．已知函数f(x)＝|lg x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是。
13．已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为____ ____.14．使得函数的值域为的实数对有对.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求下列函数的值域．（1）求函数y=x+的值域．（2）求函数y=的值域．（3）求函数y=(++2)(+1)，x∈[0，1]的值域．16．设A、B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．(1)试举出两个数集，使它们的差集为单元素集合；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？请说明理由；(3)已知A＝{x|x＞4}，B＝{x||x|＜6}，求A－(A－B)及B－(B－A)，由此你可以得到什么更一般的结论？(不必证明)17．对定义域分别为D f 、D g 的函数y ＝f (x )、y ＝g (x )，规定：函数h (x )＝⎩⎨⎧ fx ·g x 当x ∈D f 且x ∈D g fx 当x ∈D f 且x ∉D g g x 当x ∉D f 且x ∈D g(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式； (2)求问题(1)中函数h (x )的值域．18．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f m ＋f n m ＋n >0.(1)解不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12<f (1－x )；(2)若f (x )≤t 2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．19．若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(1)已知函数f(x)＝x2＋mx＋mx的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；(2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；(3)在(1)(2)的条件下，当t>0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)<f(t)成立，求实数a的取值范围．20．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②当x∈(0,2)时，f(x)≤③f(x)在R上的最小值为0。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝．6．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg 是奇函数，则a+b的值可以是.（写出一个值即可）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．（5分）对于任意实数a，b，c，d，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，则D．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd 14．（5分）关于函数f（x）＝sin x+，下列观点正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝0对称B．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象关于直线x＝π对称15．（5分）设函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，3），则函数y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点（）A．（1，1）B．（3，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，1）16．（5分）已知a1，a2，a3，a4均为正数，且a1+a2+a3+a4＝10，以下有两个命题：命题一：a1，a2，a3，a4中至少有一个数小于3；命题二：若a1a2a3a4＝7，则a1，a2，a3，a4中至少有一个数不大于1．关于这两个命题正误的判断正确的是（）A．命题一错误、命题二错误B．命题一错误、命题二正确C．命题一正确、命题二错误D．命题一正确、命题二正确三、解答题（满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．（1）求正四棱锥E﹣ABCD的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角θ的大小．18．（14分）已知f（x）＝ax2﹣（a+1）x，g（x）＝﹣a+13x，其中a∈R．（1）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）＜g（x）在x∈[2，3]时恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，已知tan A＝．（1）若△ABC外接圆的直径长为，求BC的值；（2）若△ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．20．（16分）已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4+a1，S16＝16b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和；（3）设集合，，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{c n}，记U n为数列{c n}的前n项和，求|U n﹣2020|的最小值．21．（18分）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）判断函数f（x）＝x2是否是定义域上的C函数，说明理由；（2）若f（x）是R上的C函数，设a n＝f（n），n＝0，1，2，…，m，其中m是给定的正整数，a0＝0，a m＝2m，记S f＝a1+a2+…+a m，对满足条件的函数f（x），试求S f的最大值；（3）若f（x）是定义域为R的函数，最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝（﹣1，3]．解：∵集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤3}，∴B∩∁U A＝{x|﹣1＜x≤3}＝（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．解：∵角α的终边过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，∴sinα＝＝﹣，故答案为：．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是[﹣1，2]．解：由题意得：3﹣|1﹣2x|≥0，即|2x﹣1|≤3，故﹣3≤2x﹣1≤3，解得：﹣1≤x≤2，故函数的定义域是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为﹣160．解：（2x﹣1）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•（2x）6﹣r，令6﹣r＝3，可得r＝3，故展开式中含x3的项的系数为﹣•23＝﹣160，故答案为：﹣160．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝8．解：由S10﹣S5＝a6+a7+…+a10＝（a6+a10）+（a7+a9）+a8＝5a8＝40，所以a8＝8．故答案为：86．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝3．解：在△ABC中，∵已知tan A＝1，tan B＝2，∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝3，故答案为：3．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为3．解：由cos（3x+）＝0，可得3x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，可得在[0，π]上的解为，，，共3个解．故答案为：3．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是[0，]．解：∵定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x＝cos（x+）是减函数，其中a ＞0，∴x+∈[﹣a+，a+]，∴﹣a+≥0，且a+≤π，求得0＜a≤，故a的最大值为，则当a取最大值时，x+∈[0，]，f（x）＝cos（x+）的值域为[0，]，故答案为：[0，]．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg是奇函数，则a+b的值可以是﹣2.（写出一个值即可）解：根据题意，函数f（x）＝lg是奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即lg+lg＝lg＝0，则有a2＝4，解可得a＝±2，又由a≠2，则a＝﹣2，则f（x）＝lg，有＞0，解可得：﹣＜x＜，即函数的定义域为（﹣，），即0＜b≤，故有﹣2≤a+b≤﹣，故答案为：﹣2，（答案不唯一）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．解：S n＝＝﹣•（﹣）n，①n为奇数时，S n＝+•（）n，可知：S n单调递减，且S n＝，∴＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n＝﹣•（）n，可知：S n单调递增，且S n＝，∴＝S2≤S n＜，∴S n的最大值与最小值分别为：2，，考虑到函数y＝3t﹣在（0，+∞）上单调递增，∴A≤（3S n﹣）min＝3×﹣＝，B≥（3S n﹣）max＝3×2﹣＝，∴B﹣A的最小值＝﹣＝，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意；当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1），图象如图所示：当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，函数y＝﹣x的函数值为﹣，∴两图象有4个交点，符合题意；当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1），在[0，）内两函数图象有两个交点，则若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）内有两个交点即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，也就是k＝x+在（，+∞）内有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），∴0＜＜，且k＞2，得k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确。
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交且不过圆心 C ．相切 D ．相离【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆224x y +=的圆心到直线的距离925d ==<， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 故选：B2．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=【答案】A【详解】函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令23x k ππ-=，可得()f x 的图象的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为6x π=，故选A.【解析】三角函数图象变换.3．已知数列{}{}{},,n n n a b c ，以下两个命题：①若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是递增数列，则{}{}{},,n n n a b c 都是递增数列； ②若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，则{}{}{},,n n n a b c 都是等差数列；下列判断正确的是（ ） A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】D【解析】对于①，不妨设2n a n =，3n b n =，sin n c n =，所以{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是递增数列，但sin n c n =不是递增数列，故①是假命题；对于②，{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，不妨设公差分别为a ，b ，c ，则11n n n n a b a b a --+--=，11n n n n b c b c b --+--=，11n n n n a c a c c --+--=，所以12n n a b c a a --+-=，12n n a c b b b --+-=，12n n b a cc c --+-=，所以若{}{}{},,n n n n n n a b b c a c +++都是等差数列，则{}{}{},,n n n a b c 都是等差数列，故②是真命题 故选D4．已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ）A ．12B ．1312CD ．1【答案】B【分析】根据题意可设(1,0)a =,(0,1)b =,则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--可化简整理为其可理解为动点(,)t t 到两定点7(0,1),1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之和,因此根据其几何意义即可求出最值. 【详解】由题知,a b 是单位向量,且0a b ⋅=, 故不妨取(1,0)a =,(0,1)b =, 设5|()|(1)()12T t b a a b t a b =-+++--5(1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12t t ⎛⎫=⋅-+++-- ⎪⎝⎭==设(,)P t t ,(0,1)A ,71,12B ⎛⎫⎪⎝⎭, 则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12A B ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和, 所以||||||T PA PB AB =+=1312=, 故选:B.【点睛】本题考查平面向量的运算､平面向量的数量积与模长.解决此类题的关键:一是特取法,根据题设条件,选择满足题意的向量,即可简化求解过程;二是借形解题,即利用函数所表示的几何意义,结合图象的直观性,可快速求得最值.二、填空题5．若集合{}12A x Z x =∈-<<，{}220B x x x =-=，则A B =______.【答案】{}0,1,2【分析】求出集合A 、B ，利用并集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}120,1A x Z x =∈-<<=，{}{}2200,2B x x x =-==，因此，{}0,1,2A B =.故答案为：{}0,1,2.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.6．若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为________【答案】2-【分析】由x 、y 满足约束条件，画出可行域，将目标函数3z x y =+转化为1133y x z=-+，平移直线13y x=-，由直线在y轴上的截距最小时，目标函数取得最小值求解.【详解】由x、y满足约束条件262x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数3z x y=+转化为1133y x z=-+，平移直线13y x=-，当直线经过点()4,2A-时，直线的y轴上的截距最小，此时，目标函数取得最小值，最小值为-2，故答案为：-27．已知向量(2,1),(2,1)a b k k==-+，且a b⊥，求实数k=_______【答案】5【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接求出.【详解】∵a b⊥，∴2(2)10a b k k⋅=-++=，故5k=.故答案为：5.8．直线1:(3)30l a x y++-=与直线2:5(3)40l x a y+-+=，若的方向向量是的法向量，则实数_____．【答案】2-【解析】试题分析：由题意得：12l l⊥，即5(3)302a a a++-=⇒=-【解析】两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C ++='，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C -+='9．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______.【答案】80【分析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk kk k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80.【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.10．通过手机验证码登录哈喽单车App ，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________ 【答案】16【分析】利用概率的定义进行求解即可.【详解】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==. 故答案为：16【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题 11．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=________________.【答案】323【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++，即可计算出所求极限值.【详解】由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列，11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--，1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=. 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0>ω.若函数()f x 在0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________． 【答案】54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当0f x 时,()3k x k Z ππωω=-+∈,当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,则523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,进而求解即可 【详解】由题,()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭取零点时,3x k πωπ+=()k Z ∈ ,即()3k x k Z ππωω=-+∈,则当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力13．欧拉公式i e cos isin θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos2020n n a π=+isin 2020n π（1,2,3,n =⋅⋅⋅），则数列{}n a 前2020项的乘积为________ 【答案】i【分析】根据题意，2020cos sin 20202000n i n n n a i e πππ=+=，然后可得，2202022020202020202020202020202020122020i iiia a a e eeeππππππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⋯=， 然后，利用等差数列求和公式求解即可 【详解】cos sin i e i θθθ=+2020cossin 20202000n i n n n a i e πππ∴=+=， 220202202020212020202020202020202020202122020i iiiia a a e eeeeπππππππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴=⋯==20212021cossin cos 1010sin 10102222i i i ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：i【点睛】本题考查指数的乘积运算以及等差数列的求和，属于简单题 14．已知函数1()()2xx f x a a -=-（1a >）的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数()F x =1(1)1f x --+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________ 【答案】2【分析】由1a >，得到函数()f x 在定义域上单调递增，再由函数与反函数具有相同的单调性以及平移变换，得到1(1)f x --在[3,5]-上单调递增，再由函数与反函数具有相同的奇偶性求解. 【详解】因为1a >，所以函数1()()2xx f x a a -=-（1a >）在定义域上单调递增， 因为函数与反函数有相同的单调性，所以1()f x -在[4,4]-上单调递增，1(1)f x --在[3,5]-上单调递增， 因为()f x 为奇函数，则1()f x -也为奇函数，11(4)(4)22M m f f --∴+=+-+=.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数与反函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ→→→=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________ 【答案】(,4){122}-∞---．【分析】由已知向量等式可得0λ<，令sin x t =，把关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0，2)π上恰有两解转化为22(1)10t t λ-++=在(1,1)-上有唯一解，进一步得到关于λ的不等式（组)求解，与0λ<取交集得答案．【详解】由(1)()AD AB AC AC AB AC AC BC λλλλ→→→→→→→→=+-=+-=-， 且AD AC CD →→→=+，得AC BC AC CD λ→→→→-=+，即CD BC λ→→=-，D 是ABC 边BC 延长线上，0λ∴->，即0λ<．关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0，2)π上恰有两解，令sin x t =，可得22(1)10t t λ-++=在(1,1)-上有唯一解，[2(1)1][2(1)1]0λλ∴-+++++<或2(1)801114λλ⎧=+-=⎪⎨+-<<⎪⎩， 又0λ<，解得4<-λ或1λ=--∴实数λ的取值范围是(,4){122}-∞---．故答案为：(,4){122}-∞---．【点睛】方法点睛：一元二次方程的根的分布问题常从以下几个方面考虑：（1）二次函数的抛物线的开口方向；（2）对称轴位置；（3）∆大小；（4）端点函数值；（5）抛物线与坐标轴的交点.16．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()()1210n n n a na n N*++-=∈，则下列命题：①n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数()2112x n n a f x x a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则存在某个区间()(),1n n n N *+∈，使得()f x 在(),1n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________ 【答案】②③【分析】对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得n a ，可验证出10n n a a +->，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定()f x 单调性，利用零点存在定理可得到结论. 【详解】对于①，由()1210n n n a na ++-=得：121n n a an n+=⋅+， 又141a =，n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，①错误；对于②，由①知：11422n n na n-+=⋅=，12n n a n +∴=⋅， ()()()21111122222220n n n n n n a a n n n n n +++++∴-=+⋅-⋅=+-=+>， {}n a ∴是递增数列，②正确；对于③，由②知：101n n a a +<<，21x n n a y a -+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭单调递减，()221112222x x n n a n f x x x a n --+⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭单调递增()21222n n f n n n -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，()111222n n f n n n -⎛⎫+=+- ⎪+⎝⎭，当1n =时，()712f =-，()122f =，即()()120f f <，由零点存在定理知③正确；综上所述：正确的命题序号为②③. 故答案为：②③.【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.三、解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,2,4AB BC CC ===，M 为棱1CC 上一点．（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成的角； （2）若12C M =，求点B 到平面11A B M 的距离． 【答案】（1）5arcsin3或5arctan 2或2arccos 3；（2）2．【分析】（1）先证明异面直线1A M 和11C D 所成角即为11B A M ∠或其补角，再求11B A M ∠得解；（2）利用等体积法求解即可.【详解】解：（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得15B M = ∵1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为11B A M ∠或其补角， 长方体1111ABCD A B C D -中，1111111,A B B C A B B B ⊥⊥，∴11A B ⊥面11B BCC ，∴111A B B M ⊥，故可得11B A M ∠为锐角且111115tan 2B M B A M B A ∠==11B A M ∠=arcsin 3或arctan 2或2arccos 3.所以异面直线1A M 和11C D 所成的角为2arccos 3.（2）设点B 到平面11A B M 的距离为h ，11111,B A B M M A B B V V B M --==11112242,3232h h ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴=所以点B 到平面11A B M 的距离为【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）向量法；（2）几何法（找→作→证→指→求）；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解. 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2. 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19． 某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式； （2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 【答案】（1）10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）；（2）71924m ≤≤． 【详解】1）由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． （２）因为030M ≤≤，所以()*100{116,1030mx x x x N mx x +--≥≤≤∈+--≤恒成立()*101{116,201m x x x N m x ≥-++⇒≤≤∈≤+恒成立t =，则：114t ≤≤ 22101011{1420101m t t t m t t ≥-++⎛⎫⇒≤≤ ⎪≤++⎝⎭恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． 20．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且1210,15a a ==．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==；（3）1a ≤． 【分析】（1）由题意可得12n n n b a a +=+，211n n na b b ++=联立化简变形可得=（2）由（1(4)2=+n ，即2(4)2n n b +=为所求；结合1n a +=求出(3)(4)2n n n a ++=；（3）法一：由（2）得1na ，表示出n S ，将原不等式等价转化为2(1)(36)80a n a n -+--<，结合二次函数2()(1)(36)8f n a n a n =-+--的性质讨论即可；法二：由（2）得1n a ，表示出n S ，将原不等式等价转化为不等式化为23813n a n n+<++对任意*n ∈N 恒成立，研究函数238()3n f n n n+=+的单调性，求出min ()f n ，则min ()a f n ≤. 【详解】解：（1）由已知．12n n n b a a +=+①，211n n n a b b ++= ②．由②可得1n a +=③将③代入①，得对任意*2,n n N ≥∈，有2n b =即是等差数列（2）设数列的公差为d ．由1210,15a a ==，得1225,18,2b b ====，d ==2(4)(1)1)4)2,n n n d n n b +=-⋅=+-=+=． 由已知，当2n ≥时，(3)(4)2n n n a ++==，而110a =也满足此式．所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式为：2(3)(4),(4)22n n n n n a b +++==． （3）由（2），得12112(3)(4)34n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 不等式22n n n b aS a <-化为11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭． 解法一：不等式化为2(1)(36)80a n a n -+--<，设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--，则()0f n <对任意*n ∈N 恒成立．当10a ->，即1a >时，不满足条件， 当10a -=，即1a =时，满足条件．当10a -<，即1a <时，函数()f n 图像的对称轴为直线3(2)02(1)a x a -=-<-，()f n 关于n 递减，只需(1)4150f a =-<，解得154a <，故1a <． 综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．解法二：不等式化为22683n n a n n++<+对任意*n ∈N 恒成立， 即23813n a n n+<++，设238()3n f n n n+=+，任取1n 、*2n N ∈，且12n n <，则()()1212221122383833n n f n f n n n n n ++-=-++ ()()()()2112122211223824033n n n n n n nn n n -+++⎡⎤⎣⎦=>++，故()f n 关于n 递减．又()0f n >且lim ()0n f n →∞=， 所以238113n n n++>+对任意*n ∈N 恒成立，所以1a ≤． 因此，实数a 的取值范围是(,1]-∞． 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断； （3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.21．设对集合D 上的任意两相异实数1x ，2x ，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ；若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x .（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8a f x x =，()()()log log a a g x a x a x =+--，若01a <<，是否存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，)1a .【分析】（1）令1x x =，2x x =-代入已知不等式中，再结合()y f x =是偶函数，即可证明()y g x =是偶函数；（2）根据新定义先列出不等式，再把()y f x =是R 上的增函数转化为若12x x <，则12()()f x f x <，代入不等式即可证明()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）先根据新定义列出不等式，再将不等式化简得到()212120a x x a x x --+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =，证明当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，再证明，当)121a x x a ≤<<时不合题意，从而求得t 的最大值．【详解】（1）设x 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，∴()()0g x g x --≤，即()()g x g x -= ∴()y g x =为偶函数.（2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，即()()120f x f x -<，所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证.（3）若存在实数()0,t a ∈使得()f x 在(]0,D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在1x ，(]20,x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a a x f x f x x x x -=-=，()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++-=-==---+--+-∴()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---≤-+-在1x ，(]20,x t ∈时恒成立 ()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在1x ，(]20,x t ∈时恒成立()212120a x x a x x ⇔--+≥在1x ，(]20,x t ∈时恒成立.令2220a t at --=，取)1t a =当)1201x x a <<≤时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+>--=⎣⎦，当)121a x x a ≤<<时，()))222212121210a x x a x x a a a ⎡⎤--+<--=⎣⎦，不合题意.综上所述，实数t的最大值为)1a .【点睛】本题考查函数的性质（单调性，奇偶性），考查不等式恒成立的转化，新定义问题，着重考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2021年高三上学期第一次月考9月数学试题(理)含答案
精品文档2021年高三上学期第一次月考9月数学试题（理）含答案第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数，则对应的点所在的象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若集合，，则A．B．C． D．3. 设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．设f（x）＝，则f（f（－2））＝A．－1 B．C．D．5．在等差数列中，已知，则（）A．10 B．18 C．20 D．286.是双曲线上一点,分别是双曲线左右焦点,若||=9,则||= ( )A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对7.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（） A．30 B．12 C．24 D．48．设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（）32 3精品文档9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. 14B. 15C. 16D. 1710．中是边上的一点（包括端点），则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．11.如图过拋物线的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 （ ） A. B. C ．D ．12.若直角坐标平面内A 、B 两点满足①点A 、B 都在函数的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点（A,B ）是函数的一个“姊妹点对”.点对（A,B ）与（B,A ）可看作是同一个“姊妹点对”.已知函数 ，则的“姊妹点对”有 ( )A. 2个B. 1个C. 0个D. 3个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.设变量满足约束条件，则的最大值为 . 14.在的展开式中的的系数为 . 15．已知(为自然对数的底数),函数 则 .16 .已知数列的前n 项和，若不等式对 恒成立，则整数的最大值为 .三、解答题:（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 在中是其三个内角的对边且. (I)求角的大小(II)设，求的面积的最大值. 18.（本小题满分12分）开始0,1S n ==输出n 结束3?S <-21log 2n S S n +=++否是1n n =+第117届中国进出品商品交易会（简称xx年秋季广交会）将于2015年8月15日在广州举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”.(I)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）.(II)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.19．（本小题满分12分）如图正方形与梯形所在的平面互相垂直点在线段上.(I)当点为中点时求证平面(II)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.20.（本小题满分12分）椭圆的焦点在x轴上，其右顶点（a,0）关于直线的对称点在直线 (c为半焦距长) 上.（I）求椭圆的方程；(II)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线于点C. 设O为坐标原点，且求的面积.21．（本小题满分12分）已知函数（为无理数，）(I)求函数在点处的切线方程；(II)设实数，求函数在上的最小值；（III）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于点F．(I)求证：A，E，F，D四点共圆；(II)若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．23. （本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ（a ＞0），已知过点P （-2，-4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ． （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知a ，b ∈R +，a ＋b ＝1，，∈R +． (I)求的最小值； (II)求证：．xx 届山东省滕州市第一中学高三9月月考数学答案 （理）一．选择题:二．填空题: 13. 6 14. －910 15. 7 16. 4 三.解答题: 17 解：（Ⅰ）∵2sin(2)2sin 2,sin(2)sin 233ππ∴+=∴+=A B A B，或，由，知，所以不可能成立，所以， 即，所以（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以，22222222213cos 3321222+-+-=⇒-=⇒-=+-⇒-=+≥⇒≤a b c a b C ab a b ab a b ab ab ab ab即△ABC 的面积S 的最大值为 18.解：（1）根据茎叶图可得：男志愿者的平均身高为159169170175176182187191176.1()8+++++++≈cm女志愿者身高的中位数为（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人，的可能值为0,1,2,3， 故即的分布列为：所以的数学期望19．解：（1）以直线、、分别为轴、轴、轴 建立空间直角坐标系，则，，， 所以.∴.........2分又，是平面的一个法向量.∵ 即 ∴∥平面 .................4分 （2）设，则，又设，则，即...6分 设是平面的一个法向量，则取 得 即又由题设，是平面的一个法向量，......................8分 ∴2166)1(4222|,cos |22=⇒=-+==><λλλn OA ...................10分 即点为中点，此时，，为三棱锥的高，∴ ................................12分 20.解：（1）椭圆的右顶点为（2，0）， 设（2，0）关于直线的对称点为（， 则………………4分 解得则，所求椭圆方程为--------------------------6分（2）设A由,01248)4k (3),1(,1443222222=-+++⎩⎨⎧+==+k x k x x k y y x 得 所以…………①，…………② 因为即，所以……③……6分 由①③得代入②得，，整理得…………8分所以所以……10分由于对称性，只需求时，△OAB 的面积.此时，所以……12分21.⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即------3分（2）∵时，单调递减； 当时，单调递增.当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e≥==时在单调递增 min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭当时,得-------------------------------6分 (3) 对任意恒成立，即对任意恒成立， 即对任意恒成立 令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在上单调递增。
上海市进才中学2021届高三数学上学期第一次月考试题(含解析)
上海市进才中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、填空题1.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω . 2.若集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=042x x x B ，则=B A .3.方程1)3(lg lg =++x x 的解=x .4.已知幂函数()x f y =存在反函数，若其反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛9,31，则该幂函数的解析式()x f = .5.函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 . 6.若集合C B A 、、满足AB BC =，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ≠；④A =∅中一定成立的有 .（填写你认为正确的命题序号）7.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0单调递增，若关于x 的不等式()⎪⎭⎫⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是 .8.当10≤≤x 时，如果关于x 的不等式2||<-a x x 恒成立，那么a 的取值范围是 . 9.若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有对．10.已知c b a ,,都是实数，若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xa x x x f 12的反函数的定义域是()+∞∞-,，则c 的所有取值构成的集合是 .11.对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，1=-，44〈〉=.若x R ∈，则方程13122x x 〈+〉=-的根为 . 12.已知集合[][]9,41,+++=t t t t A ，A ∉0，存在正数λ，使得对任意A a ∈，都有A a∈λ，则t 的值是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数()f x 的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是 （ ）A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y14.ABC ∆中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 15.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 16.存在函数()x f 满足，对任意R x ∈都有（ ）A ．()x x f sin 2sin =B ．()x x x f +=22sinC ．()112+=+x x f D ．()122+=+x x x f三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()b ax x x f --=232，其中R b a ∈,.（1）若不等式()0≤x f 的解集是[]6,0，求a 与b 的值； （2）若a b 3=，求同时满足下列条件的a 的取值范围.①对任意的R x ∈都有()0≥x f 恒成立； ②存在实数x ，使得()a x f 322-≤成立.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数bx ax x f ++=1)(2的图像过点)2,1(，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知()122+-=x m x x f 定义在实数集R 上的函数，把方程()x x f 1=称为函数()x f 的特征方程，特征方程的两个实根βα,（βα<）称为()x f 的特征根. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()αβf f -的表达式；（3）把函数()x f y =，[]βα,∈x 的最大值记作()x f m ax ，最小值记作()x f min .令()()()x f x f m g m in m ax -=，若()12+≤m m g λ恒成立，求λ的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t A kn,...,2,1,1,0,,...,,21=∈==αα.对于集合A 中的任意元素()n x x x ,...,,21=α和()n y y y ,...,,21=β. 记()()()()[]n n n n y x y x y x y x y x y x M --+++--++--+=...21,22221111βα. （1）当3=n 时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα,M 和()βα,M 的值；（2）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα,，当βα,相同时，()βα,M 是奇数；当βα,不同时，()βα,M 是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα,，()0,=βαM .写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.上海市进才中学2021届高三数学第一次月考试卷一、填空题 1.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω 2 . 【解析】：2||T πω=2.若集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=042x x x B ，则=B A ()2,1-.【解析】：(1,3)(4,2)A B =-=-3.方程1)3(lg lg =++x x 的解=x 2 .【解析】：0(3)10x x x >⎧⎨+=⎩4.已知幂函数()x f y =存在反函数，若其反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛9,31，则该幂函数的解析式()x f =21-x.【解析】：11111()9(9)93332f f αα-=⇒=⇒=⇒=-5.函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 56π.【解析】：min 52(21),,0326k k Z πππϕϕϕ⨯+=-∈>⇒=6.若集合C B A 、、满足A B B C =，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ≠；④A =∅中一定成立的有 ① .（填写你认为正确的命题序号） 【解析】：,A A B A B AA AB BC C A C⇒⊆⇒⊆⊆⊆⊆⊆7.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0单调递增，若关于x 的不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛32,31. 【解析】：111|21|21333x x -<⇒-<-< 8.当10≤≤x 时，如果关于x 的不等式2||<-a x x 恒成立，那么a 的取值范围是)3,1(-. 【解析】：22222(1)01||x x a x a x a x x x x x x<≤⇒-<⇒-<-<⇒-<<+ max min 222201()11,()1311x x x x x <≤⇒-=-=-+=+=或图像法(2)0||2x x x a =⇒-<成立9.若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有 4对．10.已知c b a ,,都是实数，若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xax x x f 12的反函数的定义域是()+∞∞-,，则c 的所有取值构成的集合是{}0. 【解析】：1b x+ 能取到-∞0c ⇒= 或图像法11.对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，1=-，44〈〉=.若x R ∈，则方程13122x x 〈+〉=-的根为97,44--.【解析】：1123223131(1)224n n x n Z x n ++-=∈⇒+=⨯+=++ 117102331452142n n x n o n r +<+>=⇒+-<≤⇒-<≤-⇒=-- 179245244x or x or ⇒-=--⇒=-- 12.已知集合[][]9,41,+++=t t t t A ，A ∉0，存在正数λ，使得对任意A a ∈，都有A a∈λ，则t 的值是 3,1- .【解析】：(1)0[,1][4,9]t y x t t t t t xλ>⇒=∈++++ 递减941(1)(4)(9)1149t t t t t t t t t t t t t λλλλ⎧≤+⎪⎪⎪≥+⎪+⇒⇒++=+⇒=⎨⎪≤+⎪+⎪⎪≥+⎩ 11(2)104(1)(4)(9)39449t t t t t t t t t t t t t t t λλλλ⎧≤+⎪⎪⎪≥⎪++<<+⇒+=++⇒=-⎨⎪≤+⎪+⎪⎪≥++⎩(3)90t +<⇒同一，无解二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数()f x 的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是 （ D ）A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y【解析】：21()22x D y x -=⇒压缩了14.ABC ∆中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的 （ D ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】：sin()sin()44A B A B or A B ππ+=+⇒=+=(2),,A B B C or A C ===15.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =”其中正确命题的序号是（ A ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【解析】：(3)()3f x =(4)()sin (2)sin ,(4)sin f x x f x x f x x ππ=-=-=-16.存在函数()x f 满足，对任意R x ∈都有（ D ）A ．()x x f sin 2sin =B ．()x x x f +=22sinC ．()112+=+x x f D ．()122+=+x x x f 【解析】：()(0)(sin0)sin00(0)(sin )sin12A f f f f NO ππ======⇒2()(0)(sin0)000(0)(sin )()22B f f f f NO πππ==+===+⇒2()(2)(11)|11|2,(2)((1)1)|11|0C f f f f NO =+=+==-+=-+=⇒21221112221122()()(2)|1|()(2)|21||1|D f t f x x x f t f x x x x x x t x x =+=+=+=-+=⇒++==-+-三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()b ax x x f --=232，其中R b a ∈,.（1）若不等式()0≤x f 的解集是[]6,0，求a 与b 的值； （2）若a b 3=，求同时满足下列条件的a 的取值范围.①对任意的R x ∈都有()0≥x f 恒成立； ②存在实数x ，使得()a x f 322-≤成立. 【解析】：（1）0,9==b a ；（2）[][]0,16,9---∈ a .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数bx ax x f ++=1)(2的图像过点)2,1(，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【解析】：（1）依题意，函数)(x f 的图象过点)2,1(和)2,1(--.所以⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-=++=011212211)2(211)1(b a b a b a b a f b a f ，故x x x f 1)(2+=. （2）不等式)4()2()(-+->t x t x f x 可化为t x x x )1(522+>++.即1522+++<x x x t 对一切的),0(∞+∈x 恒成立.因为41411522≥+++=+++x x x x x ，当且仅当1=x 时等号成立，所以4<t .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值． 【解析】：（1）,,a b c 成等差，且公差为2，∴a =1cos 2C =-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 2914c c -+又∴7c =（2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sinsin 33ACBC πθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin AC θ=，2sin BC =∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2θθ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2sin 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<,∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值220.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知()122+-=x m x x f 定义在实数集R 上的函数，把方程()x x f 1=称为函数()x f 的特征方程，特征方程的两个实根βα,（βα<）称为()x f 的特征根.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()αβf f -的表达式；（3）把函数()x f y =，[]βα,∈x 的最大值记作()x f m ax ，最小值记作()x f min .令()()()x f x f m g m in m ax -=，若()12+≤m m g λ恒成立，求λ的取值范围. 【解析】：（1）0=m 时，()122+=x x x f 是奇函数；0≠m 时，()122+-=x mx x f 是非奇非偶函数.证明：当0=m 时，()()()x f x xx f -=+--=-12，故()x f 是奇函数； 当0≠m 时，举反例说明. （2）()0112=--⇒=mx x xx f ，由042>+=∆m ，所以方程必有两个不等实根. m =+βα，1-=αβ，()()()()[]()()112212122222+++-+-=+--+-=-βααββααβααββαβm m m f f ()44442222+=+++=m m m m. 11()()f f αββαβαβααβ--=-==-=（3）首先证明函数()x f 在[]βα,∈x 上是单调递增函数. 设任意的21,x x 满足βα<<<21x x ，()()()()[]()()11221212212221211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x m x x x m x x m x x f x f ， 因为()02010121221222121<-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--<--x x m x x mx x mx x x ， 所以()()012>-x f x f ，故()x f 在[]βα,∈x 内单调递增， 可得，()42+=m m g ，1422+≤+m m λ恒成立13114222++=++≥⇒m m m λ恒成立所以，2≥λ【说明】单调性不证明，只是说明单调性不扣分.不说明单调性直接给出结论扣2分.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t A kn ,...,2,1,1,0,,...,,21=∈==αα.对于集合A 中的任意元素()n x x x ,...,,21=α和()n y y y ,...,,21=β.记()()()()[]n n n n y x y x y x y x y x y x M --+++--++--+= (2)1,22221111βα. （1）当3=n 时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα,M 和()βα,M 的值；（2）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα,，当βα,相同时，()βα,M 是奇数；当βα,不同时，()βα,M 是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα,，()0,=βαM .写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.【解析】：（1）()0,1,1=α，()1,1,0=β，()2,=ααM ，()1,=βαM ；（2）设，()B x x x x ∈=4321,,,α，则()4321,x x x x M +++=αα，由题意知，{}1,0,,,4321∈x x x x ，且()αα,M 为奇数，所以，4321,,,x x x x 中1的个数为1或3，所以，()()()()()()()(){}0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1⊆B ， 将上述集合中的元素分成如下四组：()()0,1,1,1,0,0,0,1；()()1,0,1,1,0,0,1,0；()()1,1,0,1,0,1,0,0；()()1,1,1,0,1,0,0,0，经验证，对于每组中两个元素βα,，均有()1,=βαM ，所以每组中的两个元素不可能同时是集合是集合B 的元素，所以集合B 中元素的个数不超过4，又集合()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4.（3）设()(){}0...,1,,...,,,...,,1212121=====∈=-k k k k k x x x x A x x x x x x S ，n k ,...,2,1= (){}0...,...,,21211=====+n n n x x x x x x S ，则121...+=n S S S A ， 对于()1,...,2,1-=n k S k 中的不同元素βα,，经验证，()1,≥βαM ，所以，()1,...,2,1-=n k S k 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素，所以，B 中元素的个数不超过1+n ，取()k n k S x x x e ∈=,...,,21且0...1===+n k x x （1,...,2,1-=n k ）. 令()1121,...,,+-=n n n S S e e e B ，则集合B 的元素个数为1+n ，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.。
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题
2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题2020．12一、填空题1．若集合{12}A x Z x =∈-<<∣，{}220B xx x =-=∣，则A B ⋃=__________ 2．若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为________3．已知向量(2,1),(2,1)a b k k ==-+，且a b ⊥，求实数k =_______4．直线1l ：(3)30a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a =______5．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______6．通过手机验证码登录共享单车APP ，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码()1234,,,a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为______7．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=______8．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>，若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围为_____9．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos sin (1,2,3,)20202020n n n a i n ππ=+=，则数列{}n a 前2020项的乘积为___________ 10．已知函数()1()(1)2xx f x a a a -=->的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________11．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________ 12．已知{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则下列命题：①n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数211()2x n n a f x x a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则存在某个区间()*(,1)n n n N +∈，使得()f x 在(,1)n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为__________二、选择题13．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交且不过圆心 C ．相以 D ．相离14．已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经过如下变换得到：先将()g x 的图像向右平移3π个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图像的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 15．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，以下两个命题：①如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +都是递增数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是递增数列；②如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +是等差数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是等差数列；下列判断正确的是（ ）A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题16．已知单位向量a 、b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b ta b -+++--的最小值为（） A B ．1312C D ．1 三．解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,2,4AB BC CC ===，M 为棱1CC 上一点．（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成的角； （2）若12C M =，求点B 到平面11A B M 的距离．18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若23,cos 3a cb B ===，求c 的值（2）若sin cos 2A B a b =，求sin 2B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．某油库的设计最大容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x的函数关系为()*0,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月油库满足区域内外需求后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式：（2）要使16个月内油库总能满足区域内和区域外的需求，且油库的石油剩余量不超过油库的最大容量，试确定m 的取值范围．20．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且1210,15a a ==．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立，求实数a 的取值范围．21．设对集合D 上的任意两相异实数1x 、2x ，若()()()()1212f x f x g xg x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ，若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x ．（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8,()log ()log ()a a a f x x g x a x a x ==+--，若01a <<，是否存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．{0,1,2} 2．2- 3．5 4．2-5．80 6．72000 7．323 8．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．i 10．2 11．4λ<-或1λ=--．②③二、选择题13．B 14．A 15．D 16．B三、解答题17．（1）或arctan 2arccos 3；（2）h =．解：（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得1B M =∵1111A B C D ∥，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B ，所成角长方体1111ABCD A B C D -，D 中，1111111,A B B C A B B B⊥⊥，∴11A B ⊥面11B BCC ，∴111A B B M ⊥，故可得11B A M ∠为锐角且11111tan 2B M B A M B A ∠==112arctanarcsin ,arccos 233B A M ∠=（2）设点B 到平面11A B M 的距离为h，11111,B A B M M A B B V V B M --==，11112242,3232h h ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴= 18．（1）3c =；（2）5（1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯ ，即213c =，所以3c =．（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B = 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =． 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，cos 5B =．因此sin cos 2B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 19．（1）()*10116,M mx x x x N =--≤≤∈；（2）71924m ≤≤ （1）由条件得202100p ==，)*116,y x x N=≤≤∈ 2分()*10,116,M mx x x x N =--≤≤∈ 6分（2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立． 8分()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩恒成立 10分t =，则：221010111114420101m t t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由2217110101101224m t t t t ⎛⎫⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） 12分212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． 14分20．（1）证明略；（2）2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==；（3）1a ≤．解：（1）由已知．12n n n b a a +=+①，211n n n a b b ++=②．由②可得1n a +=③ 将③代入①，得对任意*2,n n N ≥∈，有2n b =，即所以，是等差数列 （2）设数列的公差为d ．由1210,15a a ==，得1225,18,2b b ====，2d ==2(4)(1)(1)4),2222n n n d n n b +=-⋅=+-=+=．由已知，当2n ≥时，(3)(4)2n n n a ++==，而110a =也满足此式．所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式为：2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==．（3）由（2），得12112(3)(4)34n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 不等式22n n n b aS a <-化为11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭． 解法一：不等式化为2(1)(36)80a n a n -+--<，设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--，则()0f n <对任意*n ∈N 恒成立． 当10a ->，即1a >时，不满足条件，当10a -=，即1a =时，满足条件． 当10a -<，即1a <时，函数()f n 图像的对称轴为直线3(2)02(1)a x a -=-<-，()f n 关于n 递减，只需(1)4150f a =-<，解得154a <，故1a <． 综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．解法二：不等式化为22683n n a n n ++<+对任意*n ∈N 恒成立，即23813n a n n+<++ 设238()3n f n n n+=+，任取1n 、*2n N ∈，且12n n <，则()()1212221122383833n n f n f n n n n n ++-=-++ ()()()()2112122211223824033n n n n n n nn n n -+++⎡⎤⎣⎦=>++，故()f n 关于n 递减．又()0f n >且lim ()0n f n →∞=，所以238113n n n++>+对任意*n ∈N 恒成立，所以1a ≤． 因此，实数a 的取值范围是(,1]-∞．21．（1）偶函数，证明略；（2）证明略；（3）max 1)t a =．解：（1）设 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=， ∴|()()|0g x g x --≤，即()()g x g x -=，∴()y g x =为偶函数 4分 （2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 即()()120f x f x -<， 5分 所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证． 10分 （3）若存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在12,(0,]x x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a ax f x f x x x x -=-=， ()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++∴-=-==---+--+-()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---∴≤-+-在12,(0,]x x t ∈时恒成立()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在12,(0,]x x t ∈时恒成立， ()212120a x x a x x ⇔--+≥在12,(0,]x x t ∈时恒成立．令2220a t at --=，取1)t a =当1201)x x a <<≤时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+>--=，当121)a x x a ≤<<时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+<--=不合题意．综上所述，实数t 的最大值为1)a ．。
上海市高三数学上学期9月月考试题(含解析)
【答案】80,280
【解析】
【分析】
将总费用表示出来 ，再利用均值不等式得到答案.
【详解】对于A中的两个集合，可取函数f（x）＝x-1，x∈ ，满足：（i）B＝{f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是“保序同构”；
对于B中的两个集合，可取函数 满足题意,是“保序同构”；
对于C中的两个集合，可取函数f（x） （0＜x＜1），是“保序同构”．利用排除法可知选：D
上海市2021届高三数学上学期9月月考试题（含解析）
一、填空题
， ，则用列举法表示集合 =________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入y＝x2+1中，计算可得y的值，即可得B的元素，用列举法表示即可得答案．
【详解】根据题意，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴
∵-1∈A，∴
∴A中另外两个元素为 ， ；
（2） ， ， ，且 ， ，
，故集合 中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）由 ， ，可得
，所有元素积为1，∴ ，
、 、 ，∴ .
【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．
是偶函数， .
（1）求 的值，并判断函数 在 上的单调性，说明理由；
A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件
2021-2022年高三数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
2021年高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
一．选择题(每小题5分，共60分)【题文】1．设集合，，则的子集的个数是（）A．4 B．3 C ．2 D．1【知识点】集合及其运算. A1【答案解析】A 解析：由图可知中有两个元素，所以的子集的个数是4故选A.【思路点拨】由集合中方程的图像得中有两个元素，所以的子集的个数4.【题文】2．复数的共轭复数为（）A． B． C． D．【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】B 解析：=，其共轭复数为：，所以选B.【思路点拨】将已知复数分母实数化得，所以其共轭复数为：【题文】3．下列说法正确的是（）A．若命题都是真命题，则命题“”为真命题B．命题“若，则或”的否命题为“若则或”C．命题“”的否定是“”D．“”是“”的必要不充分条件【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件；基本逻辑联结词及量词. A2 A3 【答案解析】C 解析：若命题都是真命题，则命题“”是假命题，故A错；命题“若，则或”的否命题为“若则且”，故B错；“”是“”的充分不必要条件，故D错；所以选C. 【思路点拨】根据命题及其关系、充分条件、必要条件；基本逻辑联结词及含量词的命题的否定，确定个选项的正误.i=1 s=0 p=0WHILE i ＜＝xxp=i*（i+1） s=s+1/p i=i+1【题文】4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】空间几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：此几何体是四棱锥，其底面为横边长5 纵边长6的矩形，高为.由棱锥体积公式得： 解得：，故选B.【思路点拨】由三视图得：此几何体是四棱锥，由棱锥体积公式求得值.【题文】5．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】解不等式. E8 【答案解析】A 解析：由得：；由得： 所以实数的取值范围是，故选A.【思路点拨】在分段函数的每一段上解不等式，最后取各段解集的并集. 【题文】6．若，则向量与的夹角为（ ） A ． B. C. D. 【知识点】平面向量的线性运算. F1【答案解析】C 解析：因为，所以以向量为邻边的平行四边形是矩形，且向量与夹角，由图易知向量与的夹角为 ，故选C.【思路点拨】由已知等式得：以向量为邻边的平行四边形是矩形，且向量与夹角，由图易知向量与的夹角为. 【题文】7．已知，，，，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】D 解析：22,,sin ,cos 42ππααα⎫⎛⎛⎫∈∴∈∈⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭且，，故选D.【思路点拨】根据已知条件把分成正数和负数两类，得，再由指数函数性质得，所以. 【题文】8．在正项等比数列中，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【知识点】等比数列. D3 【答案解析】D 解析：由得， 所以，故选D.【思路点拨】先由等比数列通项公式及已知条件求得公比q,再由求得. 【题文】9．右边程序运行后，输出的结果为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】程序框图. L1 【答案解析】C 解析：程序执行的结果为： 111112233420132014s =++++⨯⨯⨯⨯因为，_ D_ C _ B_ A _ 所以111111112233420132014s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C.【思路点拨】程序执行的结果是可以用列项求和的式子，故用列项求和法求得结果. 【题文】10．设变量满足，若目标函数的最小值为，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】线性规划. E5【答案解析】B 解析：目标函数的最小值为，即直线的纵截距最大值为1.由图可知最优解是方程组的解，即，代入 得：，故选B.【思路点拨】根据题意确定目标函数取得最大值的最优解，进而得到值. 【题文】11．如图，四面体中，，，平面平面，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ． B. C. D. 【知识点】多面体与球；球的体积. G8【答案解析】C 解析：因为平面平面，,所以平面,所以,因为,所以,所以平面ACD,所以,易得，设BC 中点为O,则：OA=OB=OC=OD= ,即点O 是四面体外接球的球心，所以该球的体积为：，故选C.【思路点拨】根据已知条件确定线段的中点为球心，球半径为,进而得到球的体积.【题文】12．已知分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,则当的面积等于时，双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D.2 【知识点】双曲线及其几何性质. H6【答案解析】A 解析：设：则22224212m n c m n a mn a ⎧⎪+=⎪-=⎨⎪⎪=⎩，解的故选A.【思路点拨】根据已知条件列出关于的方程组，消去得的等量关系，从而求得离心率. 二．填空题(每小题5分，共20分)【题文】13．曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 ． 【知识点】定积分与微积分基本定理. B13 【答案解析】 解析：所求.【思路点拨】根据定积分的几何意义及微积分基本定理求得结论. 【题文】14．设为定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【知识点】奇函数的定义及性质. B4【答案解析】－ 2 解析： 为定义在上的奇函数，得，()()()233log 3112f f m -=-=-+++=-⎡⎤⎣⎦.【思路点拨】由处有意义的奇函数的性质：得，在由奇函数的定义求得-2. 【题文】15．已知的展开式中的系数为5，则 【知识点】二项式定理的应用. J3【答案解析】－1 解析：因为的展开式中，含的项为: ,所以,解得：.【思路点拨】利用二项式定理及多项式乘法的意义，得到的展开式中的系数的表达式，从而求得.【题文】16．数列的通项公式，其前项和为，则= . 【知识点】数列的前项和. D4 【答案解析】3019 解析：当时，，当时，()2212sin 12cos 12n k k a a k k k ππ+⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭而2468101,5,5,9,9a a a a a =-==-==-，468101214200820100a a a a a a a a ∴+=+=+==+=，又.【思路点拨】先按n 的奇偶性将通项公式变形，得所有奇数项为1，所有偶数项从开始每两项的和为零，由此规律求得结论.三．解答题(共70分，解答须写出解题过程和推演步骤) 【题文】17．（本题满分12分） 在△中，角的对边分别为.已知，， 且(1) 求角的大小； （2）求△的面积. 【知识点】三角函数单元综合. C9 【答案解析】（1）C=60°（2） 解析：(1) ∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得∴ 整理，得 …4分解 得： ……5分 ∵ ∴C=60° ………6分（2）解由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC ，即7=a2+b2－ab ∴ ， 由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ……10分∴ …………12分【思路点拨】利用二倍角公式将化为 求得，因为，所以C=60°.（2）由（1）及和余弦定理得：7=a2+b2－ab ，又a+b=5，所以， ∴.【题文】18. （本题满分12分） 在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设某4名考生选做每一道题的概率均为 . （1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布列及数学期望. 【知识点】概率；离散型随机变量及其分布列. K5 K6解析：（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立. ∴=.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.∴4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222k k k k P k C C k ξ-==-==∴变量的分布列为：113110123421648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或）【思路点拨】(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式得：所求;(2)易知随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.由此可求得变量的分布列及其数学期望. 【题文】19.（本题满分12分） 已知在四棱锥中，底面是矩形， 且，，平面，、分 别是线段、的中点． （1）证明：（2）在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值 【知识点】立体几何单元综合. G12 【答案解析】（1）略； (2)点G 是线段AP 上距点A 近的四等分点，理由略；（3） 解析：解法一：（1）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分 不妨令∵，∴，即．…………………………4分（Ⅱ）设平面的法向量为，由，得，令，解得：．∴． ……………6分 设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求．……………………………8分12340 1 2 3 4（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，……9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为……10分∴162cos,611144AB nAB nAB n⋅===⋅++，故所求二面角的余弦值为．………12分解法二：（Ⅰ）证明：连接，则，，又，∴，∴……2分又，∴ ，又，∴ ……4分（Ⅱ）过点作交于点，则∥平面，且有…5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面…7分∴ ∥平面．从而满足的点即为所求．……………8分（Ⅲ）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴ ……………………………………………9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角………………10分∵∽，∴ ，∵，且∴ ，，∴ ……12分【思路点拨】法一：(1)空间向量法.建立空间直角坐标系，得到直线PF、DF的方向向量，由方向的积为零得结论法,(2)先求平面PFD的法向量，再设出G点坐标，由得点G位置.(3)找出二面角两半平面的法向量，求两法向量的余弦值；法二：（1）连接AF,证明平面PAF;（2）过点作交于点，过点作∥交于点，此时∥平面且.（3）找出二面角的平面角：取的中点、PD中点N,可证得为所求二面角的平面角，再求这个角的余弦值.【题文】20.（本小题满分12分）已知定点，，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明。
2021年高三上学期第一次月考数学理试卷含解析
2021年高三上学期第一次月考数学理试卷含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩CRB=（）A．（﹣2，1）B．（1，4）C．{2，3} D．{﹣1，0}2．函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）3．函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A． B．C．D．5．下列各式中错误的是（）A．0.83＞0.73B．log0..50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.46．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”7．函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A． B． C． D．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，+∞）9．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B． C． D．10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数是（）A．9 B．10 C．18 D．20二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．已知sin（π﹣α）=log8，且α∈（﹣，0），则tan（2π﹣α）的值为．12．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是．13．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是．15．设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X ∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．16．（12分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．17．（12分）已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．19．（12分）已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数．（Ⅰ）求a的值与函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．20．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=，且a+c=2．（1）求角B；（2）求边长b的最小值．21．（14分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．xx学年山东省淄博市淄川一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．（xx•太原三模）已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩C R B=（）A．（﹣2，1）B．（1，4）C．{2，3}D．{﹣1，0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据全集R求出B的补集，找出A 与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B={﹣1，0，1，2，3}，由B中不等式变形得：（x+3）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣3，或x≥1，即B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∴C R B=（﹣3，1），则A∩（C R B）={﹣1，0}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：2＜x＜3，或x＞3所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．故选C．【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．3．（xx秋•保山校级期末）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得＞0，所以函数在（0，+∞）上单调增∵f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3＞0∴函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（2，3）故选C．【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．4．（xx•亳州校级模拟）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，属于基础题．5．下列各式中错误的是（）A．0.83＞0.73B．log0..50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数值大小的比较；对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】通过构造函数，利用函数的单调性直接判断选项即可．【解答】解：对于A，构造幂函数y=x3，函数是增函数，所以A正确；对于B，对数函数y=log0.5x，函数是减函数，所以B正确；对于C，指数函数y=0.75x是减函数，所以C错误；对于D，对数函数y=lgx，函数是增函数，所以D正确；故选C．【点评】本题考查指数函数与对数函数的单调性的应用，基本知识的考查．6．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．7．（xx•浙江校级一模）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】根据图象变换规律，把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2（x++φ））的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得φ的值，然后函数f （x）在上的最小值．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选A．【点评】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题．8．（xx•山东）若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．【解答】解：∵f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即整理可得，∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=∵f（x））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故选：C【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．9．（xx•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B． C． D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．10．（xx秋•杭州期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数是（）A．9 B．10 C．18 D．20【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=|1gx|的图象，结合图象当x＞10时，y=lg10＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数【解答】解：解：R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象根据y=lg|x|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=10时lg10=1，∴当x＞10时y=lgx此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有9个交点，则函数g（x）=f（x）﹣lg|x|的零点个数为18，故选：C【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣1g|x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（xx秋•钦州月考）已知sin（π﹣α）=log8，且α∈（﹣，0），则tan（2π﹣α）的值为．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件求得sinα的值，再根据α∈（﹣，0），求得cosα的值，从而求得tanα= 的值，可得tan（2π﹣α）=﹣tanα的值．【解答】解：∵sin（π﹣α）=log8，∴sinα=﹣log84=﹣．又α∈（﹣，0），∴cosα=，∴tanα==﹣，tan（2π﹣α）=﹣tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于中档题．12．（xx春•延庆县期末）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是4≤a＜8．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜8【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．13．（xx•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【考点】余弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．14．（xx•泸州模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，即a≥2a+5，解得a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；故答案为：（﹣∞，﹣5]；【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．15．（xx春•临沂校级期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）依题意，f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），可判断（1）；（2）利用x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1，可判断f（x）在区间[0，1]上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），从而可得f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f（x）max=f（1）=21﹣1=20=1，f（x）min=f（0）=20﹣1=，故（3）错误；（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），∴f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，∴f（4﹣x）=f（x）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．16．（12分）（2011•南山区校级模拟）设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…（3分）若，则，即，即﹣2＜x＜3．…（7分）因为A∩B=A，即A⊆B，所以．解得0≤a≤1，…（11分）故实数a的取值范围为[0，1]…（12分）【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解绝对值不等式和分式不等式求出集合A，B是解答本题的关键．17．（12分）（xx•颍上县校级三模）已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】计算题．【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由¬p是¬q的充分条件，知q⇒p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵q：，∴q：2＜x＜3，∵¬p是¬q的充分条件，∴q⇒p，∵P：2x2﹣9x+a＜0，设f（x）=2x2﹣9x+a，∴，解得a≤9．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．（12分）（xx秋•河西区期末）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用二倍角的余弦降幂化积，则函数的最小正周期可求；（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=====．∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，则2x﹣∈[]，∴[]．故f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查三角函数值域的求法，运用辅助角公式化简是解答该题的关键，是基础题．19．（12分）（xx秋•廊坊期末）已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数．（Ⅰ）求a的值与函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案；（Ⅱ）化简f（x）+log（x﹣1）为log2（1+x），由x的范围求其值域得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵知函数f（x）=log2是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，即，∴a=1．令，解得：x＜﹣1或x＞1．∴函数的定义域为：{x|x＜﹣1或x＞1}；（Ⅱ）f（x）+log2（x﹣1）=log2（1+x），当x＞1时，x+1＞2，∴log2（1+x）＞log22=1，∵x∈（1，+∞），f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立，∴m≤1，m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．20．（13分）（xx•山西模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，=，且a+c=2．（1）求角B；（2）求边长b的最小值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理化简表达式，求角B；个两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求边长b的最小值．推出b的表达式，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）在△ABC中，由已知，即cosCsinB=（2sinA﹣sinC）cosB，sin（B+C）=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分△ABC 中，sinA≠0，故．…6分．（2）a+c=2，由（1），因此b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac …9分由已知b2=（a+c）2﹣3ac=4﹣3ac …10分…11分故b 的最小值为1．…12分【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．21．（14分）（xx•东港区校级模拟）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为2x+﹣2≥k•2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，从而求得k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，解得．…．（6分）（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max =h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．…（14分）【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，属于中档题．26650 681A 栚r\E 36919 9037 逷{23078 5A26 娦$A921292 532C 匬<s。
2020-2021上海进才中学北校高中必修一数学上期中试题附答案
2020-2021上海进才中学北校高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U7．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201910．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,312．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、填空题13．函数()f x 的定义域是__________．14．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________.15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．16．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________17．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.18．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.19．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________．20．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题21．已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．22．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围； （2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 23．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）若2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值． 24．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D2．A解析：A 【解析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.8．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．二、填空题13．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.14．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．17．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.18．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）.故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.19．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】 因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）(2,3]；（2）2log (1x =． 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =． 考点：指数函数的图象与性质． 22．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4.【解析】 【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=， 解得4x =或12x =-.【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）[]22-,；（2）24x =，最小值14-，4x =，最大值12 .【解析】试题分析：（1）根据定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，利用对数函数的单调性确定函数2log t x =的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数()()()()()2222log 4log 221f x x x log x log x =⋅=++利用换元法将函数()y f x =转化为关于t 的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值. 试题解析：（1）的取值范围为区间][221log ,log 42,24⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（2）记()()()()()()()22log 2log 12122y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．∵()23124y g t t ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数，在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数 ∴当23log 2t x ==-即32224x -==时，()y f x =有最小值23124f g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭；当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值()()4212f g ==． 24．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）34.2p p ><-或 【解析】 【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可. 【详解】 （1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ； 当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围． 【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-；当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解， 则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围． 26．（1）见解析；（2）29(,]8. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin 2A <<，因此221992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sinA C的取值范围是9] 28．考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.。
2021年高三上学期第一次月考9月数学试题(文)含答案
2021年高三上学期第一次月考9月数学试题（文）含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求． 1．复数，则对应的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合，，则 A ．B ．C ．D ．3. 设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．设f （x ）＝，则f （f （－2））＝A ．－1B ．C ．D ．5. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A ．7B ．8C ．9D ．146．设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是 ( ) A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，则输出的值为 ( ) A. xx B. 2 C. D.8.设是等差数列的前项和，, 则的值为（ ） A. B. C. D.9. 将奇函数()()sin 0,0,22f x A x A x ππωφω⎛⎫=+≠>-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.210.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）11．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（）A. (1,2]B. D. [3，+)12．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上)13．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ____________14.已知向量与的夹角为，且，则的最小值为_________15.在中，AB=AC=2,BC=,D在BC边上，求AD的长为____________16.在数列中，已知，记为数列的前项和，则 .三：解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.（本小题满分12分）在ΔABC中，内角所对的边分别为. 若－.（1）求角C的大小；（2）已知，ΔABC的面积为. 求边长的值.18. （本小题满分12分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数频率10307060合计200（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等．．．．级分层抽样．．．．．所得的结果相同，求n的最小值．19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;（Ⅲ）若，试求的值．20．（本小题满分12分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e．（1）求f（x）的单调区间；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1都成立，求k的最大值．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．如图，已知圆O和圆M相交于两点，为圆M的直径，直线交圆O于点，点为弧中点，连结分别交圆O、于点连结．（1）求证：（2）求证：.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线为参数), 曲线（为参数）.(I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式的解集是，．（I）试比较与的大小；（II）设表示数集的最大数．,求证：．xx届山东省滕州市第一中学高三9月月考数学试卷参考答案一、选择题CACCC, ABDAB, CB二、填空题13， 14， 15， 16，-1006三、解答题17. 解析：（１）由条件得=2（2）即==……2分化简得 , …4分∵∴又∴＝…6分（２）由已知及正弦定理得………8分又 SΔABC=8，C= ∴12，得………10分由余弦定理得 . …12分··ABCDGEFOM18．（Ⅰ）解：，，．………… 4分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．…………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为．所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为．……………… 12分19. （Ⅰ）证明：由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE；………2分又底面ABCD是菱形，∠BAD=60所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，又PE∩BE=E所以AD⊥平面PBE. ……………… 4分（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ//PA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA//平面BDQ. ……………… 8分（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-A BCD的高分别为.所以， ,又因为，且底面积，所以. ……… 12分20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得. ………2分故椭圆的方程为. ………4分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可知，，，直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为，圆的半径………6分由得．设点的坐标为，则………8分因为点坐标为，直线的斜率为，直线的方程为：点到直线的距离．………10分所以．故以为直径的圆与直线相切．………12分21．解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜．∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）当x＞1时，令g（x）==，则g′（x）=，设h（x）=x﹣2﹣lnx，则h′（x）=1﹣=＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴∃x0∈（3，4），且h（x0）=0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=，∵h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0，∴x0﹣1=1+lnx0，g（x0）=x0，∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．22证明：（1）连结，，22.证明：（1）连结，，∵为圆的直径，∴，∴为圆的直径, ∴,∵，∴,∵为弧中点，∴，∵,∴,∴∽，∴，（2）由（1）知，,∴∽,∴,由（1）知，∴ ．23.解.（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则. ………………5分（II ）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当时,取得最小值,且最小值为.…………10分24.解：由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以（I ）由，得，所以故………………5分（II ）由，得，，所以8)(42222223≥+=⋅+⋅≥ab b a bab b a ah 故.………………10分e38854 97C6 韆33050 811A脚 40363 9DAB 鶫#+29562 737A 獺922057 5629 嘩@on26883 6903 椃35367 8A27 訧。
2022年 新进才中学高三上学期开学考试数学模拟练习解析版配套精选
2021届上海市进才中学高三上学期开学考试数学试题一、单项选择题1．假设，，那么是的〔〕条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【答案】B【解析】由a＞0，b＞0，＞a且＞b，可得：＞ab，且＞ab．反之不成立，例如＞b，＞a．【详解】由a＞0，b＞0，＞a且＞b，由不等式的性质可得：＞ab，且＞ab．反之不成立，例如还可以得到＞b，＞a．因此是的必要不充分条件．应选：B．【点睛】此题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．假设变量，满足那么22的最大值是A．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图，点A〔3，1〕到原点距离最大，所以，选C【考点】简单线性规划【名师点睛】此题主要考查简单线性规划的应用，是一道根底题目从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的根本问题，往往围绕目标函数最值确实定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力3．平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出以下四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D选项C中，投影相交那么原来直线不可能重合，错误。
选项D中，投影平行，那么原来直线可能相交，错误。
选B4．两个不相等的实数满足以下关系式：，那么连接、两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是〔〕A．相离B．相切C．相交D．不能确定【答案】C【解析】利用设而不求可求的直线方程，再利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系【详解】因为，故点在直线上，同理，在直线上，故直线的方程为：圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交应选：C【点睛】此题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系的判断，求直线方程时注意判断直线的几何要素中哪些是，哪些是未知的，从而假设适宜的直线方程形式来求直线方程，也可以利用方程的思想即找一个二元一次方程，而的点的坐标均满足该方程，那么该方程即为所求的直线方程〔此为设而不求法〕直线与圆的位置关系的判断依据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断即可二、填空题5．复数的虚部为__________．【答案】-1【解析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可【详解】由复数的运算法那么有：，那么复数的虚部为【点睛】此题主要考查复数的运算法那么及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【答案】【解析】因为，所以，应填答案。
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2021届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．()2log 2y x =C ．()2log 1y x =+D ．212x y -= 【答案】D【解析】试题分析：A 选项12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于y x =对称的函数是12log y x =.B 选项()22log 21log y x x ==+，先向下平移一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴对称翻折，得到12log y x =.C 选项先向右移动一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴对称翻折，得到12log y x =.故选D.【考点】函数图象变换.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换，考查指数函数和对数函数互为反函数.选择题采用逐一排除法.首先考查A 选项，选项中的函数和12log y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以翻折后可以重合.接着考查B 选项，首先利用对数运算化简()22log 21log y x x ==+，然后通过先下平移，再关于x 对称，得到12log y x =图象.C 也是同样的做法，先平移然后对称变换得到12log y x =.2．ABC △中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】先判断是否充分：化简cos sin cos sin A A B B +=+后能否得到结论：等腰三角形；再判断是否必要：由等腰三角形是否能得到cos sin cos sin A A B B +=+，据此得到条件类型. 【详解】因为cos sin cos sin A A B B +=+，所以1sin 21sin 2A B +=+，所以A B =或2A B π+=，所以三角形是等腰或者直角三角形，所以不充分； 又因为当三角形是等腰三角形时，取,42A CB ππ===，此时cos sin cos sin A A B B +≠+，所以也不必要，故为：既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】充分、必要条件的判断要从两方面入手：充分性和必要性.充分性是条件能否推出结论的过程，必要性是结论能否推出条件的过程，判断时两者缺一不可.3．已知实数0a >，0b >，对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①“()f x 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称”； ②“()f x 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ，都有()()f x a f x -=-”； ④“函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ ） A.①② B.②③C.①④D.③④【答案】A【解析】①根据奇函数的定义判断；②根据偶函数的定义判断；③根据周期性的定义判断；④根据对称性定义判断. 【详解】①：因为()y f x a =-图象是由()y f x =向右平移a 个单位得到的，所以()f x 是奇函数⇔()f x 图像关于原点对称⇔函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称，故正确；②：由①同理可知:()f x 是偶函数⇔()f x 图像关于y 轴对称⇔函数()f x a -的图像关于直线x a =对称，故正确；③：设()2f x =，2a 是()f x 的一个周期，所以()()2,2f x a f x -=-=-，所以()()f x a f x -=-不成立，故错误；④：设()0f x =，所以()0f x a -=，()0f b x -=，此时()f x a - 与()f b x -的图象关于y 轴对称，但是a b =不一定成立，故错误； 所以正确命题序号为：①②. 故选：A. 【点睛】常见的函数对称轴和对称中心的判断：（1）若()()2f a x f x -=，则()f x 的一条对称轴为x a =；（2）若()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 的一个对称中心为：,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭. 4．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+D.2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知 ，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【考点】函数的概念二、填空题5．函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=______.【答案】2【解析】根据周期的计算公式2T ωπ=，代入周期即可得到ω的值.【详解】 因为2T ωπ=，所以222T ππωπ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.2T ωπ=知道其中一个量即可求解另一个量.6．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 【答案】()1,2-【解析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B 的结果. 【详解】因为12x -<，所以13x ，所以()1,3A =-； 又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-. 故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集. 7．方程lg lg(3)1x x ++=的解x =______.【答案】2【解析】首先根据对数的真数大于零得到：030x x >⎧⎨+>⎩，然后根据对数运算法则可知：()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，据此求解出x 的值.【详解】因为030x x >⎧⎨+>⎩，所以()0,x ∈+∞；又因为()lg lg(3)lg 3x x x x ++=+⎡⎤⎣⎦，所以()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，所以()310x x +=，解得：2x =或5x =-，又因为()0,x ∈+∞，所以2x =. 故答案为：2. 【点睛】解对数方程时，第一步应该根据对数式的真数大于零先确定未知数的范围，然后再利用对数的运算性质对方程进行化简，最后完成求解.8．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的解析式()f x =______. 【答案】()120xx ->【解析】设出幂函数解析式，由于点1,93⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以可知19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()f x 图像上，由此可求解出()f x . 【详解】设()f x x α=，因为点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以()f x 图像经过19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以193α=，解得：12α=-，所以()()120f x x x -=>.故答案为：()120x x ->.【点睛】本题主要考查反函数与原函数的关系，难度较易.互为反函数的两个函数的图像关于y x =对称.9．函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为______. 【答案】56π 【解析】先通过平移变换得到新的函数解析式，然后根据新函数为奇函数得到关于ϕ的等式，由此确定ϕ的最小正值. 【详解】因为()f x 向左平移3π单位后得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭且()g x 为奇函数， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=-∈，又因为0ϕ>，所以当1k =时有min 56πϕ=. 故答案为：56π.【点睛】本题考查根据三角函数的奇偶性求解参数的最值，难度一般.若()()sin f x x ωϕ=+为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()()sin f x x ωϕ=+为偶函数，则有,2k k Z πϕπ=+∈.10．若集合A 、B 、C 满足A B B C ⋃=⋂，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ；④A =∅中一定成立的有______.（填写你认为正确的命题序号） 【答案】①【解析】通过A B B C ⋃=⋂发现等式的两边都有集合B ，根据交、并集运算特点可知A B B C B ⋃=⋂=，由此利用集合间运算的性质判断出各结论是否一定成立【详解】因为A B B C ⋃=⋂，所以A B B C B ⋃=⋂=， 由A B B ⋃=可知A B ⊆；由B C B =可知B C ⊆， 因此可得：A B C ⊆⊆， 故①一定成立，②不一定成立；A C 不一定成立，A =∅也不一定成立，所以③④不一定成立；故一定成立的只有：①. 故答案为：①.【点睛】本题考查根据集合间的运算结果判定集合间的关系，难度一般.交、并集运算的性质：若A B A ⋃=，则B A ⊆；若A B A =，则A B ⊆11．偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是_____．【答案】1233x <<【解析】因为函数f （x ）为偶函数，所以f （|x|）=f （x ），所以要求 f(2x-1)＜f(13)的解集，等价于求解：f （|2x-1|）＜f （|13|）的解集，等价于：|2x-1|＜13，解得：13＜x ＜23，故答案为1233x <<。
12．当01x ≤≤时，如果关于x 的不等式||2x x a -<恒成立，那么a 的取值范围是______. 【答案】()1,3-【解析】分别考虑0x =和0x ≠的情况，对于0x ≠时将不等式进行变形：2||x a x-<，通过对a 的范围的分类讨论确定出a 的取值范围. 【详解】当0x =时，有02<成立；当0x ≠时，不等式变形为2||x a x -<，且2y x=在(]0,1上单调递减且有最小值2， 当[]0,1a ∈时，||1x a -≤，所以2||x a x-<成立；当1a >时，y x a a x =-=-，则只需：12a -<，所以13a <<； 当0a <时，y x a x a =-=-，则只需：12a -<，所以1a >-， 综上可知：()1,3a ∈-. 故答案为：()1,3-. 【点睛】本题考查绝对值不等式背景下的不等式恒成立问题以及分类讨论思想的应用，难度一般.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：通过对参数分类，然后讨论分类成立的条件对应的参数范围；（2）参变分离法：将参数与x 分离开来，构建新的函数或者利用不等式，讨论最值与参数的大小关系.13．若函数lg 11()sin 0x x f x x x ⎧->=⎨<⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有______对.【答案】4【解析】作出()f x 的图象，考虑0x >时sin y x =与lg 1y x =-的交点个数，再根据()f x 图象本身过原点()0,0确定出对称点的对数. 【详解】作出()f x 图象如图所示：（绿色部分为0x >时sin y x =的图象）由图象可知：0x >时sin y x =与lg 1y x =-有3个交点，又因为()f x 的图象过原点，所以关于原点O 对称的点共有4对. 故答案为：4. 【点睛】数形结合方法的命题角度有：（1）确定方程的根的个数或者函数的零点个数； （2）求解参数的取值范围；（3）研究函数的单调性、奇偶性、对称性，周期性.14．已知、b 、都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是________ 【答案】【解析】结合函数的定义域判断其值域，由反函数的定义域为，可得函数的值域为，即可得出结果.【详解】由其定义域为，因为，所以，(1)当，由解析式可得，当时，；当时，，即的值域为；又函数的反函数的定义域是，所以函数的值域为，因为、b、都是实数，可以大于；因此值域可以为，不满足题意；（2）当时，由解析式可得：当时，；当时，，即的值域为；同（1）可知：函数的值域必须为，因为、b 、都是实数，可以大于，因此符合题意；综上：的所有取值构成的集合是.故答案为【点睛】本题主要考查分段函数与反函数的问题，熟记函数的性质即可，属于常考题型.15．对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如2.83〈〉=，31〈-〉=-，44〈〉=.若x ∈R ，则方程13122x x 〈+〉=-的根为______.【答案】9744--， 【解析】设2x 12-=k ∈Z ，则214k x +=，3x +1＝k +1234k ++，于是原方程等价于2314k +=-，从而可得k ＝﹣5或﹣4，求出相应的x ，即为方程的根. 【详解】设2x 12-=k ∈Z ，则214k x +=，3x +1＝k +1234k ++， 于是原方程等价于2314k +=-，即23214k +-≤-＜， 从而11722k -≤-＜，即k ＝﹣5或﹣4．相应的x 为9744--，．所以方程根为：9744--，. 故答案为：9744--，. 【点睛】本题考查新定义背景下函数与方程的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，考查转化能力，属于中档题．16．已知集合[][],14,9A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是____________ 【答案】1或3-【解析】根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]4,9a t t ∈++时，aλ所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值. 【详解】0A ∉，则只需考虑下列三种情况： ①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ 又0λ> ,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤⇒∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ A a λ∈ 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且419t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去③当1040t t +<⎧⎨+>⎩即41t -<<-时可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且4994t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=- 综上所述：1t =或3- 【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与aλ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.17．已知函数2()32f x x ax b =--，其中,a b ∈R . （1）若不等式()0f x ≤的解集是[]0,6，求a 与b 的值； （2）若3b a =，求同时满足下列条件的a 的取值范围. ①对任意的x ∈R 都有()0f x ≥恒成立；②存在实数x ，使得2()23f x a ≤-成立.【答案】（1）9a =，0b = （2）[9,6][1,0]a ∈--⋃-【解析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点值是对应函数的零点，列出关于,a b 方程组完成求解；（2）将b 用3a 替换，若要满足条件①只需对应的0∆≤即可，如要满足条件②只需要()min 223f x a ≤-，据此列出不等式完成求解.【详解】（1）因为()0f x ≤的解集是[]0,6，所以有()()006108120f b f a b ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩，解得：90a b =⎧⎨=⎩；（2）因为3b a =，所以()2323f x x ax a =--，因为对任意的x ∈R 都有()0f x ≥恒成立，所以24360a a ∆=+≤，解得：90a -≤≤；又因为存在实数x 使得2()23f x a ≤-成立，所以()2min 333a a f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以222333a a a ≤---，解得：6a ≤-或1a ≥-， 综上可知：[][]9,61,0a ∈---.【点睛】（1）一元二次不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为()12,x x ，则12,x x 为对应的二次函数的零点；（2）存在性问题：存在实数x 满足()f x M ≤（()f x M ≥），则只需要：()min f x M ≤（()max f x M ≥）.三、解答题18．已知函数21()ax f x x b+=+的图像过点()1,2，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-在()0,∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）21()x f x x+=（2）4t <【解析】（1）由对称性可知()1,2--也在函数()f x 图象上，据此列出方程组求解出,a b 的值； （2）利用分离参数法将不等变形，然后根据基本不等式求解最值确定t 的取值范围. 【详解】（1）依题意，函数()f x 的图象过点()1,2和()1,2--.所以1(1)221111210(2)21a f a b a b a a b b f b +⎧==⎪-==⎧⎧⎪+⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩⎩⎪-==-⎪-+⎩，故21()x f x x +=.（2）不等式()(2)(4)xf x t x t >-+-可化为225(1)x x x t ++>+.即2251x x t x ++<+对一切的()0,x ∈+∞恒成立.因为22541411x x x x x ++=++≥++，当且仅当1x =时等号成立，所以4t <. 【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.19．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值【答案】（1）或.（2），【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得.∴△ABC 的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f （θ）取得最大值.【考点】1.余弦定理;2．正弦定理 20．已知22()1x m f x x -=+定义在实数集R 上的函数，把方程1()f x x =称为函数()f x 的特征方程，特征方程的两个实根,()αβαβ<称为()f x 的特征根 （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()f f βα-的表达式；（3）把函数(),[,]y f x x αβ=∈的最大值记作()max f x ，最小值记作()min f x . 令()max ()min ()g m f x f x =-，若2()1g m m λ≤+λ的取值范围. 【答案】（1）0m =时，22()1x f x x =+是奇函数；0m ≠时，22()1x mf x x -=+是非奇非偶函数（2）2()()4f f m βα-=+ （3）2λ≥【解析】（1）对m 进行分类讨论：0m =，0m ≠，然后根据定义判断奇偶性； （2）将1()f x x=变形为一元二次方程，根据>0∆确定,()αβαβ<满足的韦达定理形式，再根据11()()f f βαβα-=-并代入相关韦达定理形式完成计算；（3）先用定义法确定函数()f x 在[],αβ上的单调性，由此计算出()g m 的结果，然后采用分离参数法计算出λ的取值范围. 【详解】（1）()f x 定义域为R 关于原点对称，0m =时，22()1xf x x =+是奇函数； 0m ≠时，22()1x mf x x -=+是非奇非偶函数.证明：当0m =时，2()()()1xf x f x x --==--+，故()f x 是奇函数； 当0m ≠时，显然()00f m =-≠，所以()f x 不是奇函数；又因为()221x mf x x ---=+，所以()()f x f x -=不恒成立，所以()f x 不是偶函数；故()f x 为非奇非偶函数. （2）21()10f x x mx x=⇒--=，由2m 40∆=+>，所以方程必有两个不等实根. m αβ+=，1αβ=-，所以11()()f f αββαβαβααβ--=-==-==（3）首先证明函数()f x 在[],x αβ∈上是单调递增函数. 设任意的12,x x 满足12x x αβ<<<，()()()()()()21121221212222212122221111x x m x x x x x m x m f x f x x x x x -+-+⎡⎤--⎣⎦-=-=++++因为()222111212222102010x mx x x m x x x mx ⎧--<⇒+-+-<⎨--<⎩， 所以()()22121212222112220m x x x x x x x x x x +-+>+=->-， 所以()()210f x f x ->，故()f x 在[],x αβ∈内单调递增，可得，()g m =≤λ⇒≥=2≤=，取等号时0m =， 所以，2λ≥ 【点睛】本题考查函数的奇偶性证明、函数与方程、根据不等式恒成立求解参数范围的的综合应用，难度较难.（1）韦达定理的几个重要变形：12x x -=()()221212124x x x x x x =++-；（2）依据不等式恒成立求解参数范围时注意注意分类讨论法和参变分离法的选择.21．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α=和()12,,,n y y y β=，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)【解析】【详解】 （Ⅰ），。