2018年上海市中考数学试卷解析版
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2018年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。
下列各题的四个选项中,
有且只有一个选项是正确的)
1. (4分)下列计算丨:;-,的结果是()
A. 4
B. 3
C. 2 二
D..-
【分析】先化简,再合并同类项即可求解.
【解答】解:卜」-:■:
=3 一 ?- :■:
=2 一 ?.
故选:C.
【点评】考查了二次根式的加减法,关键是熟练掌握二次根式的加减法法则: 次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.
2. (4分)下列对- 」兀二次方程«+x-3=0根的情况的判断,正确的是(
A. 有两个不相等实数根
B. 有两个相等实数根
C.有且只有一个实数根
D.没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出厶=13>0,进而即可得出方程x2+x - 3=0有两个不相等的实数根.
【解答】解:••• a=1,b=1,c=— 3,
•••△ =b2- 4ac=12- 4X(1)X( - 3)=13>0,
•••方程x2+x- 3=0有两个不相等的实数根.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记当厶> 0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
3. (4分)下列对二次函数y=«-x 的图象的描述,正确的是( )
A .开口向下 B.对称轴是y 轴
C •经过原点
D .在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A 、由a=1>0,可得出抛物线开口向上,选项 A 不正确;
B 、 根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x 二,选项B 不正确;
C 、 代入x=0求出y 值,由此可得出抛物线经过原点,选项 C 正确;
D 、 由a=1>0及抛物线对称轴为直线x 丄,利用二次函数的性质,可得出当 x > 丄时,y 随x 值的增大而增大,选项 D 不正确. 2
综上即可得出结论.
【解答】解:A 、: a=1>0,
C 、当 x=0 时,yrx 2 - x=0,
•••抛物线经过原点,选项 C 正确; D 、t a >0,抛物线的对称轴为直线x 斗,
.•.当x >丄时,y 随x 值的增大而增大,选项D 不正确. 故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象, 逐一分析四个选项的正误是解题的关键.
4. (4分)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户 数依次是:27,30, 29,25, 26,28, 29,那么这组数据的中位数和众数分 别是(
)
【分析】 根据中位数和众数的概念解答.
•••抛物线开口向上,选项 A 不正确; B 、
b =1
2a 2
利用二次函数的性质
A . 25 和 30
B . 25 和 29
C. 28 和 30
D . 28 和 29
•••抛物线的对称轴为
直线
【解答】解:对这组数据重新排列顺序得,25,26,27,28,29,29,30,处于最中间是数是28,
•••这组数据的中位数是28,
在这组数据中,29出现的次数最多,
•••这组数据的众数是29,
故选:D.
【点评】本题考查的是中位数、众数的概念,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
5. (4分)已知平行四边形ABCD下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的
是()
A. Z A=Z B
B.Z A=Z C
C. AC=BD
D. AB丄BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.
【解答】解:A、/ A=Z B,Z A+Z B=180°,所以/ A=Z B=90 ,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;
B、Z A=Z C不能判定这个平行四边形为矩形,错误;
C、AC=BD对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;
D、AB丄BC,所以Z B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;
故选:B.
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理. 但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.
6. (4分)如图,已知Z POQ=30,点A、B在射线0Q上(点A在点0、B之间),
半径长为2的。
A与直线0P相切,半径长为3的。
B与。
A相交,那么0B 的取值范围是()
【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:OA=4,再确认。
B与。
A相切时,OB的长,可得结论.
【解答】解:设。
A与直线OP相切时切点为D,连接
AD,
••• AD 丄OP,
vZ O=30 , AD=2
••• OA=4,
当。
B与。
A相内切时,设切点为C,如图1,
v BC=3
•OB=O/+AB=4+3 - 2=5;
当。
A与。
B相外切时,设切点为E,如图2,
•OB=OA+AB=4+2+3=9,
•••半径长为3的。
B与。
A相交,那么OB的取值范围是:5v OB v9,
A. 5 v OB v 9
B. 4v OB v 9
C. 3v OB v7
D. 2v OB v7
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理,熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键,还利用了数形结合的思想,通过图形确定0B 的取值范围.
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7. (4分)-8的立方根是 -2 .
【分析】利用立方根的定义即可求解.
【解答】解:T(- 2)3=- 8,
•••- 8的立方根是-2.
故答案为:-2.
【点评】本题主要考查了立方根的概念•如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a (x3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根•读作三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数.
8. (4分)计算:(a+1)2-a2= 2a+1
【分析】原式利用完全平方公式化简,合并即可得到结果.
【解答】解:原式=a F+2a+1 - a2=2a+1,
故答案为:2a+1
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
【分析】方程组中的两个方程相加,即可得出一个
元二次方程,求出方程的解, 再代入求出y即可.
【解答】解:'"
I. 二2(3
②+①得:X2+X=2,
解得:X=- 2或1 ,
把X=- 2代入①得:y= - 2,
把X=1代入①得:y=1,
所以原方程组的解为
If
故答案为:
旳二-2
【点评】本题考查了解高次方程组,能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键.
10. (4分)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是0.8a
元•(用含字母a的代数式表示).
【分析】根据实际售价=原价x 二即可得.
10
【解答】解:根据题意知售价为0.8a元,
故答案为:0.8a.
【点评】本题主要考查列代数式,解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系.
11. (4分)已知反比例函数y—(k是常数,山1)的图象有一支在第二象限,
那么k的取值范围是k v 1
【分析】由于反比例函数讨的图象有一支在第二象限,可得k- 1v0,求出
x
k的取值范围即可.
【解答】解:•••反比例函数y—的图象有一支在第二象限,
••• k- 1v 0,
解得k v 1.
故答案为:k v 1.
【点评】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.
12. (4分)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学
生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20- 30元这个小组的组频率是0.25
【分析】根据频率二频数*总数”即可得.
【解答】解:20 - 30元这个小组的组频率是50- 200=0.25,
故答案为:0.25.
【点评】本题主要考查频数分布直方图,解题的关键是掌握频率=频数十总数.
13. (4分)从二,n这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率为
2_
2_—.
【分析】由题意可得共有3种等可能的结果,其中无理数有n V3共2种情况, 则可利用概率公式求解.
【解答】解:•••在#, n體这三个数中,无理数有n,五这2个,
•••选出的这个数是无理数的概率为一,
3
故答案为:二.
【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义. 此题比较简单,注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
14. (4分)如果一次函数y=kx+3 (k是常数,心0)的图象经过点(1,0),那么
y的值随x的增大而减小.(填增大”或减小”
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值,再利用一次函数的性质即可得出结论.
【解答】解:•一次函数y=kx+3 (k是常数,〜0)的图象经过点(1,0),
• 0=k+3,
•k=- 3,
•y的值随x的增大而减小.
故答案为:减小.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质,牢记“k >0,y随x的增大而增大;k v0,y随x的增大而减小”是解题的关键.
15. (4分)如图,已知平行四边形ABCD E是边BC的中点,联结DE并延长,与
AB的延长线交于点F.设|W=r,*=「,,那么向量丨;用向量八〔表示为
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形,则DC=BF故AF=2AB=2DC结合三角形法则进行解答.
【解答】解:如图,连接BD, FC,
•••四边形ABCD 是平行四边形, ••• DC// AB , DC=AB •••△ DC0A FBE 又E 是边BC 的中点, DE =EC .1 EF EB T ,
••• EC=BE 即点E 是DF 的中点,
•••四边形DBFC 是平行四边形, ••• DC=BF 故 AF=2AB=2DC
••• 一丫=匚+八=1〔+2 心;+2[〔.
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形 的性质•注意掌握三角形法则的应用是关键.
16. (4分)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形 内角和问题•如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条,那么该
多边形的内角和是
540度.
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形,然后根据三角 形内角和可计算出该多边形的内角和.
【解答】解:从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条,则将多边形分割 为3个三角形.
所以该多边形的内角和是3 X 180°540°.
故答案为540.
【点评】本题考查了多边形内角与外角:多边的内角和定理:(n - 2)?180 (n >3)且n为整数).此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出
(n-3)条对角线,将n边形分割为(n - 2)个三角形.
17. (4分)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在厶ABC的边BC上,顶点G、
F分别在边AB、AC上.如果BC=4 △ ABC的面积是6,那么这个正方形的边
长是一
|12| -7 —
1A
Z_\r
B D E C
【分析】作AH丄BC于H,交GF于M,如图,先利用三角形面积公式计算出AH=3, 设正方形DEFG的边长为x,则GF=x MH=x, AM=3 - x,再证明△ AGF^A ABC, 则根据相似三角形的性质得丄,然后解关于x的方程即可.
4 3
【解答】解:作AH丄BC于H,交GF于M,如图,
••丄BC?AH=6
设正方形DEFG的边长为x,贝U GF=x MH=x, AM=3 - x, ••• GF// BC,•••△ AGF^A ABC,
•••驚-鸞,即*-订',解得x寺BC AH 4 3 7
即正方形DEFG的边长为一.
故答案为丄.
AH—=3,
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作
用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在应用相
似三角形的性质时,主要利用相似比计算相应线段的长•也考查了正方形的性质
.
18. (4分)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内
部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽
【解答】解:在菱形上建立如图所示的矩形EAFC
在Rt A CBF中,CB=1, BF=x- 1,
由勾股定理得:B^=BF2+CF2,
【分析】先根据要求画图,设矩形的
宽
设AF=x则CHx,
圍1 图
2
AF=x 则
本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理,理解新定义中矩形 的宽和高是关键.
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19. (10分)解不等式组:」时5 、「并把解集在数轴上表示出来.
•4 ・ 5-2 -1 0
1234 5
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不 等式组的解集.
①
【解答】解:*讯a ② 解不等式①得:X >- 1, 解不等式②得:x < 3,
则不等式组的解集是:-1v x < 3,
【点评】本题考查了不等式组的解法,把每个不等式的解集在数轴上表示出来
(>,>向右画;V ,w 向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴 的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等
解得:x= 或0 (舍),
13
即它的宽的值是 18
13 【点评】 不等式组的解集在数轴上表示为:
1 A 1 i 1
1 1 ILi.
-4 1 -2 > 1 0 1 2 3 4 故答案为:圜.
式组的解集•有几个就要几个•在表示解集时
\”,匕”要用实心圆点表示;
N”,
要用空心圆点表示.
【分析】(1)过A 作AE !BC,在直角三角形ABE 中,利用锐角三角函数定义求 出AC 的长即可;
(2)由DF 垂直平分BC,求出BF 的长,利用锐角三角函数定义求出 DF 的长, 利用勾股定理求出BD 的长,进而求出AD 的长,即可求出所求.
20.( 10分)先化简,再求值: 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a 的值代入计算可 得.
【解答】解:原式=[
a l Ca^l)ta-1)
Ca+1)(a-l )
乱+1 ?"(邑-1) ta+1) (a _l) a+2 巴+2
aCa-1)
a+2? 当a=.二时,
= -
V5+2
【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式混合运算顺序和 运算法则.
21. (10 分)如图,已知△ ABC 中,AB=BC=5 tan / ABC 号.
(1) 求边AC 的长;
(2) 设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ,求马的值.
2a
,其中a=1..
=5 - 2 二
原式
【解答】解:(
1
)作A作AE丄BC,
AB -3,AB=5,
••• AE=3 BE=4
••• CE=B G BE=5- 4=1,
(2)v DF垂直平分BC,
• BD=CD BF=CF=,
• DF亠
8
在Rt A BFD中,根据勾股定理得:
性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
22. (10分)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y (升)与行驶路
程x (千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程, 在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千
米?
3
BP4
■/ tan/
DBF
在Rt A ABE中,tan / ABC
BE 4
在Rt A AEC中,根据勾股定理得: AC二:”匕'';
25.-
88
【点评】此题考查了解直角三角形, 线段垂直平分线的性质,以及等腰三角形的AD=5
—
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式, 再根据 一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为 5升时行驶的路程,此题
得解.
【解答】解:(1)设该一次函数解析式为y=kx+b , 将(150, 45)、(0, 60)代入 y=kx+b 中,
•••该一次函数解析式为尸-勇严0.
解得x=520.
即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8 升. 530 - 520=10 千米,
油箱中的剩余油量为8升时,距离加油站10千米.
•••在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是10千米. 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数 图象上点的坐标特征,根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是 解题的关键.
23. (12分)已知:如图,正方形 ABCD 中,P 是边BC 上一点,BEL AP , DF 丄 AP,垂足分别是点E 、F. (1) 求证:EF=A - BE
(2) 连接BF,如果塑空.求证:EF=EP
p_50k+Z45
|b=60
(2)当 y=- 存+60=8时,
利(升
,解
得:
[b=60
【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD, / BAD=90,根据等角的余角相等得 到/仁/3,则可判断厶ABE^A DAF,则BE=AF 然后利用等线段代换可得到 结论; (2)利用一1」和AF=BE#至U 上-丄,则可判定Rt A BEF^ Rt A DFA 所以/4= BF
AD DF AD / 3,再证明/ 4=Z 5,然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP 【解答】证明:(1)v 四边形ABCD 为正方形, ••• AB=AD / BAD=90 , ••• BE!AP , DF 丄 AP,
•••/ BEAN AFD=90 ,
vZ 1+Z 2=90° ° / 2+Z 3=90° ° •••/ 仁Z 3 ,
在厶ABE ftA DAF 中
ZB£A=ZAFB Z1=Z3
, AB 二 DA
•••△ ABE ^A DAF, ••• BE=AF ••• EF=A E AF=AE- BE;
而 AF=BE
••• Rt A BEF^ Rt A DFA
[
AF. 丄BF A
D
(2)如图,
•••/ 4=Z 3,
而/仁/ 3,
•••/ 4=Z 1,
vZ 5=Z 1,
•••/ 4=Z 5,
即BE平分Z FBP 而BEX EP,
• EF=EP
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用•也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.
24. (12分)在平面直角坐标系xOy中(如图)•已知抛物线y=-丄x2+bx+c经过点A
(- 1, 0)和点B (0,丄),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段
DC绕点D按顺时针方向旋转90°,
点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的
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5
••• P (2+t , -t ),
5 整理得t 2- 2t=0,解得t i =0 (舍去),t 2=2, •线段CD 的长为2;
把 P (2+t ,
-1,代入 y=-丄x 2+2x 得-寺(2+t ) 2+2 (2+t )
【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式; 2
)2号,则根据二次函数的性质得到C 点坐
(丄'
2
然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标.
【解答】解:(1)把A (- 1,0)和点B (0,鲁)代入y=-吉x 2+bx+c 得
如图,设 CD=t,则 D (2 , --t ),
•••线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点P 处, •••/ PDC=90, DP=DC=t •-C ( 2, ),抛物线的对称轴为直线x=2, (2)利用配方法得到y=-寺(x -
9 转性质得/ PDC=90, DP=DC=t 则 P (2+t ,一- t ),然后把 P (2+t 冷
标和抛物线的对称轴为直线 x=2,如图,设CD=t,则D (2,
-t ),根据旋 2
代入y=-丄x 2+2x+二得到关于t 的方程,从而解方程可得到 CD 的长; 胃 点坐标为(2, - 2),设M (0, m ),当m >0时,利用梯形面积公式得到丄?
(3) P 点坐标为(4,
),D 点坐标为(2, L ),利用抛物线的平移规律确定E (m
+=+2
)?2=* 8
当m
< 0
时,利用梯形面积公式得到一?(-用
+2)
?2=8,
解得
2
(3) P 点坐标为(4,層
),D 点坐标为(2,号),
•••抛物线平移,使其顶点C (2,丄)移到原点0的位置,
•••抛物线向左平移2个单位,向下平移片个单位, 而P 点(4,旦)向左平移2个单位,向下平移土个单位得到点E ,
2 2 • E 点坐标为(2,- 2),
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、 二次函数的性质和旋转的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标 与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
25. (14分)已知。
O 的直径AB=2,弦AC 与弦BD 交于点E.且OD 丄AC,垂足 为点F .
(1) 如图1,如果AC=BD 求弦AC 的长;
(2) 如图2,如果E 为弦BD 的中点,求/ ABD 的余切值;
(3) 联结BC CD DA,如果BC 是。
O 的内接正n 边形的一边,CD 是。
O 的内 接正(n+4)边形的一边,求△ ACD 的面积.
设 M (0, m ),
丄 2
当m v 0时,丄? (- m 卫+2) ?2=8 ,解得m=-丄,此时M 点坐标为(0,-丄);
2 2 2 2
当m > 0时, ? (m+—+2) ?2=8,解得m=_,此时M 点坐标为(0, 2 2 2 r 7
);
(0,
2 ' )或(O ,-肓).
【分析】(1 )由AC=BD®匚i+帀=+|'',得,根据0D丄AC知「i= |,从
而得匕=〒仝,即可知/ AOD=Z DOCK BOC=60,利用AF=AOsi M AOF可得答案;
(2)连接BC,设OF=t,证OF ABC 中位线及厶DEF^A BEC得BC=DF=2t 由DF=1- t可得上=丄,即可知BC=DF=,继而求得EF丄AC士I,由余切函数
3 3
4 3
定义可得答案;
(3)先求出BC CD AD所对圆心角度数,从而求得BC=AD=]、OF=,从
2而根据三角形面积公式计算可得.
【解答】解:(1):OD丄AC,
i,Z AFO=90,
又••• AC=BD
.••・「=. i,即「+ = *「,
•••「=」■,
.・==1 ■ ■,
•••/ AOD=Z DOCK BOC=60,
••• AB=2
AO=BO=1
.AF=AOsi M AOF=1X 二=,
2 2
贝U AC=2AF= >
••• AB为直径,0D丄AC,
•••/ AFOd C=90,
••• OD// BC,
•••/ D=Z EBC
v DE=BE / DEF玄BEC
•••△DEF^A BEC( ASA),
••• BC=DF EC=EF
又v AO=OB
•••0尸是厶ABC的中位线,
设OF=t,则BC=DF=2t
v DF=DO- OF=1- t,
v OB=OD •••/ ABD=Z D,
2
则cot / ABD=cotZ D^---
T
图2
v BC是。
O的内接正n边形的一边,CD是。
O的内接正(n+4)边形的一边, •••/ BOC^、/ AOD-Z COD^-,
n n+4 '
贝代° +2x 3&°=180,
n n+4
解得:n=4,
••• 1- t-2t,
解得:t-—,
贝U DF-
BC-、
AC= _「| =
—EF-FC T AC-,
(3)如图2,
•••/ BOC=90、/ AOD=Z C0D=4°,
BC=AC= ■:,
vZ AFO=90,
• OF=AOco Z AOF=「,
• S AC」AC?DF= X . -:X( 1-二)i
【点评】本题主要考查圆的综合题,解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点.
•••抛物线解析式为y=-二x2+2x
(2)t y=-丄(x-2)。