2018年上海市中考数学试卷解析版

2018年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。

下列各题的四个选项中,
有且只有一个选项是正确的）
1. （4分）下列计算丨：；-,的结果是（）
A. 4
B. 3
C. 2 二
D..-
【分析】先化简，再合并同类项即可求解.
【解答】解：卜」-:■:
=3 一 ?- :■:
=2 一 ?.
故选：C.
【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则: 次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.
2. （4分）下列对- 」兀二次方程«+x-3=0根的情况的判断，正确的是（
A. 有两个不相等实数根
B. 有两个相等实数根
C.有且只有一个实数根
D.没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出厶=13>0,进而即可得出方程x2+x - 3=0有两个不相等的实数根.
【解答】解：••• a=1，b=1，c=— 3，
•••△ =b2- 4ac=12- 4X（1）X（ - 3）=13>0，
•••方程x2+x- 3=0有两个不相等的实数根.
故选：A.
【点评】本题考查了根的判别式，牢记当厶> 0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
3. （4分）下列对二次函数y=«-x 的图象的描述，正确的是（ ）
A .开口向下 B.对称轴是y 轴
C •经过原点
D .在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A 、由a=1>0,可得出抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B 、 根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x 二，选项B 不正确；
C 、 代入x=0求出y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C 正确；
D 、 由a=1>0及抛物线对称轴为直线x 丄，利用二次函数的性质，可得出当 x > 丄时，y 随x 值的增大而增大，选项 D 不正确. 2
综上即可得出结论.
【解答】解：A 、： a=1>0,
C 、当 x=0 时，yrx 2 - x=0,
•••抛物线经过原点，选项 C 正确； D 、t a >0,抛物线的对称轴为直线x 斗，
.•.当x >丄时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确. 故选：C.
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象, 逐一分析四个选项的正误是解题的关键.
4. （4分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户 数依次是：27，30, 29，25, 26，28, 29，那么这组数据的中位数和众数分 别是（
）
【分析】 根据中位数和众数的概念解答．
•••抛物线开口向上，选项 A 不正确; B 、
b =1
2a 2
利用二次函数的性质
A . 25 和 30
B . 25 和 29
C. 28 和 30
D . 28 和 29
•••抛物线的对称轴为
直线
【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，
•••这组数据的中位数是28,
在这组数据中，29出现的次数最多，
•••这组数据的众数是29,
故选：D．
【点评】本题考查的是中位数、众数的概念,中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后,最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ,叫做这组数据的中位数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5. （4分）已知平行四边形ABCD下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的
是（）
A. Z A=Z B
B.Z A=Z C
C. AC=BD
D. AB丄BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.
【解答】解：A、/ A=Z B,Z A+Z B=180°,所以/ A=Z B=90 ,可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、Z A=Z C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB丄BC,所以Z B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B.
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理. 但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.
6. （4分）如图，已知Z POQ=30,点A、B在射线0Q上（点A在点0、B之间），
半径长为2的。

A与直线0P相切，半径长为3的。

B与。

A相交，那么0B 的取值范围是（）
【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得：OA=4,再确认。

B与。

A相切时，OB的长，可得结论.
【解答】解：设。

A与直线OP相切时切点为D,连接
AD,
••• AD 丄OP,
vZ O=30 , AD=2
••• OA=4,
当。

B与。

A相内切时，设切点为C,如图1,
v BC=3
•OB=O/+AB=4+3 - 2=5;
当。

A与。

B相外切时,设切点为E,如图2,
•OB=OA+AB=4+2+3=9,
•••半径长为3的。

B与。

A相交，那么OB的取值范围是：5v OB v9,
A. 5 v OB v 9
B. 4v OB v 9
C. 3v OB v7
D. 2v OB v7
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定0B 的取值范围.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. （4分）-8的立方根是 -2 .
【分析】利用立方根的定义即可求解.
【解答】解：T（- 2）3=- 8，
•••- 8的立方根是-2.
故答案为：-2.
【点评】本题主要考查了立方根的概念•如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a （x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根•读作三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数.
8. （4分）计算：（a+1）2-a2= 2a+1
【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果.
【解答】解：原式=a F+2a+1 - a2=2a+1，
故答案为：2a+1
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个
元二次方程，求出方程的解, 再代入求出y即可.
【解答】解：'"
I. 二2（3
②+①得：X2+X=2,
解得：X=- 2或1 ,
把X=- 2代入①得：y= - 2,
把X=1代入①得：y=1,
所以原方程组的解为
If
故答案为：
旳二-2
【点评】本题考查了解高次方程组，能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键.
10. （4分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是0.8a
元•（用含字母a的代数式表示）.
【分析】根据实际售价=原价x 二即可得.
10
【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a.
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系.
11. （4分）已知反比例函数y—（k是常数，山1）的图象有一支在第二象限,
那么k的取值范围是k v 1
【分析】由于反比例函数讨的图象有一支在第二象限，可得k- 1v0,求出
x
k的取值范围即可.
【解答】解：•••反比例函数y—的图象有一支在第二象限，
••• k- 1v 0,
解得k v 1.
故答案为：k v 1.
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.
12. （4分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学
生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20- 30元这个小组的组频率是0.25
【分析】根据频率二频数*总数”即可得.
【解答】解：20 - 30元这个小组的组频率是50- 200=0.25，
故答案为：0.25.
【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数十总数.
13. （4分）从二，n这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为
2_
2_—.
【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有n V3共2种情况, 则可利用概率公式求解.
【解答】解：•••在#, n體这三个数中，无理数有n,五这2个，
•••选出的这个数是无理数的概率为一，
3
故答案为：二.
【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义. 此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
14. （4分）如果一次函数y=kx+3 （k是常数，心0）的图象经过点（1，0），那么
y的值随x的增大而减小.（填增大”或减小”
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论.
【解答】解：•一次函数y=kx+3 （k是常数，〜0）的图象经过点（1，0），
• 0=k+3，
•k=- 3，
•y的值随x的增大而减小.
故答案为：减小.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k >0，y随x的增大而增大；k v0，y随x的增大而减小”是解题的关键.
15. （4分）如图，已知平行四边形ABCD E是边BC的中点，联结DE并延长，与
AB的延长线交于点F.设|W=r,*=「，，那么向量丨；用向量八〔表示为
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF故AF=2AB=2DC结合三角形法则进行解答.
【解答】解：如图，连接BD, FC,
•••四边形ABCD 是平行四边形， ••• DC// AB , DC=AB •••△ DC0A FBE 又E 是边BC 的中点， DE =EC .1 EF EB T ，
••• EC=BE 即点E 是DF 的中点,
•••四边形DBFC 是平行四边形， ••• DC=BF 故 AF=2AB=2DC
••• 一丫=匚+八=1〔+2 心；+2［〔.
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形 的性质•注意掌握三角形法则的应用是关键.
16. （4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形 内角和问题•如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，那么该
多边形的内角和是
540度.
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角 形内角和可计算出该多边形的内角和.
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，则将多边形分割 为3个三角形.
所以该多边形的内角和是3 X 180°540°.
故答案为540.
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n - 2）?180 （n >3）且n为整数）.此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出
（n-3）条对角线，将n边形分割为（n - 2）个三角形.
17. （4分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在厶ABC的边BC上，顶点G、
F分别在边AB、AC上.如果BC=4 △ ABC的面积是6,那么这个正方形的边
长是一
|12| -7 —
1A
Z_\r
B D E C
【分析】作AH丄BC于H,交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3, 设正方形DEFG的边长为x,则GF=x MH=x, AM=3 - x,再证明△ AGF^A ABC, 则根据相似三角形的性质得丄，然后解关于x的方程即可.
4 3
【解答】解：作AH丄BC于H,交GF于M，如图，
••丄BC?AH=6
设正方形DEFG的边长为x,贝U GF=x MH=x, AM=3 - x, ••• GF// BC,•••△ AGF^A ABC,
•••驚-鸞,即*-订'，解得x寺BC AH 4 3 7
即正方形DEFG的边长为一.
故答案为丄.
AH—=3,
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作
用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相
似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长•也考查了正方形的性质
.
18. （4分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内
部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽
【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC
在Rt A CBF中，CB=1, BF=x- 1，
由勾股定理得：B^=BF2+CF2,
【分析】先根据要求画图，设矩形的
宽
设AF=x则CHx，
圍1 图
2
AF=x 则
本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形 的宽和高是关键.
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. （10分）解不等式组：」时5 、「并把解集在数轴上表示出来.
•4 ・ 5-2 -1 0
1234 5
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不 等式组的解集.
①
【解答】解：*讯a ② 解不等式①得：X >- 1, 解不等式②得：x < 3,
则不等式组的解集是：-1v x < 3,
【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（>,>向右画；V ，w 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴 的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等
解得：x= 或0 （舍）,
13
即它的宽的值是 18
13 【点评】 不等式组的解集在数轴上表示为:
1 A 1 i 1
1 1 ILi.
-4 1 -2 > 1 0 1 2 3 4 故答案为:圜.
式组的解集•有几个就要几个•在表示解集时
\”，匕”要用实心圆点表示;
N”，
要用空心圆点表示.
【分析】（1）过A 作AE !BC,在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求 出AC 的长即可；
（2）由DF 垂直平分BC,求出BF 的长，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长, 利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求.
20.（ 10分）先化简，再求值: 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可 得.
【解答】解：原式=[
a l Ca^l)ta-1)
Ca+1)(a-l )
乱+1 ?"(邑-1) ta+1) (a _l) a+2 巴+2
aCa-1)
a+2? 当a=.二时,
= -
V5+2
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和 运算法则.
21. （10 分）如图，已知△ ABC 中，AB=BC=5 tan / ABC 号.
（1） 求边AC 的长；
（2） 设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ,求马的值.
2a
，其中a=1..
=5 - 2 二
原式
【解答】解：（
1
）作A作AE丄BC,
AB -3，AB=5,
••• AE=3 BE=4
••• CE=B G BE=5- 4=1,
（2）v DF垂直平分BC,
• BD=CD BF=CF=，
• DF亠
8
在Rt A BFD中，根据勾股定理得:
性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
22. （10分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路
程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程, 在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千
米？
3
BP4
■/ tan/
DBF
在Rt A ABE中，tan / ABC
BE 4
在Rt A AEC中，根据勾股定理得: AC二：”匕''；
25.-
88
【点评】此题考查了解直角三角形, 线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的AD=5
—
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式， 再根据 一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为 5升时行驶的路程，此题
得解.
【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b , 将(150, 45)、(0, 60)代入 y=kx+b 中,
•••该一次函数解析式为尸-勇严0.
解得x=520.
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8 升. 530 - 520=10 千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米.
•••在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米. 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数 图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是 解题的关键.
23. （12分）已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边BC 上一点，BEL AP , DF 丄 AP,垂足分别是点E 、F. （1） 求证：EF=A - BE
（2） 连接BF,如果塑空.求证：EF=EP
p_50k+Z45
|b=60
(2)当 y=- 存+60=8时,
利（升
，解
得:
[b=60
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD, / BAD=90，根据等角的余角相等得 到/仁/3,则可判断厶ABE^A DAF,则BE=AF 然后利用等线段代换可得到 结论； （2）利用一1」和AF=BE#至U 上-丄，则可判定Rt A BEF^ Rt A DFA 所以/4= BF
AD DF AD / 3,再证明/ 4=Z 5,然后根据等腰三角形的性质可判断 EF=EP 【解答】证明：（1）v 四边形ABCD 为正方形， ••• AB=AD / BAD=90 , ••• BE!AP , DF 丄 AP,
•••/ BEAN AFD=90 ,
vZ 1+Z 2=90° ° / 2+Z 3=90° ° •••/ 仁Z 3 ,
在厶ABE ftA DAF 中
ZB£A=ZAFB Z1=Z3
, AB 二 DA
•••△ ABE ^A DAF, ••• BE=AF ••• EF=A E AF=AE- BE;
而 AF=BE
••• Rt A BEF^ Rt A DFA
[
AF. 丄BF A
D
（2）如图,
•••/ 4=Z 3,
而/仁/ 3,
•••/ 4=Z 1,
vZ 5=Z 1,
•••/ 4=Z 5,
即BE平分Z FBP 而BEX EP,
• EF=EP
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用•也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.
24. (12分)在平面直角坐标系xOy中(如图)•已知抛物线y=-丄x2+bx+c经过点A
(- 1, 0)和点B (0,丄),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段
DC绕点D按顺时针方向旋转90°,
点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)求线段CD的长；
(3)将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的
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5
••• P (2+t , -t ),
5 整理得t 2- 2t=0，解得t i =0 （舍去），t 2=2, •线段CD 的长为2;
把 P (2+t ,
-1，代入 y=-丄x 2+2x 得-寺(2+t ) 2+2 (2+t )
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； 2
）2号，则根据二次函数的性质得到C 点坐
（丄'
2
然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标.
【解答】解：（1）把A （- 1,0）和点B （0,鲁）代入y=-吉x 2+bx+c 得
如图，设 CD=t,则 D （2 , --t ）,
•••线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处, •••/ PDC=90, DP=DC=t •-C ( 2, ）,抛物线的对称轴为直线x=2, （2）利用配方法得到y=-寺（x -
9 转性质得/ PDC=90, DP=DC=t 则 P (2+t ，一- t ),然后把 P (2+t 冷
标和抛物线的对称轴为直线 x=2,如图，设CD=t,则D （2,
-t ），根据旋 2
代入y=-丄x 2+2x+二得到关于t 的方程，从而解方程可得到 CD 的长; 胃 点坐标为（2, - 2）,设M （0, m ）,当m >0时，利用梯形面积公式得到丄？
（3） P 点坐标为（4,
）,D 点坐标为（2, L ）,利用抛物线的平移规律确定E （m
+=+2
）?2=* 8
当m
< 0
时，利用梯形面积公式得到一?（-用
+2）
?2=8,
解得
2
（3） P 点坐标为（4,層
）,D 点坐标为（2,号）,
•••抛物线平移，使其顶点C （2,丄）移到原点0的位置,
•••抛物线向左平移2个单位，向下平移片个单位， 而P 点（4,旦）向左平移2个单位，向下平移土个单位得到点E ,
2 2 • E 点坐标为（2,- 2）,
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、 二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标 与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.
25. （14分）已知。

O 的直径AB=2,弦AC 与弦BD 交于点E.且OD 丄AC,垂足 为点F .
（1） 如图1,如果AC=BD 求弦AC 的长；
（2） 如图2,如果E 为弦BD 的中点,求/ ABD 的余切值；
（3） 联结BC CD DA,如果BC 是。

O 的内接正n 边形的一边,CD 是。

O 的内 接正（n+4）边形的一边，求△ ACD 的面积.
设 M （0, m ）,
丄 2
当m v 0时，丄？ （- m 卫+2） ?2=8 ,解得m=-丄，此时M 点坐标为（0，-丄）;
2 2 2 2
当m > 0时, ? （m+—+2） ?2=8,解得m=_，此时M 点坐标为（0, 2 2 2 r 7
）；
(0,
2 ' ）或（O ,-肓）.
【分析】（1 ）由AC=BD®匚i+帀=+|'',得，根据0D丄AC知「i= |,从
而得匕=〒仝，即可知/ AOD=Z DOCK BOC=60,利用AF=AOsi M AOF可得答案；
（2）连接BC,设OF=t,证OF ABC 中位线及厶DEF^A BEC得BC=DF=2t 由DF=1- t可得上=丄，即可知BC=DF=，继而求得EF丄AC士I，由余切函数
3 3
4 3
定义可得答案；
（3）先求出BC CD AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=］、OF=，从
2而根据三角形面积公式计算可得.
【解答】解：（1）：OD丄AC,
i,Z AFO=90,
又••• AC=BD
.••・「=. i,即「+ = *「，
•••「=」■,
.・==1 ■ ■,
•••/ AOD=Z DOCK BOC=60,
••• AB=2
AO=BO=1
.AF=AOsi M AOF=1X 二=,
2 2
贝U AC=2AF= >
••• AB为直径，0D丄AC,
•••/ AFOd C=90,
••• OD// BC,
•••/ D=Z EBC
v DE=BE / DEF玄BEC
•••△DEF^A BEC( ASA),
••• BC=DF EC=EF
又v AO=OB
•••0尸是厶ABC的中位线，
设OF=t,则BC=DF=2t
v DF=DO- OF=1- t,
v OB=OD •••/ ABD=Z D,
2
则cot / ABD=cotZ D^---
T
图2
v BC是。

O的内接正n边形的一边，CD是。

O的内接正（n+4）边形的一边, •••/ BOC^、/ AOD-Z COD^-,
n n+4 '
贝代° +2x 3&°=180,
n n+4
解得：n=4,
••• 1- t-2t,
解得：t-—,
贝U DF-
BC-、
AC= _「| =
—EF-FC T AC-,
(3)如图2,
•••/ BOC=90、/ AOD=Z C0D=4°,
BC=AC= ■:,
vZ AFO=90,
• OF=AOco Z AOF=「,
• S AC」AC?DF= X . -：X（ 1-二）i
【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点.
•••抛物线解析式为y=-二x2+2x
(2)t y=-丄(x-2)。