同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
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2、集合的基本运算有四种：并、交、差、补.
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
，或 .
定义1也可简述为
， ，当 时，恒有 ，
则 .
2、自变量趋于有限值时的极限
定义2设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，则称 为函数 在 时函数的极限，记作
或 .
定义2也可简述为：如果
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解函数的概念及性质；
理解复合函数和反函数的概念。
熟悉基本初等函数的性质及其图形。
会建立简单实际问题中的函数关系式。
教学基本内容
一、基本概念：
1、在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 .由整数的全体构成的集合称为整数集，记为 .用 表示全体有理数构成的有理数集， 表示全体实数构成的实数集.显然有 .
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解极限的概念(对极限的 -N、定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。
教学基本内容
一、基本概念：
1、数列极限.
定义设 为一数列，如果存在着一个常数 ，对于任意给定的正数 ，总存在着一个正整数 ，使得对于 时的一切 ，不等式 均成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记作
（1） ;（2） ;
（3） ;（4） ;
(5) ;（6） .
授课序号03
教学基本指标
教学课题
第一章第三节函数的极限定义和计算
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限运算性质，极限与左右极限关系
教学难点
极限定义
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
， ，当 时，恒有 ，
那么 .
二、定理与性质：
定理1 且 .
定理2（极限的四则运算法则）设 ， ，则
（1） ;
（2） ;
(3) .
推论若 ， 存在，则
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，则 .
上述极限中将“ ”改为“ ”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）
定理3（复合函数的极限运算法则）设函数 是由函数 与 复合而成的， 在点 的去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则
例8设 的定义域是 ，求 的定义域.
授课序号02
教学基本指标
教学课题
第一章第二节数列的极限定义与计算
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限运算性质
教学难点
极限定义
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
.
三、主要例题：
例1证明 .
例2证明 .
例3证明当 时， .
例4证明 .
例5求 .
例6计算
例7求极限 .
例8求极限 .
例9求极限 .
例14(1)求极限 ; (2)求极限 .
例15已知 ,求 之值.
授课序号04
教学基本指标
教学课题
第一章第四节极限的证明与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
例4设 为任一实数，不超过 的最大整数称为 的整数部分，记作 ，函数 的定义域为 ，值域为整数集 ，它的图形在 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为 ，这个函数称为取整函数.
例5函数 就是一个分段函数，它的定义域 .当 时，对应的函数值 ；当 时，对应的函数值 .
例6设 ，求 和 .
例7求函数 的定义域.
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解极限的概念(对极限的 -X， - 定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。
教学基本内容
一、基本概念：
1、自变量趋于无穷大时的极限
定义1设函数 当 大于某一正数时有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在着正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，则 就叫做函数 当 时的极限，记作
二、定理与性质：
性质1（对偶性质）设 是一个基本集， 是它的两个子集，则
（1） ；（2） .
三、主要例题：
例1函数 ，其中 为某确定的常数.它的定义域为 ，值域为 ，它的图形是一条平行于 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2函数 的定义域为 ，值域 ，这个函数称为绝对值函数.
例3函数 的定义域为 ，值域 ，这个函数称为符号函数.
，或 .
此时也称数列 为收敛数列，不收敛的数列称为发散数列,习惯上也称 不存在.
二、定理与性质：
定理1（数列极限的运算法则）若 ， ，则
（1） ；（加减法则）
（2） ；（乘法法则）
（3） ；（交换法则）
（4） .（除法法则）
三、主要例题：
例1已知 ，证明
例2已知数列 ，证明 .
例3求下列函数的极限：
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
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教学手段
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教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
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教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
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同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
，或 .
定义1也可简述为
， ，当 时，恒有 ，
则 .
2、自变量趋于有限值时的极限
定义2设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，则称 为函数 在 时函数的极限，记作
或 .
定义2也可简述为：如果
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解函数的概念及性质；
理解复合函数和反函数的概念。
熟悉基本初等函数的性质及其图形。
会建立简单实际问题中的函数关系式。
教学基本内容
一、基本概念：
1、在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 .由整数的全体构成的集合称为整数集，记为 .用 表示全体有理数构成的有理数集， 表示全体实数构成的实数集.显然有 .
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
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大纲要求
理解极限的概念(对极限的 -N、定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。
教学基本内容
一、基本概念：
1、数列极限.
定义设 为一数列，如果存在着一个常数 ，对于任意给定的正数 ，总存在着一个正整数 ，使得对于 时的一切 ，不等式 均成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记作
（1） ;（2） ;
（3） ;（4） ;
(5) ;（6） .
授课序号03
教学基本指标
教学课题
第一章第三节函数的极限定义和计算
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限运算性质，极限与左右极限关系
教学难点
极限定义
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
， ，当 时，恒有 ，
那么 .
二、定理与性质：
定理1 且 .
定理2（极限的四则运算法则）设 ， ，则
（1） ;
（2） ;
(3) .
推论若 ， 存在，则
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，则 .
上述极限中将“ ”改为“ ”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）
定理3（复合函数的极限运算法则）设函数 是由函数 与 复合而成的， 在点 的去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则
例8设 的定义域是 ，求 的定义域.
授课序号02
教学基本指标
教学课题
第一章第二节数列的极限定义与计算
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限运算性质
教学难点
极限定义
参考教材
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.
三、主要例题：
例1证明 .
例2证明 .
例3证明当 时， .
例4证明 .
例5求 .
例6计算
例7求极限 .
例8求极限 .
例9求极限 .
例14(1)求极限 ; (2)求极限 .
例15已知 ,求 之值.
授课序号04
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教学课题
第一章第四节极限的证明与性质
课的类型
新知识课
教学方法
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例4设 为任一实数，不超过 的最大整数称为 的整数部分，记作 ，函数 的定义域为 ，值域为整数集 ，它的图形在 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为 ，这个函数称为取整函数.
例5函数 就是一个分段函数，它的定义域 .当 时，对应的函数值 ；当 时，对应的函数值 .
例6设 ，求 和 .
例7求函数 的定义域.
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解极限的概念(对极限的 -X， - 定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。
教学基本内容
一、基本概念：
1、自变量趋于无穷大时的极限
定义1设函数 当 大于某一正数时有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在着正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，则 就叫做函数 当 时的极限，记作
二、定理与性质：
性质1（对偶性质）设 是一个基本集， 是它的两个子集，则
（1） ；（2） .
三、主要例题：
例1函数 ，其中 为某确定的常数.它的定义域为 ，值域为 ，它的图形是一条平行于 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2函数 的定义域为 ，值域 ，这个函数称为绝对值函数.
例3函数 的定义域为 ，值域 ，这个函数称为符号函数.
，或 .
此时也称数列 为收敛数列，不收敛的数列称为发散数列,习惯上也称 不存在.
二、定理与性质：
定理1（数列极限的运算法则）若 ， ，则
（1） ；（加减法则）
（2） ；（乘法法则）
（3） ；（交换法则）
（4） .（除法法则）
三、主要例题：
例1已知 ，证明
例2已知数列 ，证明 .
例3求下列函数的极限：