二倍角的正弦余弦正切公式

二倍角的正弦余弦正切公式
教学目标
1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2．掌握二倍角公式及其变形公式的应用．(难点)
3．二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝1
2sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α．
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( ) 解:(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π
4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．
(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－3
2时，cos 2α＝2cos α. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．已知cos α＝1
3，则cos 2α等于________．
解:由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2
α－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫132－1＝－79.
【答案】 －7
9
化简求值.
(1)cos 4
α2－sin 4 α2；
(2)sin π24·cos π24·cos π
12； (3)1－2sin 2 750°；
(4)tan 150°＋1－3tan 2 150°
2tan 150°
.
灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 解:(1)cos 4
α2－sin 4
α2
＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2 ＝cos α.
(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2sin π24cos π24·cos π12
＝12sin π12·cos π12＝14⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2sin π12·cos π12 ＝1
4sin π6＝18. ∴原式＝1
8.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1
2. ∴原式＝1
2.
(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2 150°
2tan 150°
＝1－tan 2 150°2tan 150°＝1tan （2×150°）
＝1tan 300°＝1tan （360°－60°） ＝－1tan 60°
＝－3
3.
∴原式＝－3
3.
二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝1
2sin 2α，
cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2
α＝cos 2α，2tan α1－tan 2
α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin 2 α＋cos 2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2
α，cos 2
α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
. [再练一题]
1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π
12； (2)2tan 150°1－tan 2150°； (3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°. 解:(1)原式＝2sin π12cos π122
＝sin π6
2＝1
4.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
(3)原式＝cos 10°－3sin 10°
sin 10°cos 10°
＝
2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12cos 10°－3
2sin 10°sin 10°cos 10°
＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）
2sin 10°cos 10°
＝4sin 20°sin 20°
＝4. (4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
2sin 20°
＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°
＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.
利用二倍角公式解决求值问题
(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．34
D ．－34
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－2α的值等于( )
A ．7
9 B ．13
C ．－79
D ．－13
(3)(2016·天津高一检测)已知cos α＝－34，sin β＝2
3，α是第三
象限角，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
，π
. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值． (1)可先求tan α，再求tan 2α；
(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．
解:(1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，
所以tan 2α＝2tan α
1－tan 2 α＝2×3
1－3
2
＝－3
4. (2)因为cos ⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫π3－α ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－α ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫π6＋α＝1
3， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
2π3－2α ＝2cos 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎪⎫
π
3－α－1
＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫132－1＝－79. 【答案】 (1)D (2)C
(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－3
4， 所以sin α＝－
1－cos 2
α＝－7
4，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝37
8.
②因为β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π2，π，sin β＝23，
所以cos β＝－
1－sin 2 β＝－5
3，
cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×916－1＝1
8， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×2
3＝－5＋6724.
直接应用二倍角公式求值的三种类型
(1)sin α(或cos α)――――――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α)．
(2)sin α(或cos α)――――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2 α－1)．
(3)sin α(或cos α)――――――――――――→同角三角函数的关系
⎩⎪⎨⎪⎧cos α（或sin α），
tan α――――――――→二倍角公式
tan 2α.
[再练一题]
2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝5
5，则sin 2α＝______，cos 2
α＝________，tan 2α＝________．
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
－α
＝16，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π
2
，π，求tan 4α的值．
解:(1)因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以
sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α
＝－4
3. 【答案】 －45 35 －43
(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝
⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫π4＋α＝1
6， 即12sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫π2＋2α＝1
3， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，
从而sin 2α＝－
1－cos 2
2α＝－22
3，
所以tan 2α＝sin 2α
cos 2α
＝－22，
故tan 4α＝2tan 2α
1－tan 22α＝－421－（－22）2＝42
7. 利用二倍角公式证明
求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；
(2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.
(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式．
(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化． 解:
(1)左边＝1＋cos （2A ＋2B ）2－1－cos （2A －2B ）2 ＝cos （2A ＋2B ）＋cos （2A －2B ）2
＝1
2(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立．
(2)法一：左边＝cos 2
θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－sin 2θcos 2θ
＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边． 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ
＝cos 2
θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边．
证明问题的原则及一般步骤：
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[再练一题]
3．证明：1＋sin 2α2cos 2 α＋sin 2α＝12tan α＋1
2. 证明:左边＝sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α2cos 2
α＋2sin αcos α
＝
（sin α＋cos α）2
2cos α（sin α＋cos α）
＝
sin α＋cos α2cos α
＝12tan α＋1
2＝右边． 所以1＋sin 2α
2cos 2
α＋sin 2α
＝12tan α＋1
2成立． 倍角公式的灵活运用
探究1 在化简1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α
1－cos α＋sin α时，如何
灵活使用倍角公式？
【提示】 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α
2的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝
2sin α2⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫cos α2＋sin α2＋
2cos α2⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫sin α2＋cos α2＝sin α2cos α2＋cos α2sin α2
＝1sin α2cos α2
＝2
sin α.
探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？
【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3
×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
π6－2x ，知其最小正周期为π
. 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．
化简f （x ）的解析式→f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋B → ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间 解:f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x
2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x
＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －1
2sin 2x ＝33＋4⎝
⎛⎭⎪⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3， ∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，
所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π
24时， f (x )取最小值为33－2 2.
因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤π4，7π24上单调递增，
所以f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤π4，7π24上单调递减．
本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质．解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形
式，再利用函数图象解决问题．
[再练一题]
4．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4 x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．
解:y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x
＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x －1
2cos 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6， 所以T ＝2π
2＝π，y min ＝－2.
由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π
2，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π
6，k ∈Z ，
又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
π3，5π6. [构建·体系]
1．sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A ．22
B ．24
C ．－2
2
D ．12
解:原式＝12sin 45°＝2
4. 【答案】 B
2．已知sin x ＝1
4，则cos 2x 的值为( ) A ．78 B ．18 C ．12
D ．22
解:因为sin x ＝1
4，
所以cos 2x ＝1－2sin 2
x ＝1－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝7
8.
【答案】 A
3.⎝
⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32 B ．－12 C ．12
D ．32
解:原式＝cos 2
π12－sin 2
π12＝cos π6＝32. 【答案】 D
4．已知tan α＝－1
3，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α
＝________．
解:
sin 2α－cos 2α1＋cos 2α
＝
2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2
α－1
＝
2sin αcos α－cos 2α
2cos 2
α
＝
tan α－12＝－5
6. 【答案】 －5
6 5．求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8.
解:(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π
5
2sin π5
＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π5
4sin π5＝1
4.
(2)原式＝1－2cos 2
π
8
2
＝－2cos 2
π
8－12
＝－12cos π4＝－24.
学业分层测评
[学业达标]
一、选择题
1．若sin α＝3cos α，则sin 2α
cos 2α＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解:sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2
α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6. 【答案】 D
2．(2016·铁岭高一检测)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C ．19
D ．53
解:因为sin α＝2
3，
所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2
α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＝－
19.
【答案】 B
3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )
A ．－34
B ．34
C ．－43
D ．43
解:因为sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2，
整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝2tan α
1－tan 2 α＝2×（－3）
1－（－3）2＝3
4. 【答案】 B
4．(2016·沈阳高一检测)若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于( ) A ．2cos x B ．－2cos x C ．2sin x
D ．－2sin x
解:因为sin x ·tan x <0，
所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0， 所以
1＋cos 2x ＝2cos 2 x ＝2|cos x |
＝－2cos x . 【答案】 B
5．已知cos 2x
2cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫x ＋π4＝15
，则sin 2x ＝( ) A ．－24
25 B ．－45 C ．2425
D ．255
解:∵cos 2x
2cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫x ＋π4
＝1
5，
∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝1
5， ∴1＋sin 2x ＝1
25， ∴sin 2x ＝－24
25. 【答案】 A 二、填空题
6．(2016·广州高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝3
5，则sin 2x 的值等于
________.
解:法一：∵sin ⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫π4－x ＝3
5， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725，
∴sin 2x ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x
＝－32
5，两边平方得
1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝7
25.
【答案】 7
25
7．已知sin 2α＝1
4，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________.
解:因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π4，π2，
所以sin α>cos α即cos α－sin α<0，又sin 2α＝1
4，则有
cos α－sin α＝－
（cos α－sin α）2
＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32.
【答案】 －3
2 三、解答题
8．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 解:原式
＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝
⎛
⎭
⎪⎫
3sin 20°
cos 20°－1 ＝sin 70°
cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°
cos 20° ＝sin 70°
cos 70°·cos 10°·2sin （－10°）cos 20° ＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°
＝－1.
9．求证：(1)1sin 10°－3
cos 10°＝4；
(2)3tan 12°－3
sin 12°（4cos 12°－2）
＝－4 3. 证明:(1)左边＝1sin 10°－3
cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°
＝
2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12cos 10°－3
2sin 10°1
2sin 20°
＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4＝右边．
所以原等式成立．
(2)左边＝3tan 12°－3
sin 12°（4cos 2
12°－2）
＝
3sin 12°－3cos 12°cos 12°
2sin 12°（2cos 2
12°－1）
＝
23⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12sin 12°－3
2cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°
＝23sin （12°－60°）sin 24°cos 24°
＝－23sin 48°
12sin 48°＝－43＝右边．
所以原等式成立．
[能力提升]
1．(2016·牡丹江一中期末)已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin
β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( )
A ．π3
B ．π2
C ．2π3
D ．π
解:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝23sin β， ①
cos α＝1－23cos β，
②
①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79， 由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，
∴tan 2β＝－427，
∴tan(α＋2β)＝0又α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32π， ∴α＋2β＝π.故选D ．
【答案】 D
2．(2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解:(1)由题意知cos α
＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫552＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α ＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45，
cos 2α＝2cos 2 α－1＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫5π6－2α ＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45 ＝－33＋410.。