二倍角的正弦余弦正切公式

二倍角的正弦余弦正切公式

教学目标

1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2．掌握二倍角公式及其变形公式的应用．(难点)

3．二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系．(易混点)

[基础·初探]

教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

2.余弦的二倍角公式的变形

3．正弦的二倍角公式的变形

(1)sin αcos α＝1

2sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α．

(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( ) 解:(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π

4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．

(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－3

2时，cos 2α＝2cos α. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×

2．已知cos α＝1

3，则cos 2α等于________．

解:由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2

α－1＝2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫132－1＝－79.

【答案】 －7

9

化简求值.

(1)cos 4

α2－sin 4 α2；

(2)sin π24·cos π24·cos π

12； (3)1－2sin 2 750°；

(4)tan 150°＋1－3tan 2 150°

2tan 150°

.

灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 解:(1)cos 4

α2－sin 4

α2

＝⎝

⎛⎭⎪⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2 ＝cos α.

(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫2sin π24cos π24·cos π12

＝12sin π12·cos π12＝14⎝

⎛⎭⎪⎪⎫2sin π12·cos π12 ＝1

4sin π6＝18. ∴原式＝1

8.

(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝1

2. ∴原式＝1

2.

(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2 150°

2tan 150°

＝1－tan 2 150°2tan 150°＝1tan （2×150°）

＝1tan 300°＝1tan （360°－60°） ＝－1tan 60°

＝－3

3.

∴原式＝－3

3.

二倍角公式的灵活运用：

(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：

2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝1

2sin 2α，

cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2

α＝cos 2α，2tan α1－tan 2

α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：

1±sin 2α＝sin 2 α＋cos 2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2

α，cos 2

α＝1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

. [再练一题]

1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π

12； (2)2tan 150°1－tan 2150°； (3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°. 解:(1)原式＝2sin π12cos π122

＝sin π6

2＝1

4.

(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.

(3)原式＝cos 10°－3sin 10°

sin 10°cos 10°

＝

2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫12cos 10°－3

2sin 10°sin 10°cos 10°

＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）

2sin 10°cos 10°

＝4sin 20°sin 20°

＝4. (4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°

2sin 20°

＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°

＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.

利用二倍角公式解决求值问题

(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．34

D ．－34

(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2π3－2α的值等于( )

A ．7

9 B ．13