离散数学课程教学理性思考

操作系统
算法与数据结构
▪ 如何体现离散数学
数据库系统原理 算法与数据结构、离散数学
课程的基础性？
编译原理
程序设计、离散结构、算法与数据结构
软件工程
程序设计、算法与数据结构
计算机图形学 程序设计、离散数学
计算机网络
计算机导论、计算机组成、操作系统、 算法与数据结构
人工智能
高级语言程序设计、离散结构
数字逻辑
集合、基本逻辑和证明方法的知识点
▪ 集合
• 维恩图
▪ 命题逻辑（参考：命题 ▪ 蕴含、等价、逆命题
逻辑同时出现在智能系 、否命题、逆否命题
统/知识推理）
、否定和矛盾等概念
• 并集、交集、补集 ▪ 逻辑联结词
▪ 数学证明架构
• 笛卡尔积、幂集、 ▪ 真值表 有限集合的基数
▪ 直接证明
▪ 关系
▪ 范式（合取范式、析取 ▪ 反例证伪 范式）
合式公式与一阶谓词语言
▪ 定义：合式公式是按如下规则构成的有穷长符号串。 ▪ (1).若是x1,…,xn是变元，Qin是n元谓词，则Qin(x1,…,xn)是
合式公式。
▪ (2).若Q是合式公式，则(Q)是合式公式； ▪ (3).若Q和R是合式公式，则(QR)、(QR)、(QR) 、
▪
命题逻辑和谓词逻辑的 局限
▪
数学上的递归定义
主要内容
▪ 基本问题 ▪ 数理逻辑 ▪ 数理逻辑是基础 ▪ 离散数学是基础
最简单的论域—逻辑域
▪ 逻辑对象：{0,1}
▪ 逻辑运算：{ ,, , , , }
▪ 逻辑关系：{=, ╞}
▪ 真值表
• 一组逻辑自变量与一个逻辑因变量的对应表
▪ 真值表定义逻辑运算和关系
▪ 谓词形式
• 如果谓词形式是Q(x)表示客体x有Q性质； • 如果谓词形式是Q(x1,...,xn)表示客体x1,...,xn之间有Q关系。
▪ 量词
• 表示所有客体具有某性质或关系的词称为全称量词，记为
x(Q(x)R(x))
• 表示至少有一个客体具有某性质或关系的词称为存在量词，记 为 x(Q(x)R(x))
p p 01 10
p q pqpqpqpq
00 0 0 1
1
01 0 1 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
命题逻辑公式与语言
▪ 定义：
▪ (1).常量0和1是逻辑公式；
▪ (2).命题变量是逻辑公式；
▪ (3).若Q,R是逻辑公式，则(Q)、(QR) 、 (QR) 、(QR) 、(QR) 、(QR)是逻辑 公式；
▪ 功能可以用真值表表达
▪ 所有逻辑运算都可以表达为, ,,的运算。
逻辑哲学
▪ 世界是由事实构成的
• 《逻辑哲学论》
▪ 事实是事物的性质，以及事物之 间的关系
维特根斯坦
• 《我们关于外间世界的知识-哲学
上科学方法应用的一个领域》
罗素
▪ 根据维特根斯坦和罗素的哲学思想，事实是表达事物的性质 或表达一些事物之间的关系。
计算机导论
《高等学校计算机科学与技术专业发展战略报告暨专业规范》
计算机专业的基础问题
▪ 逻辑是所有数学推理及其所有自 动推理的基础。
▪ 对于计算机的设计、系统规范说 明、人工智能、计算机程序设计 、程序设计语言以及计算机科学 的其它许多领域，逻辑都有实际 的应用。
▪ ————Kenneth H. Rosen
离散数学教学的理性思考
主要内容
▪ 基本问题 ▪ 数理逻辑 ▪ 数理逻辑是基础 ▪ 离散数学是基础
基本问题
▪ 离散数学
• 数理逻辑 • 集合论 • 图论 • 代数系统
▪ 常识
• 问：学习离散数学有什么有？ • 答：离散数学是计算机专业基础
▪ 基本问题
• “离散数学是计算机专业基础”是什么意思？ • “离散数学如何是计算机专业基础”是什么意思？
▪ 交换律
• Q∨R=R∨Q • Q∧R=R∧Q • QR=RQ
▪ 德摩根律
• (Q∨R)=Q∧R • (Q∧R)=Q∨R
逻辑表达式一般方法
x0 …
xk
0 00
0
… …… …
k 10
0
… …… …
2m-1 1 …
1
…
xm-1
y
0
0
…
…
…
…
1
0
1
…
…
…
1
1
…
▪ 若xi,j =1，则x'i,j=xk，若xi,j =0，则x'i,j= xi,j ▪ 若yk=1，k=0,…,n，则yk=x'm-1,k… x'0,k ▪ y= y0… yn
• 自反性、对称性、 ▪ 合式公式的有效性
▪ 反证法
传递性
▪ 数学归纳法
•
等价关系、偏序关 系
▪
命题推理定律（肯定前 件式和否定后件式的概 ▪
Βιβλιοθήκη Baidu
念）
▪
结构归纳法 弱归纳法与强归纳法
▪ 函数
▪ 谓词逻辑
（即，第一类数学归
• 满射、单射、双射
• 全称量词与存在量词
纳法和第二类数学归 纳法）
• 反函数 • 函数的复合
ACM Computer Science Curricula 2013
DS.离散结构（37个核心一级学时，4个核心二级学时）
核心一级学时 核心二级学时
DS/集合、关系与函数 4
DS/基础逻辑
9
DS/证明方法
10
1
DS/计数基础
5
DS/树和图
3
1
DS/离散概率
6
2
比例 9% 22% 27% 12% 10% 20%
离散数学与计算机专业课程关系问题
核心课程
先修课程
计算机导论 程序设计基础 离散结构 算法与数据结构 计算机组成基础 计算机体系结构
计算机导论 数学分析或高等数学 高级语言程序设计、离散结构 计算机导论、数字逻辑 计算机组成基础
▪ 为什么离散数学的 前导课程是数学？
▪ 为什么数字逻辑课 程前导课程是计算 机导论？
▪ 世界由事实构成，而命题与事实对应，事实使一个命题为真 或为假。最简单的事实称为原子事实，与原子事实对应的是 原子命题。
▪ 原子命题的真或假取决于它与相应的原子事实是否符合。
谓词
▪ 定义：研究对象统称为客体。
▪ 定义：事物的性质词和事物的关系词统称为谓词。
▪ 谓词可以表示为Q(x1,...,xn)，其中，Q是谓词，x1,...,xn是客体 ▪ Q(x)是一元谓词，Q(x,y)二元谓词，Q(x1,...,xn)是n元谓词。 ▪ 谓词对于任意客体都有真值。
▪ (4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是逻 辑公式。
真值表验证运算性质
▪ 结合律
• (P∨Q)∨R=P∨(Q∨R) • (P∧Q)∧R=P∧(Q∧R) • (PQ)R=P(QR)
▪ 分配律
• P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R) • P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R) • P∧(QR)=(P∧Q)(P∧R)