高等数学初等函数的求导法则

x
1
x
4 3
3
1 x2
0
1 3x3
x
1 x2
sin x
例设
f
(x)
(1
x2 )(1
1 x2
),
求
f
(1).
解
f
( x)
(1
x2 )(1
1 x2
)
(1
x2 )(1
1 x2
)
源自文库2x(1
1 x2
)
(1
x2)
2 x3
2 2x x3
所以 f (1) 4.
例 设f (x) x ,求f (x)
1 x2
解
f
(
x)
(
x)(1
x2) (1
(1 x2)2
x2
)x
1
x2 (1
2x x2 )2
2
1 x2 (1 x2 )2
例 求y 2 x sin x cos x ln x的导数
解 y （2 x sin x) (cos xln x)
2( x)sin x 2 x(sin x) (cos x)ln x cos x(ln x)
三、复合函数的求导法则
设函数u (x)在点x处可导，函数y = f (u)在对应 点 u (x)处 也 可 导 ， 则 复 合 函 数
在 y f x 点x处可导，且 dy dy du dx du dx
也可写成 yx yuux 或 yx f ((x))(x)
即 复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的 导数乘以中间变量对自变量的导数(链式法则）
初等函数的求导法则
前面用定义推出基本初等函数的导数公式，对 于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就 来建立求导数基本法则，借助于这些公式和法 则就能比较方便地求出常见的函数——初等函 数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化， 简单化。
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它
解
y x 1 x ( 1 x)x
1
x
1
(1
x)
1 2
(1
x)
x
1 x x
2
2 1 x
在复合函数求导时，有时需要先利用代数恒等变换
将函数化简，然后再求导，这样可以简化计算.
例 设函数 y
1
, 求y
x x2 1
解
y
yx x (
x2
x2 1 1)
1
1 2
(x2
1
1) 2
(x2
1)
1 x .
x2 1
关于抽象函数求导
例 设f可导，求y ln f (ex )的导数.
解
y
1 f (ex )
f (ex )
f
1 (e
x
)
f
(e
x
)
(ex
)
f (ex )ex f (ex )
练习：求下列函数的导数
y cos2 (2x)
y
esin
1 x
y=lncos(ex)
y x3ex y (arctan x)2 y ln ln ln x
现将一气体注入某一球状气球，假定气体的
压力不变．问当半径为2cm时，气球的体积关于
半径的增加率是多少？
解 气球的体积V与半径r之间的函数关系为
求导法则的推广：
(uvw)uvw，
(uvw) uvwuvwuvw。
特殊情况： (Cu)Cu。C为常数
二、例题分析
例：已知y 3x4 2x3 5x2 x 4，求y
解
例已知f (x) cos x 1 1 ln 3，求f (x)
解
f
(x)
cos
x
1 3x
3
x
1 x
x
ln
3
sin
[[[lllnnn
cccooosss(((eeexxx
)))]]]
111 cccooosss(((eeexxx
)))
[[[cccooosss(((eeexxx
)))]]]
11 cocso( esxe)x
([
ssiinn(eexx
)]((eexx))
e x
tan(e x
)
。
例 y x 1 x,求y
例 设函数 y = (x2 + 2)3，求 y .
解 y = u3 , u = x2 +2
yx 3(x2 2)2 (x2 2) 6x( x2 2)2.
例 设函数ysin 2x 求 y . 1 x2
解
yx
cos
1
2x x2
( 1
2x x2
)
2(1 x 2 ) cos 2x 。
(1 x 2 )2
y e3sin2(2x) y sin f (x) y f (eg(x) )
注意：复合函数求导的关键
（1）首先分清函数的复合层次，求导时由外到里 逐次求导，一定要求到底，不要有遗漏。求出每一 层次函数的导数，再利用连锁法则，就得到复合函 数的导数.
（2）基本初等函数的导数公式和上述求导法则 是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
1 x2
练习：求下列函数的导数
y e x2 y =tan(lnx +2) y cos2 x y 3 12x2
y=lnsinx y arctan(1 x2 )
y ln(x x2 a2 )
y arcsin 1 x
例：y ln cos ex ,求 dy
dx
解 解解： ：：
dddyyy dddxxx
为R的电路中的电压
V 6R 25 R3
求在 R 7 时电压关于可变电阻R的变化率．
解 电压V关于可变电阻R的变化率为：
V
（
6R R
25） 3
（6 R
3）-（6R （R 3）2
25）
7 (R 3)2
在 R 7 时电压关于可变电阻R的变化率为：
V (7) 7 0.07 100
例3[气球体积关于半径的变化率]
四、导数的应用
例1 [电流] 如果一电路中的电量为 q(t) t3 t 。
(1)求其电流函数i(t) ？
(2)t=3时的电流是多少？
解 (1) i(t) dq ( t3 t)（t3) (t) 3t2 1
dt
(2) i(3) (3t2 1) t3 3 32 1 28
例2 [电压的变化率] 一个电阻为 6 ，可变电阻
们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也
可导, 并且 (1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
sin x 2 x cos x sin x ln x cos x
x
x
练习 求下列函数的导数
(1) y x3 log3 x
(2) y 1 4cos x sin x x
(3)y x2 3x
1 (4) y x4 x
(5) f (x) x3 4cos x sin 4
(6)y ( x 2ln x)cos x