混沌的定义基本特征

2.1.2混沌的基本特征

混沌理论是近代非线性动力学中重要的组成部分，虽然混沌的定义多繁复杂，但混沌还是有自己的一些与其他非线性系统所没有的基本特征，具体表现为如下[37,38,39]：(1)对初始条件的敏感性

经典学说认为：确定性的系统只要初始条件给定，方程的解也就随之确定了。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。在动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件，这就是系统对初值的敏感，还有混沌的敏感表现在一些控制参数的变化。

1972年洛伦兹在华盛顿科学进步协会上的报告上指出：“在巴西的一只蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的一场龙卷风”。这就是著名的“蝴蝶效应”。这句话的意思是说任意一个微小的扰动可能会引起世界另一边天气的变化，这种微小的扰动如同蝴蝶扇一下翅膀，都有可能发生巨大的改变。这一现象的指出就是对混沌初值敏感性的最好的诠释。

(2)整体稳定局部不稳定

稳定性是有关扰动现象的。如果一个动力系统中发生轻微的变化，这个系统还会保持它的运动状态，保持它的能力和属性。混沌的整体稳定性指一个微小的扰动也不会改变系统原有的性能。一个系统并不能只是绝对的稳定，还要有局部的稳定，这样这个系统才能进化。

局部不稳定性表现在混沌对初值的敏感依赖性，一个微小的初值变化就会引起系统局部的不稳定。

(3)奇怪吸引子及其分形

奇怪吸引子将混沌运动的特征初始条件的敏感性和确定性的随机直观地反映出来。在耗散系统当中，当连续流在收缩体积时，一边沿这些地方压缩，另一边又沿其他地方延伸。不过连续流是固定在一个有界的区域内，这种伸缩和

折叠过程会使运动轨道在奇怪吸引子上产生混沌运动。可见，奇怪吸引子是轨道不稳定和耗散系统相体积收缩两种因素的内在性质同时发生的现象[40]。

它的几何特性由分形来刻画，具有大尺度与小尺度之间的相似性，具有无穷无尽自相似的精细图案，具有分数维数。分形的形状是一些难以用传统的几何学来描述的极度不规则的图形；分形存在着很小的比例精密的细节结构；分形的维数大于等于它的拓扑维；分形具有自相似性，这种自相似性可以是严格的，也可以是近似的或统计意义上的；分形一般都产生于迭代过程这些规则。分形和混沌是同一种规律的不同表现，这种统一的规律反映在空间分布上表现为分形，出现在时间分布上表现为混沌。

(4)分岔（Bifurcation）

当系统的一些控制参数发生变化时，新的定常状态解、周期解、拟周期解或者是混沌解就会分叉出来，其中相轨迹图发生拓扑结构的突变，分岔理论是非线性解定性行为数学理论，失稳是发生分岔的物理前提，分岔后，系统的不同状态便会有了突变，经过不断的分岔，最终达到的状态就是混沌理论的研究对象。

(5)遍历性及有界性

混沌运动的轨迹经历混沌吸引子内每一个状态点的地方，不重复，不紊乱。混沌的有界性最好的证明是奇怪吸引子，混沌的运动轨迹虽说有点乱，但它始终在一个确定的区域里，有一定的规律性。

(6)普适性

若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数记为

n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：

δ=4.66920160910299067，它是一个普适常数：一类具有相同的单峰映射性质的函数中的任何一个，在沿倍周期分岔的道路进入混沌时，都会出现同一个δ；在沿倍周期分岔的道路进入混沌的过程中，不仅在周期区内分岔序列按δ速率收敛，在混沌区中的倒分岔序列也以同样的δ速率收敛。并证明了此种结构所具

有的定量特征有着普适性，既出现于不同的非线性系统之中，又反映于同一系统的不同层次。普适性有结构普适性和测度普适性两种

结构普适性指出无论是指数函数或是三角函数，只要是单峰映射，那么函数表现出来的结构与有着某种共同的数学性质的非线性动力系统的逻辑斯蒂方程所表现出来的结构相同，为复杂的分岔结构。同样都是经倍周期分岔进入混沌状态。测度普适性指在沿倍周期分岔进入混沌的过程中隐含着一种深刻的规律，它以常数的形式表现出来。倍周期分岔序列具有一个确定的收敛速率。

费根鲍姆普适常数的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关，反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，说明混沌内部存在着一定的统一规律，是混沌内在规律性的另一个侧面反映，为认识和研究混沌提供了坚实的基础。