河北安平中学高考数学复习讲义：第十三讲空间向量与立体几何

第十三讲 空间向量与立体几何

考纲要求：

1.考查线线、线面、面面关系的证明，常以解答题的第一问出现.

2.计算空间角，常以解答题的第二问出现.

3.计算几何体的体积，常在第二问或第三问中与空间角综合考查.

备考策略：

1.通过训练及时总结平行、垂直证明的常见方法以及空间角的空间向量求法.

2.注意逆向问题方程思想的运用.

考点一 线面角的求法

例 1 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠BAD

＝60°，四边形BDEF 是梯形，BD ＝DE ＝2EF ，BD ∥EF ，DE ⊥平面ABCD .

(1)求证：BD ⊥AF ；

(2)求直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值．

[听课记录] (1)证明：连接AC 交BD 于O ，连接OF .由四边形ABCD 是菱形可知BD ⊥AC ，OD ＝12BD ，

因为BD ∥EF ，OD ＝EF ，所以四边形ODEF 是平行四边形，即OF ∥DE ，又DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥DE ，故BD ⊥OF ，又AC ∩OF ＝O ，所以BD ⊥平面ACF ，又AF ⊂平面ACF ，所以BD ⊥AF .

(2)以O 为坐标原点，直线OB ，OC ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标

系O ­xyz ，设菱形ABCD 的边长为2，则由题意可知B (1,0,0)，C (0，3，0)，F (0,0,2)，E (－1,0,2)，

设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为BF →＝(－1,0,2)，BC →

＝(－1，3，0)，

所以由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF →＝0，

n ·BC →＝0，得⎩⎨⎧ －x ＋2z ＝0，－x ＋3y ＝0，即z ＝x

2，y ＝33x ， 令x ＝6，则n ＝(6,23，3)是平面BCF 的一个法向量．

设直线CE 与平面BCF 所成的角为θ，因为CE →

＝(－1，－3，2)，

所以sin θ＝|n ·CE →

||n ||CE →|

＝|－6－6＋6|57×22＝11438.故直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值为114

38.

[保分策略]

1．斜线与平面所成的角，就是斜线及其在平面上的射影所成的锐角．

2．向量法求线面所成的角．

求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |.

变式训练 1. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，

11

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.