高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含答案解析

【最新】高考数学《计数原理与概率统计》练习题
一、选择题
1．若二项式2n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20
【答案】C 【解析】 【分析】
对2n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再
利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数.
【详解】
对2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式5
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项
公式为()
51
531222
55
22r
r r
r r
r C x x
C x
---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令
53
122
r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为11
5210C ⋅=.
故选：C. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.
2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A ．2
B ．3
C ．10
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
3．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
24
D ．
23
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】
因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以
211d k =
≤+，解得2244
k -≤≤ 所以相交的概率2222P ==
,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
314
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．
78
B ．
34
C ．
12
D ．
14
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】
解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，
要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，
则相当于56
5.5
6.5
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，
如图所示：
约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228
-
⨯⨯=， 所以对应的概率为：7
7818
=，
即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：
78
.
【点睛】
本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.
6．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（）
A．54 B．50
C．60 D．58
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案.
【详解】
利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：
（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，（2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个.
故选：A.
【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不重不漏.
7．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）
A．3
5
B．
1
3
C．
4
15
D．
1
5
【答案】C 【解析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.
【详解】
题目包含两种情况：
第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，
2
3
14
6
1
5
C
p
C
==；
第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，
4
4
24
6
1
15
C
p
C
==；
故
12
4
15
p p p
=+=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
8．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（）
A．
1
10
B．
1
5
C．
2
5
D．
1
2
【答案】C
【解析】
【分析】
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数
11221
52222
()20
n C C C C C
=+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字
包含的基本事件个数为：11221
22222
()8,
m C C C C C
=+=，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．
【详解】
由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，
包含的基本事件个数11221
52222()20n C C C C C =+=，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：
11221
22222()8,m C C C C C =+=，
∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82
205
m p n ===． 故选：C ． 【点睛】
此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r
，现将一粒黄豆随机撒在△ABC
内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）
A ．
23
B ．
12
C ．
13
D ．
14
【答案】B 【解析】 【分析】
推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =1
2
S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】
以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ， ∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r
，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，
∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的1
2
．
∴S △PBC =
1
2
S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=
PBC ABC S S V V =1
2
． 故选B ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种
【答案】B 【解析】 【分析】
首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】
从7名党员选3名去甲村共有3
7C 种情况，3名全是男性党员共有3
4C 种情况，
3名全是女性党员共有3
3C 种情况，
3名既有男性，又有女性共有333
74330C C C --=种情况.
故选：B 【点睛】
本题主要考查组合的应用，属于简单题.
12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126
【答案】A 【解析】 【分析】
要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】
从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：
所以共有1331
545460C C C C +=种取法.
故选：A 【点睛】
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.
13．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
14
6
π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 2
+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为446
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
46
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝15，解得a ＝2．
曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1
223100
1
11
-x-x |4
42346
dx x x π
ππ⎛⎫=
--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个
【答案】C 【解析】
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1
4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155
C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
15．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55 B ．90 C ．425 D ．512
【答案】D 【解析】
利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有0
9C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有2
9C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有9
9C 种；故总数为
012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==.
故选D.
16．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对
应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37y
x =-，以下结论中不正确的为（ ）
A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】
A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D. 【点睛】
本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
17．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx y
e -=，其一组数据如下表所示： x
1 2 3 4
y e
3e 4e 6e
若5x =，则预测y 的值可能为（ ）
A ．5e
B ．112e
C ．7e
D ．15
2e 【答案】D
【解析】
【分析】
将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $
=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果.
【详解】
由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =-.
1234 2.54x +++==，1346 3.54
z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e
-=，
当5x =时，$151.650.52y e e ⨯-==，
故选D. 【点睛】
该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.
18．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( )
A ．13
B ．12
C ．14
D ．25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意有()))
|(=
(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果.
【详解】
解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；
事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件； ()()61=)13
|=
(8n AB n A P B A =. 故选：A.
【点睛】 本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.
19．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
【答案】B
【解析】
由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12
D ξ=-+-=，故选B ．
20．在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ） A ．16 B ．12 C ．13 D ．14
【答案】D
【解析】
【分析】
先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.
【详解】
由2
0x x -<得01x <<，所以所求概率为1012(2)4-=--，选D. 【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．。